大学数学教育中创造性思维的培养

大学数学教育中创造性思维的培养^[1]1
——从“问题是数学的心脏”谈起

赖义生^[2]　李　珏^[3]

（浙江工商大学统计与数学学院）

摘　要：在大学数学教育中培养学生的创造性思维，就要通过师生互动的教学模式，从思维过程，课外交流和师生情感三方面进行。本文结合数学特有的发现问题—解决问题—再发现问题的知识结构形式，以高等代数教学为例，阐述如何让学生学会自主思考，提出问题并解决问题。

关键词：创造性思维；师生互动；问题链

一、问题是数学教育的心脏

如何培养和造就富有创新精神和创造能力的高素质人才是当今教育界的主要课题。数学是大学教育中最重要的基础学科之一，如何在数学教学过程中培养学生的创造性思维是我们必须思考的一个课题。

数学家哈尔莫斯在《数学的心脏》一文中指出：“数学的真正组成部分是问题和解。”这句至理名言不仅反映了数学的本质，也提出了大学数学的教育思路。既然问题是数学的心脏，那么问题必然也是数学学习的核心。数学教育家波利亚指出：“数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展他的学生们的解决问题的能力。”这种解决问题的能力正是数学学习中创造性思维的具体体现。因此，我们可以说问题也是数学教育的心脏，提高学生解决问题的能力是大学数学教育的目标，是培养创造性思维的主要方法。

在这里要指出的是，问题不仅是个名词，更是个动词。学生的创造能力不仅是能解题，更重要的是能“问”题。学生自己提问、独立思考解决问题，也就是学生对高层次的综合能力自身培养提高的过程，是富有创造力的表现。著名数学家希尔伯特曾经说过：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。”他于1900年在巴黎第二届国际数学家代表大会上提出的23个数学问题（史称希尔伯特问题），激发了整个数学界的想象力。此后，这些问题几乎成为检阅数学重大成就的指标。未来学家宣称：“未来的文盲是指不会学习的人”。因而，我们要教会学生解题，更要教会学生如何正确提出问题，并经历自学、思考、提问、解题的完整的学习过程。

我们还必须强调，数学教育中创造性思维的培养在大学和中小学是不同的。

首先，学生的学习目的不同导致培养模式不同。目前，我国小学和中学的教育还无法脱离应试教育的模式。在大学，学生升学压力的解放也意味着教育模式的解放，学生乐于接受能力培养，于是创造性思维培养模式的探索和实施变得可行。

其次，教师的教育目的不同导致培养模式不同。现在的高等教育强调的是终身教育，学生走上工作岗位后，能够不断地更新、掌握所需的科技文化知识，这种能力正是通过创造性思维培养的。在大学数学教育中通过提高学生解决数学问题的能力，可以刺激学生思维能力，改进他们的思维方式，使其创造力得以激发。显然，中小学为了得高分，提高升学率而进行的教育，无法与之相比。

在大学的各学科中，数学是最能培养学生创造力的学科之一。哈尔莫斯说过：“数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性的艺术，因为数学家的生活、言行如同艺术家一样；数学是创造性的艺术，因为数学家就是这样认为的。”这段话描绘了数学的创造性，通过对它的学习，学生的创造性思维得到了锻炼。最佳的数学学习就是让学生学会如何提问和解答。

二、师生互动是问题的关键

课堂上老师提问学生回答的形式显然无法激发学生“问”题的能力，什么样的教育模式能够做到这一点呢？笔者认为师生互动是关键。

我们以大数学家希尔伯特的两位良师和数学家哈尔莫斯的亲身经历为例来说明三种师生互动模式的作用。

（一）思维过程互动

数学教学的过程性原则要求充分地暴露数学思维过程，它是进行教学设计的重要依据。

数学家希尔伯特在海德尔堡大学求学期间，选听了名师拉撒路·富克斯的课。富克斯讲课与众不同，课前不大做准备，对要讲的内容，在课堂上现想现推。于是常常发生这样的情形，某个问题在黑板上推不下去了，这时他就再想另外一种方法，有时一连要换好几种方法，但他最后总能推导出结果来。这种在思考中不断提出又否定最终找到解答的探索过程在教科书上无论如何是看不到的。把思考问题的实际过程展现给学生看，无疑能激发学生“问”题的欲望，而无惧数学的苦涩难懂。这样的教育方法不仅使希尔伯特受益匪浅，对我们也有很大启示。

思维的互动在课堂上既可以通过教师解题，也可以通过学生解题来实现。看老师解题，是对思维过程的一种体味，而学生自己解题，是对思维过程的一种实践，更能激发学生的主观能动性。这一过程中，老师和学生都可以就疑惑提出问题，通过老师与学生、学生与学生之间多方位的互动来激发创造力。

这种互动模式的实现对教师的要求更高，不仅需要课前的准备，讨论主题的选择，还需要教师有一定的科研水平，有能力展现出数学美妙的思维过程。

（二）课外交流互动

仅通过课上45分钟时间就想将学生的创造力激发出来，恐怕不是件容易的事。

希尔伯特就读于哥尼斯堡大学期间遇到了另一位良师，年轻的数学家阿道夫·赫维茨从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授，年龄还不到25岁，在函数论方面已有出色的研究成果。希尔伯特和朋友闽可夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的关系。他们三个年轻人每天下午准5点必定相约去苹果树下散步。希尔伯特后来回忆道：“日复一日的散步中，我们全都埋头讨论当前数学的实际问题；相互交换我们对问题新近获得的理解，交流彼此的想法和研究计划。”这种例行的散步一直持续了整整八年半之久，以这种最悠然而有趣的学习方式，他们探索了数学的“每一个角落”，考察着数学世界的每一个王国。或许正是受益于这些散步，希尔伯特才能在1900年一次性提出不同数学领域中的这么多难题。

课外交流互动能真正体现良师益友式的教学模式，师生在课外的交流以及同学间的课外交流，也是一种重要的学习方式，尤其在数学学习中。不同的观点往往能刺激学生提出有价值的问题，而且没有书本，没有繁琐的推导和计算，大家交流的是对数学知识的体会和领悟，这种精神层次的交流比单纯的解题对学好数学，学会“问”题更加重要。

这种互动模式需要教师抽出自己的业余时间，并且不断拓宽自己的学术知识，才能组织起这样的活动。

（三）师生情感互动

哈尔莫斯在书中描述他的教学经历时写道：“如果班上学生不是太多，我就让每位学生在学期最初两周内到办公室待上十分钟。在这十分钟里聊什么无关紧要，要紧的是见面结束时我知道了这些学生的情况（来自纽约，高中时学过微积分，想学物理，英语有困难……），而学生也感到一位实在的活生生的教授正关怀着他们。”

学生是否有意愿去思考问题提出问题，往往取决于他对这门学科的兴趣。因为喜欢老师而产生对课程的兴趣，这是很普遍的现象。学生的兴趣提高的同时，能力也得到提高，创造力的提升又激发了他们更大的兴趣，这样便形成一个良性循环。

师生情感互动，需要教师投入真实的情感，这种情感既包括对学生的关怀，对教学的重视，还包括对数学的热爱，对“问”题的强烈兴趣。学生在老师的熏陶下，自然而然会产生同样的情感。

三种形式的师生互动，对学生特别是优秀学生的“问”题意识的培养，创造性思维的激发，有着举足轻重的作用。所谓互动，绝不是一问一答式的，无论是提问解答还是在聊天交流中，适时对学生的问题和解答给予恰当的评价，也是互动成功的体现。教师对学生指出错误的同时必须肯定正确的部分，要给予学生充分的尊重，这样的互动学习才能让学生身心舒畅，进而如鱼得水。

三、数学知识结构是问题的形式

数学知识的内部结构就是一个纵横交错的“问题链”结构，发现问题—解决问题—再发现问题为全过程。要学会“问”题，培养创造性思维，就要结合数学的知识结构来学习。哈尔莫斯在《我要作数学家》里说：“我以前常常说一句话，但此话不厌强调：要主动研究，别只是读，要去干！问你自己的问题，找你自己的实例，发现你自己的证明。这个假设是必要的吗，逆命题对吗，经典的特例情况如何，退化情况怎样，证明在什么地方使用假设？”这几个问句正体现了数学问题环环相扣的结构。我们这里要考虑的是如何在课堂教学中体现问题，进而让学生来提出问题，解答问题。下面就以《高等代数》课程为例，来说明数学知识结构在“问”题中的表现形式。

（一）由解题引出问题

一个问题的解答并不意味着问题的终结，事实上，对答案的思考，往往可以得到更多的问题。在讲矩阵的逆时，我们先给出了公式。这时，可以让学生做例题求逆矩阵。虽然可以用公式求解，但学生在解题时肯定会发现计算量非常大。那么，有没有简单的求法呢？这个问题自然会被学生提出。于是，用初等行变换去求逆矩阵的方法可以自然给出。两种解法学生都会被牢牢记住。

（二）由问题引出问题

当讲解特征值和特征向量的概念时，由于比较抽象，学生往往无法理解，如果先给出这样的问题：线性变换可以如何表示？学生会说，取一组基，用矩阵来表示。随之我们就让学生自己举例来找找这个矩阵。又一个问题的提出会让学生发现，这个矩阵应当具有最简单的形式。那么，适当选基之后，线性变换可以化成什么样的简单形式呢？这样，由这个问题来引出特征值和特征向量的概念，加强学生的理解。

（三）由问题代替解题

数学科学中，从线性到非线性的第一步跨越，是由多项式实现的。因此，多项式方程组求解是非线性数学最基本的课题，这个问题的研究已经持续几百年。有了这个前提知识，介绍用消元法解线性方程组时，学生不仅是解题，更重要的是，他们会问非线性方程组如何求解，是用消元法吗？在介绍课本上的解法时，我们不妨讲讲著名数学家吴文俊先生引入的求解非线性代数方程组的吴消元法，这种方法是求解代数方程组精确解最完整的方法之一。通过问题来显示环环相扣的知识点，学生必然会兴致盎然。

以上三例显示，发现问题—解决问题—再发现问题在数学学习中无处不在，数学教育有责任向学生展现这种创造力，让学生学习这种创造力，这应是大学数学教育的终极目标。

总之，问题是数学的心脏，要在大学数学教育中培养创造性思维，就要提高学生“问”题的能力。这一目标的实现必须依靠灵活多变的师生互动的教学模式，结合数学知识的结构形式，在课堂课外的学习交流中体现问题，让学生学会自主思考，提出问题并解决问题。

参考文献

［1］保罗·哈尔莫斯．我要做数学家［M］．马元德，译．南昌：江西教育出版社，1999．

［2］康斯坦丝·瑞德·希尔伯特．数学世界的亚历山大［M］．袁向东，译．上海：上海科学技术出版公司，2006．

［3］黄光荣．问题链方法与数学思维［J］．数学教育学报，2003（5）：35—37．

［4］黄慧静，辛涛．教师课堂教学行为对学生学业成绩的影响：一个跨文化研究［J］．心理发展与教育，2007（4）：57—62．

［5］黄兴丰，李士锜．数学课堂师生对话的形式与内容［J］．数学教育学报，2007（5）：20—23．

【注释】

[1]浙江工商大学2008年度校高等教育科学研究重点课题研究项目。

[2]赖义生，系主任，教授，博士，研究方向为多元样条函数理论及应用、计算几何、逼近论等。

[3]李珏，博士，研究方向为应用数学、金融数学。