自主变式教学的策略研究

沈　良

摘　要：高中数学复习教学是一个值得探讨的课题。本课题依据变式教学理论与马顿的变异理论，对自主变式教学进行了实践研究，归纳出“填解式”自主变式策略，即并列式自主变式、递进式自主变式；“异同式”自主变式策略，即对比式自主变式、组合式自主变式；“推理式”自主变式策略，即归纳式自主变式、类比式自主变式。

关键词：填解式自主变式　异同式自主变式　推理式自主变式

“填解式”自主变式策略

所谓“填解式”自主变式策略，是指在教学中，教师利用原题改编成母题，引导学生通过填补相应条件而成为不同的子题并尝试寻求解答的策略。从这角度上来说，“自主变式”也可定义为“变式探究”。若填补的条件仅改变了事物的非本质特征，保留了本质特征，我们把这种策略称之为“并列式”自主变式；而若填补的条件改变了事物的本质特征，我们把这种策略称之为“递进式”自主变式。

（一）并列式自主变式案例评析

自主变式3．已知直线l：y＝k（x－1）与椭圆交于两点A，B，F为椭圆右焦点，若求实数k的值。

自主变式4．已知直线l：y＝k（x－1）与椭圆交于两点A，B，Q点坐标为（0，－1），

的角平分线平行于x轴，求实数k的值。

评析：解决直线和圆锥曲线位置关系问题时，很重要的一种方法就是“方程法”，部分学生在处理此类问题时往往会囿于题目所给的几何条件茫然失措，不能有效转化。复习教学中，教师抽离出几何条件，让学生来填补几何条件并寻求解答，从而体会方程法的“通解通法”。以上的种种填解式变式，就是在课堂教学中，学生通过自我探究、集体讨论、完善整合得到的问题。通过这种填空式的编题方式将学生已有知识汇总起来，不仅冲击学生原有的视野，易于激发学生学习激情，而且更能使学生在丰富多样的几何条件下找到问题的共性、问题的本质，做到“一叶知秋、一木成林”。

（二）递进式自主变式案例评析

【例2】已知函数试判断f（x）在区间［0，2］上的单调性。

自主变式3．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R，试讨论函数f（x）在R上的单调区间。

自主变式4．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋1，a∈X在区间［0，2］上单调，求a的取值范围。

评析：导数中含参讨论问题对学生而言始终是一个难点，复习教学中，可以让学生先简单回顾二次函数中含参讨论的依据，如学生会谈到需要对二次函数的“开口、对称轴、根的分布”“Δ”等讨论。教师再依次引导学生进行自主变式，使构造的函数含参讨论形成根的分布讨论─→开口方向的讨论─→方程判别式（或值域）的讨论等，其问题的处理手段、着眼点在发生转变，学生对问题的认知维度也由一元向多元发散。通过教师的引导，学生的自主变式与自主探索，将含参讨论问题引向纵深，使学生能更好把握分类讨论思想。

“异同式”自主变式策略

所谓“异同式”自主变式策略，是指在教学中，因某些概念等内容相似但又有区别，教师通过“求同存异”式的方式引导学生思考事物间的关联性与差异性，并尝试自主变式与解答的策略。若思考的方向侧重于研究某些事物间的区别性、差异性，我们把这种策略称之为对比式自主变式；若思考的方向侧重于研究某些事物间的相似性、关联性，我们把这种策略称之为组合式自主变式。

（一）对比式自主变式案例评析

【例3】一个袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中取球，每次取一个，取后不放回，一共取球4次，记取到白球个数为ξ1，求ξ1的分布列。

自主变式1．一个袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中取球，每次取一个，取后放回，一共取4次，记取到白球个数为ξ2，求ξ2的分布列。

自主变式2．一个袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中取球，每次取一个，取后不放回，直到取到白球时取球终止，记停止取球时取球次数为ξ3，求ξ3的分布列。

自主变式3．一个袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中取球，每次取一个，取后放回，直到取到白球时取球终止，记停止取球时取球次数为ξ4，求ξ4的分布列。

自主变式4．一个袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中取球，每次取一个，取后放回，直到取到白球两次时取球终止，记停止取球时取球次数为ξ5，求ξ5的分布列。

评析：随机变量分布列的学习往往会使学生觉得困难，究其原因是条件不清、概念不清。教学中，通过教师引导，结合学生已有的一些模糊概念和经验，让学生主动建构问题，使学生能够对服从于超几何分布、二项分布、几何分布等随机变量的异同点进行有效区分，使学生在知识的关键点上产生冲突和矛盾并豁然开朗。

变式1与例题的区别之处在于“放回”与“不放回”，是分别服从于超几何分布与二项分布的随机变量；变式2与例题的区别之处在于在同是“不放回”的前提下，研究不同情景的随机变量；变式3与变式2则又回到了“放回”与“不放回”，而变式3则也是比较经典的分布模型：几何分布；变式4与变式3则是同在“直到型”随机变量前提下，取白球一次与两次的区别，这样也会让学生产生更多的想法，比如直到取白球三次等等。

从此案例可以看到，在学生学习过程中，经常会碰到某些知识概念模糊、概念混淆现象。要克服这些困难，就需要对这两个概念进行有效对比。采取一种“曲折”的方式，让学生去自主变式呈现问题，不仅有利于发散学生思维，而且也有利于学生在认知中产生一种冲突，在这些知识概念的关键点上进行区分辨别，必然能产生事半功倍的效果。

图1

自主变式2．（2009浙江省会考卷第41题）如图2，由半圆x2＋y2＝1（y≤0）和部分抛物线y＝a（x2－1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C经过点（2，3）。（1）求a的值；（2）设A（1，0），B（－1，0），过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交与P，A，Q三点，问是否存在实数k使得∠QBA＝∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

评析：相比较例1的自主变式，这里的自主变式侧重的是主体的改变，应用组合思维将椭圆进行改造使用。通过将两个“半椭圆”组合构成了“果圆”，将抛物线一部分与半圆组合构成了“羽毛球形线”，可见组合思想之奇妙，而在这种奇妙思想下也创造了数学之美。这样的试题不仅可以让我们领略到数学的奇异美，获得精神上的享受，而且试题的设问也别出心裁，浑然一体，值得我们认真地琢磨与研究。

图2

当然，在教学中要学生直接编出这样的题目来也是不现实的，所以此时自主变式教学应注意一个度，要建立在学生基础之上进行有意义的变式，如本题可以是教师引导下，让学生自主探索或发现“果圆”曲线（“羽毛球形线”）及其方程，这样可以培养学生的创新思维和学习的成就感。

“推理式”自主变式策略

所谓“推理式”自主变式策略，是指在教学中，教师引导学生根据已有事实与结论，通过合情推理的方式来尝试自主变式并尝试解答与求证的教学策略。

若合情推理的方式采用的是归纳推理，那么我们把这种变式称之为归纳式自主变式；若合情推理的方式采用的是类比推理，那么我们把这种变式称之为类比式自主变式。

（一）归纳式自主变式案例评析

【例5】（2007重庆理第21题）已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和Sn满足S1 ＞1，且6Sn＝（an＋1）（an＋2），n∈N＊。（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ）略。

自主变式1．已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和Sn满足S1≠k－2，且2kSn＝（an＋k－2）（an＋2），（k∈R），求数列｛an｝的通项公式。

自主变式2．已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和Sn满足2kSn＝a2n＋kan＋m，（k，m∈R）。求证：数列｛an｝为等差数列。

评析：例5这样的题目的数列学习中经常会碰到，教师需要培养学生更深层次地看待问题，如本题中应当引导学生思考条件中Sn与an在满足什么样的条件下可使数列｛an｝为等差数列。从例5到自主变式1是从“具体”到“抽象”的跳跃：从“6”抽象出实数“2k”；而从自主变式1到自主变式2则是“特殊”到“一般”的跳跃：从“k（k－2）”跳跃到更一般的情形“m”。在这过程中，让学生从解题规律中去归纳出其中缘由，必然会大大激发学生学习兴趣，同时有利于培养学生在简单数学问题中寻找不平凡的真理。

当然，学生的猜想往往并不是如此一帆风顺的，有时猜想结论的正确性可能需要修整完善。如例6所示。

图3

（二）类比式自主变式案例评析

【例7】（2009湖北理第20题）过抛物线y2＝2px（p＞0）对称轴上一点A（a，0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x＝－a作垂线，垂足分别为M1，N1。（Ⅰ）略。（Ⅱ）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22＝λS1S3成立。若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

评析：如果说归纳推理还局限于某种圆锥曲线的话，那类比推理则联结了各圆锥曲线，如数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”，它指引着我们更好地认识圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质和相互之间的联系。例7中不难求得存在λ＝4时，使S22＝4S1S3成立。自主变式1中从抛物线的性质类比到椭圆的性质，是有一定难度，可以是课堂上在教师点拨下完成，而从自主变式1得到自主变式2可完全由学生独立完成。通过这种猜想不仅可以巩固学生的学习效果，也可以丰富学生的学习活动，使学生的高三学习也能更灵动、洒脱。