改进数学变式教学，促进学生主动学习

改进数学变式教学，促进学生主动学习

屠彦林

变式教学一直是数学教师训练学生思维的法宝，但在实际运用时，有时却觉得并没那么奇妙。

比如：一次期中考试前的复习中，进行过如下一组变式训练：

例题1 解二元一次方程组

例题2 关于x的方程2x＋a＝1与2x－3a＝－11的解相同，求a的值？

教师根据自己的研究设计了最佳的解题步骤与方法，把它传授给了学生。又根据体会归纳了题目之间的关系与区别，希望能对学生的判断应变能力的提高有些帮助。但实际却并非如此。期中考试的题目“关于x的方程2x＋a＝1与2x－3a＝－11的解互为相反数，求a的值？”与变式2只有“解相同”与“解互为相反数”的区别，却使72%的学生解答错误？产生这一结果的原因：教学设计与教学过程缺乏明确的教学理念的引领，缺少有针对性的正确的教学操作手段来解决谁来思考的问题，在不知不觉中，选择了“教师带着学生走”、“学生被动跟着教师学”的错误教学程序。如何才能使变式教学真正变成思维训练的法宝呢？

一、为学生创设广阔的思维空间的变式训练

传统教学中出现的“重解题方法、轻分析能力，重做题、轻理解，重讲、轻思的‘填鸭式’”教学的分析与研究得出这样的结论：没有给学生留有足够的思维空间和余地，不允许学生有任何意义上的标新立异，这种让学生被动应答式的教学，抑制了学生学习的主动性、思考的独立性，养成了学生在学习上的严重依赖、等待、随从教师的习惯。因此，创设广阔的思维空间成为了促进学生思维发展，培养独立思考能力、创新能力，形成主动学习氛围和习惯，增强学习的发展后劲的重要措施。简单地说在变式教学中创设“广阔的思维空间”，就是如何设计适合学生思考的题目。

变式教学给学生提供“广阔的思维空间”指的是为达到揭示概念的内涵、选择解题的方法、认清条件的变化、抓住问题的实质、确定图形的母本等目标而设计相应的变式题型，以促进学生积极投入思考，主动进学习，解决目标指向的问题。实际操作应关注五个角度：一是使学生既知道何时应独立思考，又知道怎样互相合作与交流。二是教师要对学生的思考的范围进行换位分析，不但要充分考虑到学生群的认知能力，还要注意知识与方法内涵的完整性。三是题型条件要从学生原有的知识结构出发，设计适合学生思考的渐进阶梯。让学生在学习过程中既感到一定的压力，又觉得能凭借自己的能力是可以解答的原则，使学生成功克服压力，让压力变成动力。让直觉变成现实，产生“我能行”的自信。四是着重关注对比联想、分解组合、分类说明等常见的思考方法训练与养成，注重听—思—写—说的过程训练及各环节互相促进的综合素质的提高。五是注意平时师生之间平等的情感积累，使学生思绪在教师创设的思维空间中自由地、熟练地驰骋。

创设具有“广阔思维空间”的变式训练要以教学目标为指向进行选择与设计。下面就从抓住问题的实质、揭示概念的内涵、选择解题的方法、认清条件的变化、确定图形的母本五个方面分别说明。

（一）以抓住问题实质为目标指向的变式训练

问题实质的反面就是表面现象，透过现象看本质，是数学教学的一个重要的教学目标。变式教学可以运用比较的方法使问题实质浮出水面，让学生在实践中，掌握透过背景资料确定问题实质的方法，形成揭示本质的主动学习能力。例如：

第一组：在百分数的应用教学中，我设计了如下一组题目：

（1）173是300的几分之几？

（2）173是300的百分之几？（百分号前保留一位小数）

（3）小丽为希望工程捐款300元，小杰为希望工程捐款173元，小杰为希望工程捐款数是小丽为希望工程捐款的几分之几？（百分号前保留一位小数）

分析与说明：在这组题中先给出了没有问题情境的数学模型，再给出一个包含实际背景的生产生活中的问题，让学生在不了解如何把生产生活实际问题转化成数学模型的条件下，对比两者之间的关系，揭示问题的数学本质，让学生在比较、体会中有所领悟，形成建模的基本认识。

第二组：在不等式应用的教学中，我设计如下一组题目：

题1：某园林在三月份第一周计划植树，如果每天比原计划少种一棵，那么七天植树少于50株；如果每天比原计划多种一棵，那么七天植树就超过60株，问计划每天植树多少株？

题2：某车间计划生产一批零件，如果比定额少一个零件平均分配组七个小组，完成的零件个数少于50个，如果每个小组比定额多分配1个，完成的零件个数就超过60个，问按定额每个小组应该生产多少个零件？

分析与说明：这两道题的背景资料不同，给学生带来的困难是因为题目设计的实际内容，可能学生没有接触过而造成对题目与要解答的问题不理解，用学生的话来说就是“读不懂”。随着二期课改的不断深入，让人们看到数学能更多地解决生活实际问题的呼声就越高，数学的实用价值与现实价值的体现成为人们关注的一个焦点。然而，生产生活实际存在各种不同种类的社会分工，想全面了解行业各自特点是不可能的。只能从问题中的数学实质出发，在不完全明白不同行业特点的情况下，仍可以用数学的方法解决一些数据与决策方面的问题，才是解决问题的根本途径。在锻炼的过程中使学生感悟到解决实际问题的数学本质性方法是如何抽取出来的，形成从共性出发，解决一类问题能力。也让学生感受到把有共同特征的题型归纳整理的价值。

（二）以揭示概念的内涵为目标指向的变式训练

概念为了准确与具有排他性，往往需要多个条件限定，每个条件都是缺一不可的，不可替代的。但由于描述概念时对各条件的说明没有侧重点和具体应用实例，学生往往会重视一部分已经应用过的条件，而忽略应用较少但同样重要的条件。为了揭示概念的完整内涵，就要设计针对每个条件的变式题目，使学生印象深刻。例如：为了加强学习，在关于正比例（函数）与反比例（函数）概念的理解，我设计了下列一组题目：

题1：已知矩形的面积公式为S＝ab

问（1）变量S与a成正比例还是反比例？

问（2）当b是非零常数时，变量S与a成正比例还是反比例？

问（3）当a是非零常数时，变量S与b成正比例还是反比例？

问（4）当S是非零常数时，变量a与b成正比例还是反比例？

题2：由矩形的面积公式得a＝

问（5）当b是非零常数时，变量S与a成正比例还是反比例？

问（6）当a是非零常数时，变量S与b成正比例还是反比例？

问（7）当S是非零常数时，变量a与b成正比例还是反比例？

分析与说明：在正比例（函数）与反比例（函数）中，首先要知道谁是变量谁是常量，题1的问（1）中，没有指明这一点，也是学生的思考时会忽略的一个条件，在解答这个题目的过程中，让学生理清判断从哪里入手；要分清哪种是正比例关系，哪种是反比例关系，定义是以定“形”的方法来让学生认识的，但正反比例各有两种“形”，写法相近，如不对比研究就无法正确使用这些“形”。题1中的问题2中的问（7）正是从这个角度出发，让学生在研究与实践中一点一点找到正确有条件“形”的途径，在比较中分清了概念的全部内涵。

（三）以选择解题的方法为目标指向的变式训练

选择解题的方法，一种情况是指解题的方法已经在以往的学习过程中学过，在实际解题时，如何把它从众多的解题方法中筛选出来；另一种情况是指在选择出的方法中确定哪些是能以不变应万变的一般方法，哪些又是能针对特殊条件快速解决问题的特殊方法，哪些是能绕过题目设计的“易错”陷阱的最佳方法。针对这个问题的解决的变式内容往往比较多，运用的思考方法也很复杂。下面举例说明。

解决本文开始所举的变式教学教训的方法是设计如下一组题目：

题1：解关于x的方程2x＋a＝1

题2：当a取非负整数时，求方程2x＋a＝1的非负整数解

题3：解二元一次方程组

题4：关于x的方程2x＋a＝1与2x－3a＝－11的解相同，求a的值？

题5：关于x的方程2x＋a＝1与2x－3a＝－11的解的和等于1，求a的值？

题6：关于x的方程2x＋a＝1、2x－3a＝－11的解的差等于1，求a的值？

题7：关于x的方程2x＋a＝1的解的2倍与方程2x－3a＝－11的解的3倍的和等于1，求a的值？

分析与说明：题1与题3的内容是学生已学过的知识，选择它们是为了把学生的认知基础与变式训练联系起来。题2与题4是让学领会怎样应用题1与题3的方法以“不变应万变”的方法解决变化的题目，以及选择这两种方法的理由与判断依据。题5与题6是在做了前面的铺垫后，给学生创设更为广阔的思维空间，验证自己的成果，选择自己认为有效的方法解题，比较不同方法的难易程度，找到各自解题的实践体会。题7是在条件变化复杂的情况下，因繁质疑，形成新的解题思路：用三元一次方程组来解答。整个变式的设计围绕方法的选择这一主题，让学生在试验的成功与失败中一步一步认清问题实质，明确解决这类问题的基本思路与方法架构。

（四）以认清条件的变化为目标指向的变式训练

认清条件是正确解答的关键，但很多问题中除显性条件外，还存着隐含条件，这些条件在实际应用时往往不能被学生准确感知到，导致出现不应有的错误。因此需要加强针对性的训练：

第一组：

题1：求一个两位数，其中个位数字比十位数字大2，且这个两位数大于50，同时又小于60。

题2：求一个两位数，其中个位数字比十位数字大2，且这个两位数大于90，同时又小于120。

题3：求一个两位数，其中个位数字比十位数字小2，且这个两位数大于50，同时又小于60。

分析与说明：题中“一个两位数”具有隐含条件，但学生在确答题1时，只认为这个隐含条件是“个位与十位都是整数”。当然找到这样的条件是可以正确解答题1的。但是如果不知道题目中“一个两位数”的完整隐含条件，会在变化的题目中吃亏。因此题2、题3就在“小于10的整数”与“个位数的条件与十位数的条件互相制约”上做文章。让学生全面了解条件的完整性，保证在条件变化时仍能正确解答。

第二组：

题1：学校有住宿生若干人，分住若干间宿舍，如果每间住4人，那么余下20人无法安排，如果每间住7人，那么有一间宿舍不空也不满，其他宿舍都住满，求宿舍间数？

题2：学校有住宿生若干人，分住若干间宿舍，如果每间住4人，那么余下20人无法安排，如果每间住7人，那么有一间宿舍不空也不满，其他宿舍都住满，求住宿生人数？

分析与说明：这一组题目中，只有最后的问法不同。如果在解答时以题1的问法设未知数，两题均可以比较容易得出一致的答案，但如果按题2的问法设未知数时，会发现多出一些结果来，形成的原因是应该让学生在训练过程中领会的。其实是后一种设法中的“房间数”是用分数写法写出的，但“房间数”本身要取正整数，是这个隐含条件没有引起学生重视，才出现多解现象的。通过这组变式训练，揭示了变化的条件下应如何重新挖掘题目中的隐含条件的方法与思路。

（五）以确定图形的母本为目标指向的变式训练

在几何图形的学习与运用中，有一个基本的思路：从复杂的图形中确定简单的基本图形，做到分解与组合的游刃有余，使复杂的问题迎刃而解。本文把这样的基本图形称之为图形的母本。例如同位角、内错角、同旁内角的教学：

图形母本：三线八角（截线m，被截线a和b）

同位角：截线的同侧，被截线的同侧（四组）

如：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8

内错角：截线的异侧，被截线之间（内）（两组）

如：∠3与∠6，∠4与∠5

同旁内角：截线的同侧，被截线之间（内）（两组）

如：∠4与∠6，∠3与∠5

　　　　　变形一（角度变） 　　变形二（局部）

变形三（三交点，截线被截线模糊）

变形四（四条线）

分析与说明：变形一从不同角度观察图形，让学生对三种角的确定有更好的适应能力；变形二从局部出发，让学生学会认清局部图形的特征；这两种图形都是学生要掌握复杂图形前的最基本看图能力。变形三使截线与被截线出现模糊，学生的判断会出现一些问题，为三种角的判定结论得出做思考上的准备（判定结论：三种角共有三条边，其中一条是公共边）以进一步了解图形母本的本质特征；变形四属于复杂图形，训练学生运用三种角的概念与判定结论的能力。

二、给学生充足的思维时间的变式训练

如果说“思维空间”的准备还需要以有丰富经验的教师为主体，对此学生只能被动地接受的话，那么如何在这给定的思维空间中进行思考就必须要以学生为主体。要充分意识到学生无论是得出正确的结果还是错误的结果，都是对学生思维发展有利的，尤其是错误的结果，更应引起教师的高度重视，它是学生思维发展过程中的一种必然，有了它的铺垫，有了纠正错误的经历，才形成了完整的思维过程，才产生面对新问题时解决问题的真实能力。此时教师任何的代替都可能会带来不良的后果。因此成果着重强调要给学生充足的思维时间，才能让学生获得主动学习的能力。

这里所指的含义有二。其一，它既包含上课的时间，也包括课余的时间。学生能在课余时间思考数学问题，就会逐渐在生活中从数学的视角去审视问题。这对建立解决实际问题的数学思维逻辑和巩固学习数学的兴趣，在数学这一知识海洋内寻找落脚点，有非常重要的意义。其二，无论是课上还是课余，“充足的界定”都是以学生完整的思考所需时间为依据的，因此“充足的时间”存在着不可预测性。依此类推，课堂教学的概念、定理、方法的形成就不能以课时为依据强行规定时间，如果课堂上无法完成，按“充足时间”的要求，就要在课余继续进行思考，或在以后的课堂上继续进行研究与启迪。既要给学生充足的思考时间，又要完成正常的教学进度，这是在推广中要克服的最大困难。为此我推广、尝试运用了创设“充足的思维时间”的几个操作策略试验。

（一）渐进策略

渐进策略有两个角度。第一，调控学生思考时间的渐进策略：学生的主动学习与主动思考习惯养成与能力提高是需要一个过程的。达到目标的最佳方法就是坚持到底。第二，变式教学内容设计的渐进策略：由浅入深，由易到难，训练的起步时设计的目标要低，目的鲜明地做好变式训练中的基本功，遗留下较难的部分可以在主动学习能力达标后再现。

（二）延迟策略

学生在课堂上没有思考完的内容，不轻易选择教师说出结论，而是给出其他的时间，让学生充分的思考。思考力的水平并不只是以思考的结果来评价的，还可以用连续思考的时间长短来界定。数学问题的结果的价值远小于思考过程的思维训练的价值。延迟策略让学生继续在数学的智力迷宫中挖掘寻宝。有了成功经历的学生会激发其自信，能感受到成功的价值，更能提高继续学习的主动性。

（三）诘问策略

为了在课堂上降低学生对教师的依赖性，提高主动性，教师要注意走下讲台，学会倾听，在学生讨论的关键时刻提出问题。把错误放大，引起学生反思，从不同的角度提出质疑，引导学生从问题迷雾中走出来，即苏格拉底的诘问法。在诘问过程中，提醒学生把想出来的方法固化成思考模式，介绍相类似的思考方法进行比较。

（四）树状图形辅助策略

思路是否清晰，讨论是否能沿着正确有效的轨迹运行，往往课堂要用一些形象的方法辅助，使学生明了思考的位置。思路树状图形辅助法，可以解决这个问题，它使学生明确了解决问题的进程，走出失败重新整理解题路线，达到选择最佳思考途径的目的。

总之，只有为学生创设广阔的思维空间和充足的思维时间，才能在还学生主动权的前提下，把被动的“要我学”变成主动的“我要学”，走出“先天不足”的怪圈，驶入“越学越有后劲”的快车道。这与教育心理学中的“跳蚤”试验结果不谋而合，是“以学生发展为本”素质教育理念渗透于实际教学中的具体体现，也是二期课改设计“过程、能力与方法”教学目标的真正目的。