数学能力的培养

第三节　数学能力的培养

发展学生的数学能力，是数学教学的重要目标之一。在科学技术迅猛发展、知识更新加剧的现代社会，学生在校学习的知识，不可能一劳永逸地满足今后工作的需要，所以学校教育要把“教会学生如何学习”，培养学生的数学能力放到重要的位置。

一、能力与数学能力

1.能力

人要顺利地、成功地完成任何一种活动，总要有一定的心理和行动方面的条件作保证，这种必备的基本条件就属于能力心理特征。简言之，能力就是顺利完成某种活动所需的个性心理特征。

知识、技能与能力是不同的概念，必须把这些概念严格加以区分。能力这种心理特征是在人的多次实践活动中形成的，并作为心理能力保留下来，成为人们掌握知识、技能不可缺少的条件。另外，能力的形成是建立在对多种事物分析、综合的基础之上的，所以它具有较为一般的概括性，如观察力、记忆力、思维能力等，它一旦成为个人的个性特征，在新的情况下就能广泛地迁移，同一种能力可以掌握若干种知识与技能。后者虽然也具有概括性，但它们和能力概括化的性质与迁移程度是不同的。知识只是对其所反映的相应客观现实的经验概括，只能在此经验范围内迁移，而技能由于它是与其相适应的行为方式概括化的结果，它的迁移范围也是极其狭窄的。举例说，学生在解数学题时利用的公式、定理与原则，属于他们掌握的知识系统。在解题过程表现出记忆的准确性与思维的敏捷性等，则属于能力范围。一个人掌握一定的知识和技能也会促进能力的提高，掌握数学的定理、公式越丰富，数学解题能力就越强。但是二者的发展过程可能并不完全一致，例如，在数学学习上取得同样优异成绩的学生，一个可能才华超群，而另一个则可能来源于勤奋钻研。具有同等水平和能力的人，在知识、技能水平上也可能有很大差别。

根据实验与观察研究，在不同种类的活动中，表现出来的能力既有共性，又有个性。据此，通常把能力划分为一般能力和特殊能力。前者是完成各项活动均需具备的，其结构要素包括注意力、观察力、记忆力、想象力、思维能力与操作能力。后者是指从事某种专业活动所必需的多种能力的有机结合成的能力，任何一种专业活动都要求与该专业内容相符合的几种能力的结合。二者相互制约，相互促进，按其发展水平分为再造性能力与创造性能力，前者是后者之基础。各种活动所需的心理特征在各人身上的发展程度和结合方式不同，因此，在能力特征上存在个性差异，从而形成个人能力的独特风格。例如称某人有“艺术细胞”，某人具有“数学头脑”等。

2.数学能力

数学能力是一种特殊的心理能力，是顺利完成数学活动所必备且直接影响其活动效率的一种心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并主要在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。它包括两种水平的数学能力，即学习数学（再造性）的数学能力和“创造性”的数学能力。前者指在数学学习过程中，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力；后者是指在数学科学活动中的能力，这种能力产生具有社会价值的新成果或新成就。

数学能力有哪些主要成分呢？克鲁捷茨基、李镜流等都作过一番研究，归纳起来可分为基本能力（运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力）和几种与数学教学关系密切的其他数学能力，例如观察能力、理解能力、记忆能力、运用能力、创新思维能力等。

二、数学能力的培养

1.中学数学的基本能力的培养

数学能力的三大基本能力为运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力，这是中学数学教学中应该培养的三大基本能力。

（1）运算能力

数学的对象是客观世界的数量关系和空间形式。在数量关系中，主要研究其运算，如代数中数、式的代数运算和初等超越运算，微积分中求导、求积的初步运算，概率的初步运算，等等。

对运算来说，开始表现为对其知识的理解和技能的形成上，进而体现在根据具体问题的特点，恰当地合理地运用运算，与其他各种运算的灵活应用和巧妙的结合上，而后者往往表现出一个人的能力，即运算能力。

运算中反映出多种智力品质，这是由运算过程的复杂性所决定的。运算中的智力品质主要体现在运算的敏捷性、灵活性、独创性上。

运算敏捷性是指智力活动的速度与准确率问题。智力正常、超常与低下的学生往往在数学运算中表现出速度上的悬殊。运算速度的差异不仅是对数学知识的理解程度上的差异，也是运算习惯和思维概括能力的差异。

在数学教学中应采取措施培养学生的正确而迅速的运算能力。一个办法是在练习中坚持严格的速度要求，利用青少年的好胜心理，组织一些速算比赛，使学生在紧张的思维活动中逐渐训练出一种熟练的运算技能。另一个办法是教给学生一些速算的方法，并鼓励他们自己创造出一些速算法，由“熟”生“巧”，促进智力品质的发展。

运算的灵活性是指智力活动的灵活程度，也就是平常所说的“机灵”，它是创造力的基础，也是运算的智力基础。美国心理学家吉尔福特把智力活动过程分为集中式和发散式两种。集中式思维鼓励寻求“唯一的正确答案”，而发散式思维是推测、想象和创造的过程，它使思维超于灵活，它的依据是：得到正确答案的途径不止一条，于是鼓励引导学生进行“发散式”的思考。国内外实验研究表明，即使是智商较高的学生，如果长期接受集中式教学，其创造力将落后于长期接受发散式教学的智商中等的学生。

总的来说，在数学运算中，灵活性表现为起点灵活，从不同角度，用各种方法来推算各类的数学习题；运算过程灵活，对各类公理、法则能运用自如；运算中能举一反三，触类旁通。数学教学中培养智力品质的灵活性，多从培养一题多解能力入手。解题中，引导学生启用多种解法探索运算途径，并反过来从多种解法中寻求规律，从中获得“迁移”能力，运算灵活性就在反复训练中得到提高。为此教师要精选、精编习题，并预先进行多方面思考，以便把学生带入胜境，在智力上更上一层楼。

运算独创性是智力活动水平的重要指标。学习贵在创新。数学题目浩如烟海，其中构思巧妙者比比皆是，常言道，需要在荆棘丛生的山林间走出一条奇径来，光靠现成的知识是不够的。下面这则传说，足以说明运算独创性的神奇之功。古代印度一位老人临终留下遗嘱，要把19头牛分给3个儿子，老大得总数的，老二得，老三得。不能宰杀牛，应如何分？一个智叟沉思片刻后，提出一个令人叫绝的方案。借一头牛来，老大就可分得10头，老二分5头，老三分4头，剩下一头还给借主。智叟独创的巧法一时传为美谈。

那么怎样培养学生具有正确、迅速的运算能力呢？有几点是必不可少的。

一是讲清原理、法则；二是练好基本功；三是实施“简捷简法”与“一题多解”的训练。运算能力很大程度上反映在运算合理之中，为此必须具备扎实的基础知识与良好的观察力。

（2）空间想象能力

所谓空间想象能力就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力。这种能力的特点是：善于在头脑中构成研究对象的空间形状和简明的结构，并能将对实物所进行的一些操作，在头脑中作相应的思考。

任何事物的存在和运动，都涉及到它的空间形式。空间形式为人的头脑所反映，就产生空间观念。如何认识这个人们赖以生存的空间，是一种重要的智力。确定空间想象能力的客观指标有三项：对形体的直观依赖性；对平面、立体各种空间位置分析与综合的范围；对各种空间形体分解组合的运算简繁程度。中学阶段不可能较高水平地达到上述标准，因此平时教学中要求空间概念“逐级”形成；掌握空间形式的基本表达方法；按不同阶段的知识要求发展空间想象力。

几何教学当然是发展空间想象能力的主要途径。教学中引入点、线、面、体概念以后，可通过趣味数学来培养学生自觉进行空间想象的兴趣。例如让学生试以12根火柴拼出6个正方形把思维推到三维空间去。立体几何教学开始可先让学生用橡皮泥与小棒搭几何图形，但不能停留在这一直观的低水平上，应循此上升到抽象，逐步促进空间想象能力的发展。

当学生掌握了空间图形的几何性质以后，可以引导学生进行作图的尝试，也是从基本作图法开始。平面几何中如作奠基三角形、弓形弧等，立体几何中如异面直线与二面角的作法等都是必须掌握的。作图也是一种基本解题方法，在解析几何中，往往是图成题解，数量关系在图上一目了然，在“坐标变换”（平移）单元中作图更是解题的捷径。

应该指出的是，培养学生的空间想象能力不只是几何教学的任务，在其他学科（如代数）中，形数结合也是一种重要的数学方法。

最后，适当地设计、制作几何教具、模型，进行实地测量也有益于空间想象能力的提高。

（3）逻辑思维能力

所谓逻辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力。思维必须符合逻辑，数学思维更是如此。从严格的意义上说，不存在没有逻辑的思维。是否注意逻辑思维能力的培养是现代数学教学同传统数学教学的根本区别之一。

从基本能力角度来看，数学教学的主要目的就是培养逻辑思维能力和形象思维能力。运算能力是逻辑思维与运算技能的融合，实质上是逻辑思维能力的一部分；空间想象能力则是逻辑思维与经验几何知识及相关技能的融合，是逻辑思维能力在处理空间形式构思中的表现。因此，教学中能力培养的核心是逻辑思维能力。

逻辑推理按思路的顺逆来区分有综合法与分析法；按个别与一般的关系来区分，则有归纳法与演绎法等。在解决一个数学问题时，思维活动是很复杂的，各种逻辑推理能力彼此联系，不能截然分开。教学中应有计划、有目的地依据教材与内容，分阶段逐步渗入推理方法进行教学，使学生由不自觉到自觉地掌握，进而运用推理方法，在解题中发展逻辑思维能力。

2.数学的创新思维能力的培养

创新思维是指思维活动过程中，通过直觉、美感、猜想、类比、联系、推广和推理去洞察事物的本质，揭示其内在规律，探索新的问题，发现新的东西，对事物的发展趋向具有前瞻性、预见性的高层次的思维能力。它具有六大特征：敏锐的洞察力、丰富独特的想象力、积极的求异意识、强烈的探索发现欲、活跃的创造灵感、开放性的思维空间。

（1）以数学直觉和美感形成大胆的猜想，培养敏锐的洞察能力

爱因斯坦认为，科学发现的道路首先是直觉的，而不是逻辑的。直觉是发现的工具，逻辑是证明的工具，这是数学的两重性。直觉是对问题的结果迅速作出合理猜测的“顿悟”，是不完整的逻辑。猜想是指从个别的、具体的、特殊的现象中寻求共性，归纳出一般性结论的思维过程。科学史表明，许多卓越发现和创造都是先凭直觉和美感（如对称性、和谐美、统一美、简洁美等）作出大胆的猜想，然后才去加以逻辑推理或实践验证的。

可以说，从直觉到猜想，是具备敏锐洞察力的根本标志。

（2）张开类比与联想的翅膀，培养丰富独特的想象力

类比是创造性的“模仿”，联想是“由此思彼”的思维跳跃。在开放性问题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知发现新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性。

值得一提的是，不但结论可以类比，而且推导的方法也可以类比。

（3）鼓励别出心裁和标新立异，培养积极的求异意识

别出心裁和标新立异是创新思维的灵魂，是科学发明创造的源泉。在开放性问题的教学中，针对开放性问题的显著特点——答案、方法不唯一，热情鼓励学生大胆创新，敢于求异，积极发表自己的独特见解，可磨练学生独辟蹊径的解题技巧，培养思维的广阔性和发散性。课堂气氛应该弘扬“百花齐放”“百家争鸣”，反对墨守成规、一孔之见。

（4）激励寻根究底，培养强烈的探索发现欲

美国心理学家布鲁纳认为，“探索是数学的生命线”。德国教育家第斯多惠也曾说过：“一个好的教师应该教人去发现真理。”

教师应加强开放性问题的教学，调动学生的好奇心，激励他们寻根究底，探索别人未涉及的奥秘，发现别人未发现的东西，从而培养学生勇于探索的精神和善于发现的创造品质。

（5）点燃思维的火花，激起活跃的创造灵感

衡量自己思维能力水平的最终要素是思维的创造性。创造的灵感从何而来？教师要善于凝聚学生的点滴想法，点燃他们思维的火花，耐心启发、诱导、“铺路搭桥”，在教学中应展现分析的思维过程，触发学生的灵感，扫除思维障碍，到达成功的彼岸。

（6）善于提出挑战性问题，拓展开放性的思维空间

翻开科学发展史，具有创新精神的人无不具有强烈的问题意识，他们常带着怀疑的目光观察世界，敢于提出问题，从而为科学的发现奠定了基础。从某种意义上说，提出问题比解决问题更重要。尤其是在开放性问题的教学中，教师不但要善于提出具有挑战性的问题，而且也要鼓励学生勤于提出深层次的问题，以拓展学生的开放性思维空间，充分发挥学生的主动性和创造性。