缩写符号在欧洲的发展

印度数字连同阿拉伯数学传入欧洲，逐渐流行起来。中世纪一位著名的数学家斐波那契（约公元1170年—1250年），他其实叫列奥纳多，斐波那契这个更著名的名字的意思是“波纳乔之子”。他的父亲是一个在非洲经商的商人，斐波那契跟随他父亲向阿拉伯人学习过数学。他的名著叫作《算盘书》，这部书与算盘没什么关系，但的确偏重于记账，计算利息、汇率等一些商人的实用数学，这本书推广了包括0在内的“阿拉伯数字”，也引入了用横杠表示分数的方法。

不过他的分数表示往往是相当笨拙的，比如有类似这样的问题^[5]：

如果个洛图鲁斯价值个拜占庭币，

那么个拜占庭币价值个洛图鲁斯

与斐波那契同时的萨克森的约丹努斯（公元1190年—1237年）也值得一提，他的《算术》一书开始尝试用字母来表示一个数。事实上欧几里得就可以用线段或面积来对应数，例如AB和BC的乘积是ABCD，约丹努斯在某些时候把其中一个端点省略了，比如只用C来表示BC，于是他写出了类似的表达方式：

设给定的数是abc，且被分为两部分ab和c，设d是ab和c这两部分给定的乘积，设abc的平方为e，d的四倍为f，且g是e减去f的结果。那么，g是ab与c之差的平方。设h是g的平方根。那么，h是ab与c之差。由于h已知，所以c和ab都是确定的。^[6]

到文艺复兴时期。随着印刷术的传播，欧洲学者致力于复兴古代学术，在许多古代学术被挖掘出来并被修订出版的同时，它们也被以新的方式理解了。

例如文艺复兴时期的学者认为数学是一种冷静的学科，他们认为学习数学能够让人们从充满喧哗的经院哲学中解放出来（我们提过经院哲学的主要教学形式是“论辩”），强调几何学可以一个人安安静静地学习。但这其实是对希腊数学的某种误解，希腊数学主要还是在一个言传身教式的口语环境下被教学的，几何证明也更多地是一种教学演示的方法。

图11.6.1　默读和私人空间都是印刷时代之后逐渐兴起的。现代人希望在隔绝听觉的环境下阅读，但在古代，听觉的地位重要得多

而一个人安静地默读（图11.6.1） 这样的学习方式完全是印刷时代之后形成的，在印刷术之前，人们阅读文本的主要方式都是朗读，文本只是辅助语音的工具，而没有获得独立性。

一旦开始把数学从口头传统中剥离开来，一大结果就是，那些更普遍和更容易辨识的缩写符号，比起累赘的语言描述而言，越来越受到欢迎。我们现在可能觉得那些缺乏缩写符号，满篇语言描述的古代数学文本读着累赘和困难，但设想你身处一个口语为主的教学环境中，这就不是什么缺点了。

文艺复兴时期对希腊学术的许多解读其实是有所偏差的，比如《几何原本》中关于量的比例的讨论过于复杂，文艺复兴早期的翻译者是从数的方面来理解的。另外希腊人的“单元”概念被翻译成了“单位”，这两个概念有所不同，单元是计数的对象，而单位是度量的基准。

这些误读反映出文艺复兴时期试图把数和量统一起来的潮流。当然把数与量混同不分这件事情本身并没有什么了不起的，印度数学、巴比伦数学、中国数学等，都没有类似希腊人那种纠结。然而欧洲近代并非是简单地回到了一个懵懂的、实用主义的数学形态，而是在保留着希腊人对数学作为真知识的信念以及严肃的理论态度的基础上，打破了区分。毕达哥拉斯—柏拉图主义的复兴重新强调了数的宇宙论地位，另外从中世纪开始，就有了把上帝想象成几何学家的观念，在数与量趋于统一的同时，数学的理论地位并未跌落。

历史在很多时候的确是某种黑格尔所谓“正—反—合”的辩证过程，区分的打破和从来没有区分是两回事，就好比从“看山是山，看水是水”，经历了“看山不是山，看水不是水”，再返回到“看山是山，看水是水”的境界，这第三种境界和第一种境界不是一回事。我们之前还提到现代人打破了希腊人关于自然物与人工物的区分，内在性与外在性的区分，这都不是简单地回到了区分之前的原始状态。

在文艺复兴时期，数学的符号化被大大推进了，现代形式的加号、等号、十进制小数等都在这一时期形成。

而在符号运算过程中出现的一些“不可理喻”的数开始被人熟悉，例如负数、无理数、虚数等，它们能够方便地作为运算工具，作为许多运算的中间项得到承认。但它们的实在性还是不受到承认，因此往往被冠以虚假的数、否定的数、想象的数、诡辩的数等称呼，不过人们不再像古代数学家那样简单地对它们弃之不顾，而是仍然用符号表达出来并留存备用。