随机变量的概率分布

随机变量的概率分布_社会统计学

第二节　随机变量的概率分布

随机变量的概率分布是指，各个随机变量取值时它们对应的概率取值。比如投掷n次钱币，出现1、2、3、…n次正面的概率；生育3个孩子出现1、2、3个男孩的概率；也可计算出现在等候不同时间(2分钟之内，2～4分，4～6分，……)公交汽车的概率。前两类称离散型随机变量概率分布，最后一类称连续性随机变量概率分布。

一、离散型随机变量

1.概率表示方式

随机变量的取值及其概率值的表示形式有多种，哪一种合适需要具体情况具体分析。

(1)表格形式

设离散型随机变量x的所有可能取值为x₁，x₂…，x_n，…，相应的概率为p(x₁)，p(x₂)，…，p(x_n)，…。可用表格表示如表5.7所示。

表5.7　　　　　　　　　　概率表格表示的一般形式

而连续型随机变量x的概率分布，无法用表格的形式进行表示。

(2)函数形式

这称为离散型随机变量X的概率分布。也可简单记为:

P(X=xi)=p(xi)(i=1，2，…)　　　　　　　　　　　(5.8)

(3)图示法

以X轴为横坐标，X所对应的概率为纵坐标，由此构成直角坐标图。

［例5.19］掷四个钱币，出现正面数i就是随机现象，其最小为0(全部是反面)、最大为4(全部是正面)，共有5种结果:0、1、2、3和4。有16种可能性分别是:0000、0001、0010、0100、1000、0011、0101、0110、1001、1010、1100、0111、1011、1101、1110和1111。出现0个正面——4个钱币都是反面的情况为:0000、……；2个正面的情况分别为:0011、0101、0110、1001、1010和1100等6种可能性；……；4个正面的情况为:1111。于是概率理论分布如表5.8所示。

表5.8　　　　　　　　　　4个钱币出现正面的概率理论分布

由此可见，概率是一种可能性。4个钱币出现2个正面的概率为37.5%，出现1～3个正面的概率为87.5%。以上是表格形式，实际上，其服从二项分布，可用如下函数表示:

　　p(i)=C₄ⁱ(0.5)ⁱ(0.5)^4.i=C₄ⁱ(0.5)⁴=C₄ⁱ/16(0≤i≤4)

其中C_n^m为组合，C_n^m=n!/(m!*(n－m)!)，其中n＞m，m!表示m的全排列。

m!=m*(m－1)*(m－2)*(m－3)……3*2*1

如C₄²=4!/(2!*(4.2)!)=4!/(2!*2!)=6而若以为i横坐标，p(i)为纵坐标就可获得如图5.2所示。

图5.2　概率图形表示形式

［例5.20］掷两颗六面体骰子的试验，点数之和i是随机现象，其最小为2、最大为12，共有11种结果:2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，其对应出现的概率p(i)如表5.9所示:

表5.9　两颗骰子点数之和的概率表格表示形式

由此可见，2颗骰子点数之和i为6～8的概率为44.4%，i为10以上的概率为16.7%。以上是表格表示，下面是图形表示(如图5.3所示)。

图5.3　两颗骰子点数之和的概率图形表示形式

2.特征值

离散型随机变量X的特征值是指随机变量X的期望值、方差等。

(1)期望值:　　　　　μ=E(X)=∑x_ip(x_i)　　　　　(5.9)

随机变量的期望值即其平均位，是随机变量分布的集中趋势，即分布的中心位置。容易验证期望值满足性质:E(αX₁+βX₂)=αE(X₁)+βE(X₂)，其中X₁，X₂都是随机变量，α，β是任意常数。并且这个性质可推广到多个随机变量情形。

在［例5.19］中，μ=∑x_ip(x_i)=0*1/16+1*4/16+2*6/16+3*4/ 16+4*1/16=2，即如果一次抛4个钱币，平均可出现2个正面的钱币。

(2)方差:σ²=Var(X)=E(x－μ)²=∑(x_i－μ)²*p(x_i)　　　　　　　(5.10)

方差的平方根，称为标准差，方差σ²或标准差σ反映随机变量X对其期望值的离散程度，σ²或σ越小，说明期望值的代表性越好；σ²或σ越大，说明期望值的代表性越差，也容易验证。对于任意的α，σ²(αX)=α²*σ²(X)成立。

在［例5.19］中，σ²=∑(x_i－μ)²*p(x_i)=2²/16+1*4/16+0+1*4/ 16+2²*1/16=1

读者能否计算一下，在［例5.20］中μ和σ²分别是什么。

3.离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的概率分布，主要研究均匀分布、二点分布、二项分布、超几何分布和泊松分布情况下的随机变量概率分布形式及其参数(均值、方差等)表示。

(1)两点分布

如果随机变量仅能取0和1值，取1的概率为ρ，取0的概率为1－ρ，则称X服从两点分布或0－1分布，ρ是X的参数。如果将随机事件的所有结果分为对立的两类，成功事件和失败事件。成功的概率为ρ，而不成功事件1－ρ。若用随机变量X来描述这种随机试验的结果，把“成功”事件记作1，把“失败”记作0，那么，X服从参数为ρ的两点分布。

［例5.21］已知某100件产品中有次品15件。现从中任抽一件，写出抽中成品或次品分布列。

解:用随机变量X表示抽取结果。若结果是正品记作X=1，若结果为次品记X=0。分布列如表5.10所示:

表5.10　　　　　　　　　　二点分布表

该分布的数字特征如下:数学期望E(X)=ρ，方差V(X)=ρ(1－ρ)

(2)二项分布

在一些问题中，人们仅对试验中某事件A是否发生有兴趣，如果A发生，常称“成功”，否则称“失败”。这种只有两种结果的试验称为贝努里试验。设A出现的概率为p、不出现概率为1－p；重复进行n次贝努里试验，称为n重贝努里试验，或称二项分布。

二项分布(贝努里试验)必须满足如下四个基本条件:①仅有两个互斥的结果；②每次试验成功的概率不变；③每次试验相互独立，即任何一次试验结果都不会对另外一次试验结果有影响；④重复试验的次数固定不变。

以B_k表示n重贝努里试验中，事件A出现k次的事件，则b(k；n，p)表示试验n次后，事件A出现k次的概率:

　　　　b(k；n，p)=C_n^kp^k(1－p)^n－k(k=0，1，2，3……，n)　　　　　(5.11)

由于该公式仅依赖于k，n，p三个参数，故也简化记录为P(B_k)。二项分布的数学期望为E(x)=n*p

二项分布的方差为:σ²=Var(x)=n*p*(1－p)

二项分布的偏态系数为:

二项分布的峰态系数为:β₂=3+［1－6*p*(1－p)］/［n*p*(1－p)］

［例5.22］设想一个盒子内有10个球，6个红球4个白球，现随机抽取1个球看一下，然后放回原盒子，连续进行三次试验(抽取)，问出现2个红球的概率是多少?

这是一个典型的二项分布问题。仅有两个互斥的结果，红球与非红球；因为抽取后放回，抽样概率不变(出现红球的概率p=0.6；出现白球的概率为1－p=0.4)；本次抽样结果不影响下一次抽样；抽样次数固定，本例为n=3； k=2。

故实际上是求:P(B₂)=b(k；n，p)=b(2；3，0.6)=C₃²(0.6)²(0.4)¹=0.432

类似可以求出b(0；3，0.6)=0.064；b(1；3，0.6)=0.288；b(3；3，0.6)=0.216

即抽样中出现0、1、2、3个红球的概率分别是0.064、0.288、0.432和0.216，合计为100%。

常用B(k；n，p)表示二项分布的递增累计概率，F(x)=B(k；n，p)= P(x≤k)=∑C_n^kp^k(1－p)^n－k

如在上例中:

B(1；3，0.6)=b(0；3，0.6)+b(1；3，0.6)=0.352；

B(2；3，0.6)=B(1；3，0.6)+b(2；3，0.6)=0.352+0.432=0.784；

即出现1个及以下红球的概率为0.352，而出现2个及以下红球的概率为0.784。

显然，n重贝努里试验中事件A出现的次数A是个随机变量，其取值范围是从0到n。其分布如表5.11所示。

表5.11　　　　　　　　　　二项分布表

由于式(5.11)是二项展开式的通项，故该分布称为二项分布。

［例5.23］某地区家庭中有老年人口家庭占15%，现在该地区有放回地进行随机抽取10户进行调查，问老年人口家庭在3户以内的概率，老年人口家庭恰好为3户的概率，老年人口家庭为3～5户的概率，老年人口家庭超过4户的概率。

P(x≤3)=B(3；10，0.15)=∑C₁₀^k(0.15)^k(0.85)^10－k=0.95(K=0、1、2、3)

P(x=3)=b(3；10，0.15)=C₁₀³(0.15)³(0.85)^10－3=0.1298

P(3≤x≤5)=P(x≤5)－P(x≤2)=B(5；10，0.15)－B(2；10，0.15)= 0.9986－0.8202=0.1784

P(x＞4)=1－P(x≤4)=1－B(4；10，0.15)=1－∑C₁₀^k(0.15)^k(0.85)^10－k= 1－0.9901=0.0099

若使用计算机Excel软件，则可用函数BINOMDIST(k，n，p，0)就可以求得b(k；n，p)。在上面公式中若将其中0改为1，则可以求得B(k；n，p)或F(x)，请尝试计算。

实际上，样本抽样都是一次抽多少样本，都是无放回的。如果是无放回地进行随机抽样，那么其概率就不服从二项分布，而是服从超几何分布。

(3)超几何分布

超几何分布的出现概率常用古典概率方法来求。

［例5.24］和例5.22类似，设一个盒子内有10个球，6个红球4个白球，现随机无放回地抽取3个球，问出现2个红球的概率是多少?

P(x=3)=C₆²*C₄¹/C₁₀³=15*4/120=0.5

一般情况下，如果有限总体单位数为N，其中有某特征(比如红球)的单位数为m，对这个总体进行n次不放回的简单不放回随机抽样(或一次抽n个样本)，其中具有某特征的单位数为k的概率为:

若使用Excel软件，则可以用函数Hypgeomdist(k，n，m，N)就可以求得P(x=k)的具体数值。比如是Hypgeomdist(2，3，6，10)=0.5，请尝试一下。

超几何分布的数学期望为E(x)=n*p=n*(m/N)(其中:p=m/N)

超几何分布的方差为:σ²=Var(x)=n*p*(1－p)*［(N－n)/(N－1)］

其中(N－n)/(N－1)是有限总体校正因子，当采用不重复抽样时才应该考虑，因此又称不重复抽样校正因子。

二、连续型随机变量的概率分布

对于连续型随机变量X，它的取值不能一一列出，因此其概率分布形式不能同离散型随机变量一样，通过表格方式全部表现出来。但是，对任意的实数x，由随机变量的定义知，X＜x是一随机事件，可以对它求概率，记为F(x)=p(X＜x)，该函数就是随机变量的分布函数。分布函数的导数称为密度函数，记作p(x)。通过对密度函数积分，可得到随机变量X在点x附近或在一个区间上取值的概率。注意，连续型随机变量在某固定值的概率为0。

连续型随机变量的密度函数有以下的性质:

其中，P(a＜x＜b)表示事件a＜x＜b，即随机变量x的取值落在区间(a，b)内的概率。连续型随机变量在(a，b)区间上定积分的几何意义就是由x轴、被积函数p(x)、直线x=a和x=b所围成的面积，如图5.1所示。可以验证，对连续型随机变量，E(αX₁+βX₂)=αE(X₁)+βE(X₂)和σ²(αx)=α²*σ²(X)也都成立。

正态分布是最重要的连续型随机变量分布，原因有三:第一，它是最常见的一种分布，许多随机变量服从或近似服从正态分布。如同龄人的身高、体重，农作物的产量和学生考试的成绩等等；第二，许多有用的分布可以由正态分布推导出来，如卡方分布、t分布和F分布都可出正态分布导出；第三，正态分布在一定条件下，还是一些其他的近似分布，如大样本下的t分布与正态分布近似。

连续型随机变量x的密度函数为

则称随机变量X服从均值为μ，方差为σ²的正态分布，记为X～N(μ，σ²)。正态分布的密度函数图形一般称为正态曲线，它是—条以均值为中心的对称钟型曲线，如图5.4所示。

图5.4　不同均值情况下的正态概率分布图

连续型随机变量x的期望值为:

方差为:

从图5.5可看到，μ是该分布的中心，σ²是标准差，反映分布的离散程度，σ越大，分布曲线越平缓，离散程度越大；σ越小，分布曲线越陡峭，说明分布越集中。标准正态分布的偏态系数、峰态系数分别为0和3。

图5.5　不同标准差情况下的正态概率分布图

如果一个正态分布的μ=0，σ=1，则称该正态分布为标准正态分布，相应的随机变量称为标准正态随机变量，用Z表示，即Z～N(0，1)，与(5.13)式相应的分布密度函数为:

标准正态随机变量在区间［－Z，Z］取值的概率F(Z)，可通过查标准正态分布概率表获得。

正态分布在统计学应用中或者统计推断中占有非常重要的地位，这是因为许多客观现象的分布大多服从两端小中间大的正态分布，如成人身高、体重、儿童智力、误差分布等；其次，正态分布可以作为一些离散型随机变量概率分布的近似，如二项分布、泊松分布和超几何分布等当n增大时，可以转换为正态分布计算；许多大样本的抽样分布通常以正态分布作为极限，以便进行统计推断。

［例5.25］设随机变量Z服从标准正态分布，求以下分布中概率的大小。

①p(－1＜Z＜1)；②p(0＜Z＜1.25)；③p(1＜Z＜1.25)；④p(Z＞1)。

解:①概率p(－1＜Z＜1)是由标准正态分布的密度函数，在区间(－1，1)上的曲边梯形的面积，如图5.l所示，由于关于Z=0的对称性，该概率(或该面积)可直接Z=1查表得到:

p(－1＜Z＜1)=2*(0＜Z＜1)=2*0.3413=0.6826

②由标准正态分布关于Z=0的对称性可知，p(0＜Z＜1.25)，按临界值Z=1.25查表得，

p(0＜Z＜1.25)=0.3944

③由对称性与面积的分割关系可知: p(1＜Z＜1.25)=p(0＜Z＜1.25)－p(0＜Z＜1)］=0.3944－0.3413=0.0531

④由于标准正态分布密度函数曲线下的面积为1，所以: p(Z＞1)=1－p(0＜Z＜1)－p(－∞＜Z＜0)=1－0.3413－0.5=0.1587

可以验证，若随机变量x服从正态分布N(μ，σ²)，则随机变量z=(X－μ)/σ服从标准正态分布，即z～N(0，1)。

注意:任何正态分布都可以通过z=(x－μ)/σ变换，转变为标准化正态分布。利用这个变换来计算非标准正态分布的概率，计算或查算出随机变量取值落于任何区间的概率。然而统计教材上应用标准正态概率查算表时注意，是从0到x的区间概率、从－∞到x区间的概率还是从－x到x的概率，当然其之间是可以换算的。本文建议采用第一种。

［例5.26］假定学生某门学科的考试成绩服从均值为70分、标准差为12分的正态分布。那么某一学生的成绩在70分到85分之间的概率应为多少?

解:设x表示学生的成绩，要计算的概率是p(70＜x＜85)。首先对X进行标准化:

Z=(X－70)/12

将计算X的概率转化为计算Z的概率:

p(70＜x＜85)=p((70－70)/12＜(x－70)/12＜(85－70)/12)

　　　　　　=p(0＜Z＜1.25)=0.3944

即如果某班60个学生，将有24个同学成绩在70～85分之间。

［例5.27］设随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)，试分别求X落在以μ为中心。以σ，2σ，1.96σ和3σ为半径的区间内的概率。

解:作变换z=(x－μ)/σ，则Z服从标准正态分布。所求概率分别为:

p(μ－σ＜X＜μ+σ)=p［(μ－σ－μ)/σ＜(X－μ)/σ＜(μ+σ－μ)/σ］=p(－1＜Z＜1)=2*0.3413=68.26%

p(μ－1.96σ＜X＜μ+1.96σ)=p［(μ－1.96σ－μ)/σ＜(X－μ)/σ＜(μ+ 1.96σ－μ)/σ］=p(－1.96＜Z＜1.96)=95%

p(μ－2σ＜X＜μ+2σ)=p［(μ－2σ－μ)/σ＜(X－μ)/σ＜(μ+2σ－μ)/σ］=p(－2＜Z＜2)=95.45%

p(μ－3σ＜X＜μ+3σ)=p［(μ－3σ－μ)/σ＜(X－μ)/σ＜(μ+3σ－μ)/σ］=p(－3＜Z＜3)=99.73%

从计算结果可知:随机变量X落在以μ为中心，以3σ为半径的区间外的概率只有l－99.73%=0.27%，是一个非常小的概率。一般可以认为X不会落到以μ为中心，以3σ为半径的区间之外，这就是所谓的“3σ原则”。

除正态分布外，常用的连续型随机变量的分布还有卡方分布(或称χ²－分布)、t－分布和F－分布。由于篇幅原因，这里从略。