张景中与教育数学

2.1.2　张景中与教育数学

与其他数学家不同的是,张景中、徐利治两位数学家在数学教育的内容创新方面作出了重要贡献,无论是张景中先生开创的“教育数学”,还是徐利治先生在国内首倡的“数学方法论”,都对当代中国的数学教育产生了重要影响.

我们先论述张景中与教育数学.

一、什么是“教育数学”?

“教育数学”是张景中院士根据欧几里得(Euclid)的《几何原本》、柯西(Cauchy)的《分析教程》和布尔巴基(Bourbaki)的《数学原理》等诸位数学大师的著名范例,创造性地提出并积极倡导的一个全新的理论.教育数学的宗旨是:“改造数学使之更适宜于教学和学习,是教育数学为自己提出的任务.”^[21]多年来,这个领域取得了一系列的成果,经过不断地研究、实验,教育数学已经发展成为一门全新的学科.这门学科的任务是:基于数学教育的需要,根据教育数学的规律,对数学研究成果及数学教材进行数学(内容和结构)上的再创造,为数学教育工作者提供教学法加工的材料.它是介于教育学与数学之间的以数学为主体的新兴的交叉学科.

关于“教育数学”与“数学教育”的区别,张景中先生作了一个非常形象的比喻:“把学数学比作吃核桃,核桃仁美味而富有营养,但要砸开才能吃到它.数学教育要研究的,就是如何砸核桃吃核桃.教育数学呢,则要研究改良核桃的品种,让核桃更美味,更营养,更容易砸开吃净.”^[22]他还概括地说:“数学教育是教育学的一支,而教育数学是数学的一支.”^[23]

近年来,教育数学研究从理论走向了实践.在“教育数学”理念指导下,张景中先生领衔开发了独具特色的“Z+ Z智能教育平台”.全国近百所中小学陆续建立了教育数学实验基地,在中小学数学教材改革、中小学数学教学研究、中小学数学特长生培养以及中小学数学实验室建设等方面,开展了有益的探索和实践,收到了很好的效果.

自从张景中先生和曹培生先生出版《从数学教育到教育数学》(四川教育出版社,1989)一书,首次提出“教育数学”这个概念以来,越来越多的人参与到教育数学的研究中.

中国教育数学学会(中国高等教育学会教育数学专业委员会)是我国“教育数学”研究的学术组织,成立于2004年5月,为国家二级学会,挂靠广州大学.中国教育数学学会每年召开学术年会,讨论“教育数学”研究新进展,有兴趣的读者可以登录网站(中国教育数学网:http://emath.gzhu.edu.cn/)进一步了解.

中国教育数学学会成立以来,张景中先生先后担任理事长、名誉理事长(李尚志教授为现任理事长),王元、王梓坤、徐利治、张奠宙等多名数学家担任顾问.该学会是促进和发展中国教育数学事业的一支重要社会力量,它在中国高等教育学会的指导下,贯彻《中国教育改革和发展纲要》面向21世纪教学方法、教学内容、教学体系改革的精神,适应教育现代化、教育智能化、教育数字化的新潮流,加强现代化数学对初等数学的指导,提高“高初渗透、高初结合”的力度,坚持教育数学、智能数学和数学技术改革的方向,培养教育数学方面的现代化人才,创造学术气氛好、交流融洽的学术园地和环境,促进国内外教育数学的科学研究和成果开发,不断地实践和总结,开创我国教育数学现代化的新局面.

二、为什么要研究“教育数学”?

数学教育学面临的两大问题,无非是:

(1)教什么?——教学内容问题.

(2)怎样教?——教学方法问题.

方法与内容是紧密联系的.肯定了“教什么”,才能研究“怎么教”的问题.于是,数学教育学要靠数学提供材料.

当然一般材料还不是教材.要把材料变成教材,按照教育学的说法,必须对材料进行“教学法的加工”.但是,仅仅进行“教学法的加工”就够了吗?

比如传统的几何教学,都是以欧几里得的平行公设为公理,推出三角形内角和定理.仔细研究,我们发现二者是等价的.那么为什么一定要选择平行公设为推理出发点呢?平行公设涉及无限,而人类的思考、描述和推理,归根结底只能通过语言和文字符号来进行.所以,对无限的思考,归根结底是有限个符号排列组合所表达出来的规律罢了.因此,无论进行什么样的“教学法加工”,学习者学习起来还是困难的.相对而言,认识三角形则容易得多!

教育是大事.未来的医生、工程师、物理学家、诗人与将军,都要从学校里走出来.数学应当提供出“最好”的材料,为了尽可能“最好”,在“教学法加工”之前,就应当进行数学的加工,数学上的再创造.

为了数学教育的需要,对数学的成果进行再创造,这已不是数学教育学的任务了,这主要是数学工作者的责任,是数学的任务.

为了完成这一任务而进行的研究活动,如果发展起来形成方向或学科,就是教育数学.

事实上,从数学家的研究成果到课堂上使用的教材,常要经过两种性质不同的加工.首先要进行数学上的再创造,使琳琅满目但杂乱无章的材料蔚然成序,成为符合教育基本规律的“经典教程”.这部分工作是数学的任务.承担这一任务的数学家也就是教育数学家.在经典教程的基础上进行一次或多次的教学法加工,使之适合当地的学生、教师及社会的条件,成为实际应用的教材,这部分工作是教育学的任务.具体地,是数学教育的任务.承担这一任务的是数学教育家.也就是说,应当是这样的过程:

三、怎样研究“教育数学”?

(一)“教育数学”与优化数学

目前,世界上有数以万计的数学家,他们孜孜不倦地在数学的矿山里开掘.由于他们的劳动,新概念、新定理、新猜想、新问题如雨后春笋般地冒出来.这些新定理的命运如何呢?

它们中的绝大多数,或由于平凡,或由于繁琐,或由于过于专业,或由于其他不知道的原因,被束之高阁,被人们忘却,甚至根本不被人们注意——那就连忘却也谈不上了.

它们中的少部分,曾受到同行专家的青睐,被写入综合性论文、写入专著,甚至载入史册,成为数学工作者或其他科技工作者学习研究的基本参考资料.

只有极少极少的部分,由于它既基础又重要,或特别简单有趣,所以能进入小学、中学或大学的课堂,成为人类代代相传的珍贵遗产中的一部分.

从浩如烟海的原始文献到提纲撮要的综合报告、自成体系的专著,再到能引导初学者跨越科学之门的教材,需要人们付出艰苦繁重的劳动,需要数学上的再创造.

这种再创造的劳动果实为科学界所共享,为学习者所需要.干得出色,就会受到热烈的欢迎、高度的评价.从古至今,都是如此.

欧几里得的《几何原本》,是第一个取得了辉煌成就的对数学材料进行再创造的范例.它影响数学家和科学家的思维方式达两千年之久.直到今天,它仍然没有退出中学课堂.

(二)优化数学的基本原则

那么,对于教育数学工作者,想要优化数学,又应遵循哪些基本原则呢?

教育数学,初看似乎容易,因为它在数学的后方,它所处理的似乎是比较初等的东西,是已被证明了的东西.但困难也在这里,要从平凡而熟知的东西中变出新花样是不容易的.进行再创造,无疑是在向前辈大师们挑战.

更深层的困难在于:很难判断自己的再创造是成功了还是失败了,因为问题本来就不明确.至于问题有没有解决,解决得好不好,就更不明确了.本来,你以为你在某一方面改进了现存的体系.但实际上,也许你的工作反而给数学教育添了新的麻烦!

当然,实践是检验是非优劣的标准,教学实践可以告诉我们,再创造是成功还是失败.

但也有这种情况,“实践”表明成功了的未必真的就好.因为新教材的“试点”,往往有好教师、好学生、好条件,所以才会成功.而大规模的推广,就是另外一回事了.

“实践”表明失败了的也未必真的不好,习惯的势力是强大的,心理因素往往给新方案的推行带来难以逾越的困难.即使新的几何体系比传统的体系简单得多,也会引起教师的不习惯,从而造成学生学习的困难.因为教师往往已按传统体系教了一二十年,已习惯于用传统体系思考问题,要改造思维方式是十分困难的.

所以,新方案的实施,需要从培养教师入手.如果要用实践证明新方案是好的、行得通的,至少要一代人的努力,数十年的光阴.

问题又来了,在没有证明新方案比旧体系更优越之前,社会又怎能下决心用一代人的努力为代价来进行实践呢?所以,在真刀真枪的教学实践之前,还应当作个预测、作个比较.

预测、比较,有没有什么真凭实据的标准呢?

应当是有的,哪怕是几条模糊标准也好.

为了判断教育数学成果的优劣,我们试着找出几条标准来.

标准一:容易想到的是逻辑结构越简单越好.简单的东西容易掌握,这是毫无疑问的.有些数学定理,第一个证明会长达百页.陈景润研究哥德巴赫猜想取得“1+ 2”的结果,最初的证明有200页之多!对于这样长的证明,数学家一方面要硬着头皮来学习,另一方面又不满意,致力于寻找较短的证明.有些定理的证明似乎简短,但用到了比较专业的知识或高深的理论,这也会促使数学家寻求所谓初等的证明.只有简化到一定程度,初等化到一定程度,数学成果才能被更多的人理解,才有可能进入课堂!

所谓逻辑结构简单,又有3个含义:

(1)推理步骤的总数少

比如,平面几何教材中,总是从基本命题出发,一步一步地推出那些希望学生掌握的命题.材料组织得好,推理总步数就少.也就是说,构成整个逻辑链的环节就少,但功能并不弱.那怎样才能减少推理环节呢?这不仅要靠材料的组织,还要靠数学上的创新.

(2)推理的路径短

也就是说,从基本出发点到每个命题之间的逻辑环节尽可能少.在推理步骤总数相同的条件下,推理路径的长短可以不同.如,5个命题A、B、C、D、E,如果推理过程为(每个箭头表示一步推理)A→→B→→C→→D→→E,它的最长路径为8步,平均路径为(2+ 4+ 6+ 8)/4= 5步.但如果我们能找到一种放射型逻辑结构,那它的总步骤仍是8步,但最长路径仅有2步,平均路径也不过2步(如右图).这表明,放射型逻辑结构有希望优于串联的逻辑结构.

(3)推理过程的“宽度”小

所谓推理的宽度,是指为了获得一个命题所要涉及的知识面.

标准二:能否提供有力的解题方法,也是评价教育数学成果优劣的一条重要标准.

数学的心脏是问题.学了数学知识,就要用这些知识去解决相应的实际问题、理论问题.如何教会学生解题,确实是数学教学中最复杂的问题之一.

同一个数学题常常有不同的解法.有些解法虽然有很强的技巧性,但只能用于狭窄的一类问题.比如,传统的算术课里讲了不少特殊的解题技巧,把四则应用题分成“工程问题”、“混合物问题”、“行程问题”、“鸡兔同笼问题”等,并分别提供思路、技巧与公式.孩子们学推理、背公式,弄得焦头烂额.其实这些不同类型的题目,都可以通过方程轻松解决.代数之所以比算术高明,是因为它能够提供更有力的通用方法.

除了简单的逻辑结构、有力的解题方法外,还应当要求些什么呢?

标准三:那就是数学概念的引入,应当使学生感到亲切、自然、平易、直观.

教学过程中有信息的传递,但教学过程绝不是简单的信息传递过程.学生的大脑不是录音机里的磁带,不能只是简单地把输入的信息录下来.心理学的研究告诉我们,学生理解和形成数学概念是一种主动的心理过程.他们把课堂上听到的新内容,纳入自己已有的经验系统,或者按自己的方式理解新的东西(同化),或者改造自己原有经验而形成新经验(顺应).

在安排教学过程时,我们既要想到学生头脑里已经有的东西,又要考虑到学生将来要学的东西,充分发挥学习过程中正迁移的作用,防止负迁移.教育数学,要为这种安排提供素材.对即将引入的内容,要形成“山雨欲来”之势;对引入的新内容,要让学生有“似曾相识”之感.温故知新,承前启后,充分发挥正迁移的作用,这个想法贯穿着我们在教育数学领域所做的初步工作.

更简单的逻辑结构、更有力的解题方法、更平易近人的数学概念,这是教育数学追求的目标,是教育数学的择优标准,也是教育数学选题的指南.

(三)优化数学的两个着眼点

我们已经规定了教育数学的任务:为了数学教育的需要,对数学成果进行再创造.

数学知识,特别是作为数学教育内容的基础知识,是现实、客观世界的空间形式和数量关系的反映.同样的空间形式,同样的数量关系,可以用不同的数学命题、数学结构、数学体系来反映.正如从不同的角度给一头大象拍照一样,会得到十分不一样的照片,但它总是这一头象.只是,有的反映方式便于学习、掌握、理解、记忆,有的则不然.

不同的反映方式,尽管都是客观世界的正确反映,但教育的效果却会大不相同.比如,罗马数字的算术和阿拉伯数字的算术,尽管算题时得出同样的结果,但在教育效果上的差别是显而易见的.

因此,为了数学教育的目的,我们应当用“批判”的眼光审视已有的数学知识.这批判,当然不是怀疑这些数学知识的正确性,而是检查它们在教育上的适用性.我们要用系统科学的观点,联系着前后左右的教学,联系着学生的心理特征与年龄特征,看一看,问一问,哪种反映方式较优,能不能找到更优或最优的反映方式.

为了认识平面图形的性质,我们可以学欧氏的《几何原本》,可以学《解析几何》或《三角学》,可以学《质点几何》,也可以学《向量几何》,甚至还可以创造新的几何体系.哪种方案能更快更好地完成这一阶段数学教育的任务呢?这需要我们仔细考察.

寻求更优的反映方式,是数学上的再创造活动.但是,我们应当从哪里下手呢?

可以着眼于两点——难点和新点.

数学教学中,有一些传统的、公认的难点,如几何解题、极限概念、三角变换等.对付难点常用的办法,有分散难点、推迟难点、反复强化、适当回避等手段.

从教育数学的角度看,难点之难,很可能是由于数学成果未能给客观世界提供好的反映,这就需要通过再创造寻求更优的反映方式.也就是说,通过教育数学的研究,改造数学概念的表述方式,提供更便于掌握的方法,化解难点.

难点,给教育数学提供了课题.

什么是新点呢?

随着数学的发展和科学技术的进步,数学教育的内容和方法也必然相应变化.传统的初等数学,即中小学的数学,不过是算术、几何、代数与三角,这些都是几百年前数学家们早已熟知的东西.而现代的初等数学,即数学教育现代化运动中提出的应当进入中学课堂的教学,已包括:(1)初等微积分;(2)初等集合论;(3)数理逻辑引论;(4)近世代数的概念,特别是群、环、域和向量的概念;(5)概率论和统计引论.有些方案还主张加入向量和线性代数,等价关系和顺序关系,初等拓扑学引论和非欧几何学引论等内容.这其中有不少内容,对于中学老师还是新东西.

这么多的东西,一下子挤进中学数学的课堂(必修或选修),将会造成什么局面?如何才能使学生学得更快更好而又不加重负担?这是教育学与数学面临的问题,是数学教育与教育数学的共同任务.这么多的内容如何妥善安排,形成一个优化的系统,光靠“教学法加工”显然不够,还需要数学上的再创造.

比如,微积分的初等化,很多数学家都做过研究.近年来以张景中、林群两位先生的工作尤为引人注意,他们希望不依赖极限概念而建立微积分体系,这样能够一定程度上降低微积分的入门门槛,让更多的人领会人类文明发展史上理性智慧的精华——微积分.

中国科技大学龚升先生曾说,“将微积分称之为高等数学是习惯上的说法,微积分在牛顿时代自然是高等的,现在看来,只能说是数学的初步知识.”