数学创造性思维及其培养

一、数学创造性思维

创新是时代的要求，在诸多思维品质中，创造性思维心理品质是最可贵的。创新意识指学生创新的欲望和信念，是一种对所学知识的灵活运用和高超驾驭基础上的创新，从中体现出思维的批判性、深刻性、敏捷性、创造性和解题的艺术性。

创造性思维是指有创见的思维，即在强烈的创新意识下，改组已有的知识经验，产生出新颖的、具有社会价值的思维成果。创新思维是整个创新活动智力结构的关键，是创新的核心。创新思维是由直觉思维、集中思维、发散思维和灵感思维结合后组成的高级思维。

创新思维的本质特征是新颖性。它不同于一般思维活动之处，就在于要打破常规的解决问题的方法，将已经有的知识或经验进行改组或重建，创造出个体所未知或社会前所未有的思维成果。创新思维是创造性想象积极参与的结果，其灵感状态是创造性思维的一种典型特征。

创造性思维有高、低两种不同水平。高水平的创造性思维是指这种思维发现了前人未曾发现的新事物，解决了前人未曾解决的问题。例如，数学史上，解析几何的创立、微积分的发现、群论的创始、非欧几何的诞生等，都是高水平的创造性思维的结果。一般高水平的创造性思维是指数学家、杰出的数学人才在数学创造性活动中所进行的思维活动。低水平的创造性思维是指这种思维的结果已为别人所完成，只是相对于思维者本人来说才算是发现了新事物，解决了新问题。例如，学生采用不同于常规的思路和方法，在学习过程中有所创新和发现就是一种低水平的创造性思维的结果。一般低水平的创造性思维是指学生在数学学习活动中所进行的创造性思维活动。尽管学生的创造性思维水平较低，但它却是造就高水平创造性思维人物的前提和基础。因此，注重学生创造性思维的培养，不仅有助于今天的数学学习，更有助于学生将来的发明和创造。

二、数学创造性思维的阶段

（一）选择与准备阶段

选择与准备阶段是从强烈的创造愿望出发，选择课题并进行有关资料准备的阶段。准备工作做得越充分，越有利于开阔思路，有利于发现和推测问题的成因，从而易于获得成果。

（二）酝酿与构思阶段

酝酿与构思阶段是自觉努力的时期，一般要运用发散思维多方面、多角度、多层次的进行思考。在这一阶段，不仅要运用分析、综合、比较、归纳、类比、联想等思维方法，而且要借助于想象，特别是以创造性想象进行构思。这一阶段相对来说时间较长，而且思考十分艰苦，但必须抓住目标坚持到底。

（三）领悟与突破阶段

领悟与突破阶段是创造性活动的关键阶段，是前两个阶段的升华。经过充分酝酿之后，在头脑中突然跃出新的构想，使问题有可能得到解决。在这个阶段，形象思维、直觉思维以及数学美感起着重要的作用。

（四）检验与完善阶段

检验与完善阶段是对获得的构思和猜想进行检验、论证和修正完善的阶段。在这一阶段，主要运用集中思维和逻辑思维方法做出进一步的研究。任何创造性活动的成功都有可能是在多次失败中孕育出来的，大量的数学史料表明，有些数学猜想要经过数月、数年甚至数十年、数百年的进一步研究才能上升为真理。因此，这一阶段是实现创造发明和获得真理的重要阶段。

上述数学创造性思维活动的四个阶段是互相联系不能截然分开的，各个阶段之间并没有严格的界限，其中关键阶段是酝酿与构思、领悟与突破这两个阶段，而起主要作用的是形象思维、直觉思维、审美意识等非逻辑思维。

三、数学创造性思维的培养

（一）数学教学要成分揭示数学思维过程

数学创造性思维不仅存在于数学家的创造活动中，也存在于学生的学习活动中。这是因为，学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的结果，但学生作为学习的主体处于再发现的地位，学习活动实质上仍然具有数学发现和创造的性质。因此，采用开放式教学方法，在教学中充分揭示思维过程是培养数学创造性思维的重要途径。

1重视教学思维活动中的认识发生阶段

从教学的阶段性观点来看，数学教学中数学思维的活动过程，大致可以分为认识的发生阶段和知识的整理阶段。前者是指概念如何形成、结论如何被发现的过程；后者是指用演绎法进一步理解知识、开拓知识的过程（有些相似于数学创造中的“发现”与“论证”两个阶段）。由于前一阶段是引导学生探索知识的过程，它闪耀着创造的火花，是培养创造性思维的有效途径。因此，前一阶段比后一阶段更为重要。在展现数学思维活动的全过程时，应着重前一阶段，使学习与发现同步。然而，在数学教学中，只重结论，不重过程，用结论去替代过程或者只重应用，不重形成，以及教师本末倒置地把新课匆匆带过，以省出时间来复习等种种做法，都是削弱认识发生阶段的表现，不利于创造性思维的培养。

2数学教学中应重视协调三种思维活动

数学教学中的思维活动主要包括：数学家的思维活动、数学教师的思维活动和学生的思维活动。教师在数学过程中应协调这三种思维活动。

首先，根据数学知识结构（体现在教材中），重视数学家的思维活动过程；其次，指导、调节和控制学生的思维活动，使之与教师的数学思维活动（也即数学家的思维活动）同步，并逐步实现学生的思维结构向数学家的思维结构转化；最后，帮助学生发现及总结开展数学思维活动的规律、方法及技巧。

著名德国数学家希尔伯特（hilbert）在哥廷根大学任教时，常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题，并立即着手解决。虽然他并非每次都能得到圆满的解答，甚至有时把自己“挂”在黑板上，但他展现的思维过程却使学生受益匪浅。追根溯源，希尔伯特的老师，著名的德国数学家富克斯（Fuchs）教授在为希尔伯特上线性微分方程课时，就采用了这样一种教学风格。富克斯对他所讲内容总是现想现推，这使希尔伯特和他的同学们看到了高明的数学家创造性活动的思维过程。我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中，也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学，并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题。这些事例充分说明了展现数学思维过程对于培养学生创造性思维的重要作用。

（二）激发学生的好奇心、求知欲

李政道说：“好奇心很重要，有了好奇心，才敢提出问题。”法国作家法朗上说：“好奇心造就科学家和诗人。”教师的责任就在于要把学生的好奇心成功地转移到探求科学知识上去，使这种好奇心升华为求知欲。具体来说，就是在教学过程中根据学生的特点和水平，采取适当的启发学生积极思维的教学方法，让学生主动地求探索数学真理，培养学生学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力。引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中一切含有创造因素的思想和活动。

例如，一个学生偶然发现276276,423423,都能被13整除，于是产生了好奇心，继而又对634634,872872,314314等进行验证，发现它们都能被13整除。在教师的热情鼓励与帮助下，他终于发现了如下规律：

abcabc=1000abc+abc=（1000+1）abc=1001abc

其中，a,b,c是0到9之间的数字，且a≠0。从而证明了这类都能被13整除，这样就完成了一件十分有益的创造性活动。

在教学过程中，要尽量通过问题的选择、提法和安排来激发学生，唤起他们的好奇心与求知欲。善问是数学教师的基本功，也是所有数学教育家十分重视并研究的问题。

问题的提法、安排要有教学艺术性。问题的提法不同，会有不同的效果，要设法使问题的提法新颖，让学生坐立不安，注意他们的“口味”与喜好。

例如，提出“225是几位数？用对数计算”的问题之后，学生不怎么感兴趣。有的老师换一种提法：“某人听到一则谣言后一小时内传给两人，此两人在一小时内每人又分别传给两人，如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？”这样一发问，学生有了解决此问题的兴趣和积极性，效果就大不一样了。起先，谁都认为这是办不到的事，但经过认真运算，发现能传遍。结果出人意料，但又在情理之中。这样的发问最能让学生跃跃欲试，又能使学生通过解决问题受到思想教育。（传谣速度惊人，影响极坏！传谣可恶，信谣可悲！）

又如，在学过三角形全等的判定定理后进入复习阶段时，要安排一系列较难“消化”的问题让学生自己去判定：

①有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗？

②有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗？

③有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形一定全等吗？

④一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗？

⑤面积和周长分别相等的两个直角三角形一定全等吗？

⑥面积和周长分别相等的两个三角形一定全等吗？（给能力较强的学生）

（三）加强数学直觉思维训练

直觉思维作为数学思维三种基本类型之一，经常与解决数学疑难问题相联系，伴随着数学创造性思维出现。在数学创造性思维过程中，人们常常依靠直觉、灵感进行选择、判断形成数学猜想，这在数学创造活动中起着重要的作用。培养数学直觉思维的重点是重视数学直觉。直觉尽管“突如其来”，但并不是神秘莫测的东西，它是在长期积累起来的知识和经验的基础上形成的，是可以培养的。徐利治教授就曾说过：“数学直觉是可以后天培养的。实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”他认为数学直觉思维的能力是可以在学习数学的过程中逐步地成长起来的。其中特别重要的一环就是在学数学的过程中应当努力达到“真懂”或“彻悟”的境界。一般认为，在数学教学中加强直觉思维的训练应当从以下几个方面入手：

1.提供丰富的背景资料，恰当地设置教学情境，促使学生做整体思考

数学直觉思维的重要特征之一就是思维形式的整体性。对于面临的问题情境首先从整体上考虑其特点，着眼于从整体上揭示出事物的本质与内在联系，往往可以激发直觉思维，从而导致思维的创新。

2.引导学生寻找和发现事物的内在联系

数学直觉思维的另一个重要特征，是思维方向的综合性。在数学教学中，引导学生从复杂的问题中寻找内在的联系，特别是发现隐蔽的联系，从而把各种信息做综合考察并做出直觉判断，这是激发直觉思维的重要途径。

3.教学中要安排一定的直觉阶段，给学生留下直觉思维的空间

学生的思维能力是在实践和训练中发展的，在教学中适当推迟做出结论的时机，给学生一定的直觉思维的空间，有利于在整体观察和细部考察的结合中发现事物的内在规律，做出直觉判断，这是发展学生直觉思维能力的必要措施。

4.鼓励学生大胆猜测，养成善于猜想的数学思维习惯

猜想是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成。数学教学中许多命题的发现、思路的形成和方法的创造，都可以由学生通过数学猜想而得到。因此，应当精心安排教材，设计教法，在引导学生开展各种归纳、类比等丰富多彩的探索活动中，鼓励他们提出数学猜想和创见。一般说来，知识经验越多、想象力越丰富，提出数学猜想的方法掌握得越熟练，猜想的可信度就越高，实现数学创造的可能性也就越大。培养敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉、发展数学思维、获得数学发现的基本素质。下面通过一则生动的教学实例来说明直觉思维训练的途径。

问题1两个三角形具有相同的面积，这两个三角形一定全等吗？

几乎所有的学生都知道这两个三角形不一定全等，但在举出反例时却表现出不同的水平。

问题2两个三角形具有相同的面积且具有相同的周长，这两个三角形一定全等吗？

条件增加了，学生的想法就不一样了。部分学生认为这两个三角形一定全等，另一部分同学则认为这两个三角形不一定全等，但短时间内谁也拿不出“事实”来。这个问题太难了，暂时放一放。

问题3两个直角三角形具有相同的面积且具有相同的周长，这两个三角形一定全等吗？

比问题2又多了一个条件——两个三角形都是直角三角形，于是凭直觉猜想“一定全等”的学生骤然增加，甚至全班同学都会倒向一边。

但问题还在于证实这个猜想，这时大家的办法又可能不一致。不过，有一点却是肯定的，即证实猜想的欲望一定都很强烈，有点不达目的决不罢休的味道。

设两个直角三角形ABC和RST的边长分别为a、b、c和r、s、t,其中c和t为斜边长。根据题意有

a2+b2=c2

r2+s2=t2

12ab=12rs

a+b+c=r+s+t

解这个方程可得a=r,b=s。猜想得到证实。

问题4两个等腰三角形具有相同的面积且具有相同的周长，这两个三角形一定全等吗？

有了解决问题3的经验，学生的意见可能会很一致——这两个等腰三角形一定全等。而要证实这个猜想，也许很难有人能够完成（尽管有证实上题的经验）。几经碰壁以后，头脑冷静的同学也许转而怀疑这个猜想了。这不是退却，而是思路活跃、实事求是的表现。

事实证明，这个怀疑是正确的。教师可以构造的反例。

这一对等腰三角形的面积都是420,周长都是98,但它们不全等。

至此，问题二也获得解决。

上面通过设置问题情境，让学生依靠直觉提出猜想，然后再证明或否定猜想。这样做，不仅可以激发学生的好奇心、求知欲，而且也有助于学生直觉思维能力的培养。

（四）加强发散思维训练

发散思维是一种开拓性、创新性的思维，它是创造性思维的主要形式，加强发散思维的训练无疑对创造性思维的培养具有重要的意义。

发散思维的过程包含两个基本环节：一是发散对象（或发散点），二是发散方式。数学中的发散对象是多方面的。如对数学概念的拓展，对数学命题的引申与推广（包括分别对条件、结论、关系的发散），对数学公式、法则的变形与派生等。发散的方式也是多种多样的，如对命题而言，可以是替换命题的条件或结论；也可以是减弱条件，加强结论；或是予以特殊化、一般化；还可以进行类比、推广等。在解决数学问题时，可以将解题的途径、思想、方法等作为发散点进行发散。因此，在数学教学中，只要能抓住时机，以研究的数学对象作为发散点进行多种方式发散，便能有利于发散思维能力的培养。在数学教学中加强发散思维的训练应从三个方面入手。

1.培养发散机智

在一个数学问题前尽可能多地提出许多设想、多种解法途径与多种答案，思维向多方面思考，在某一方向受阻时，马上转向另一方向。不要把精力老盯在一点上想，一处不通，另寻一处；即使一处通了，也不妨再觅新径，以求殊途同归。这种机智主要能提高发散思维的流畅性。如数学中的一题多变、一题多问、一题多解、一法多用等都有助于发散机智的培养。

例7.24已知三角形的周长为定值，求其面积的最大值。

本例不难求出结果。按发散思维的特性，可对本题做出不同的变化、猜测。

①已知直角三角形的周长为定值，求其面积的最大值。

②若四边形的周长为定值时，它的面积有最大值吗？

③若封闭的平面曲线周长一定时，它的面积有最大值吗？

④长方体的表面积一定时，它的体积有最大值吗？

⑤四面体的表面积一定时，它的体积有最大值吗？

⑥表面积一定时，凸几何体的体积有最大值吗？

⑦若三角形的面积为定值时，它的周长有最大值吗？

2.培养变换机智

一般事物的质和量是由多种因素及其相互关系决定的，如改变其中某一因素，或改变因素之间位置、地位、联想方式，常常可以产生新思路。这种机智主要是提高发散思维的变通性。数学中的变量替换、几何问题代数化与代数问题几何化、几何变换等都属于这种机智。

例725正数a,b,c,A,B,C满足条件a+A=b+B=c+C=K

求证：aB+bC+cA

证明：作边长为K的正三角形pQR,如图711所示。

分别在各边上取L,M,N,使QL=A,LR=a,RM=B,Mp=b,pN=C,NQ=c,因此有S△LRM+S△MpN+S△NQL

即12aBsin60°+12bCsin60°+12cAsin60°12K2sin60°

因此，K2>aB+bC+cA

例7.25的证明把代数问题几何化，显得直观、简洁。选择这样的解题策略揭示了代数与几何的内在联系，有利于培养学生的变换机智。

3培养创优机智

要千方百计寻求最优答案以及探索途径，方法要独特，内容要新颖、简化。数学史上许多重大发现正是实现创优机智的体现。数学教学中寻求简便证法、反常规解法以及独特解法的训练正是为此目的。

例7.26解方程x3+23x2+3x+3—1=0

分析：这个方程是三次的，且系数含有无理数，若按一般求解三次方程的方法不易解决。根据题目的特点，把3看做“未知数”，把x看做“已知数”，则得关于3的一元二次方程。令a=3,则原方程变为xa2+（2x2+1）a+x3—1=0

解之得a=1或a=x2+x+1x

由此原方程就等价于

x=1—3及x2+（3+1）x+1=0,

这就不难求出x了。

这种解法新颖独特，是一种反常规解法。

复习思考题

1.什么是数学思维？数学思维的基本类型有哪些？

2.如何进行数学思维方式的分类，各种数学思维方式的基本特征是什么？

3.数学思维一般方法有哪些？试举例说明它们在数学解题中有哪些应用？

4.试结合数学学习和解题过程对数学思维的智力品质的特点加以说明。

5.数学创新思维培养的基本途径有哪些？