毕达哥拉斯学派的几何学成就

毕达哥拉斯学派

在整个公元前5世纪，毕达哥拉斯和他的追随者们在意大利成立了一个具有浓厚宗教特征的学派。毕达哥拉斯学派并没有选择一种物质作为世界形成的始基，而是赋予数字作这样的角色。尽管毕达哥拉斯学派选择哪一个数字作为世界形成的基本物质至今仍然是个谜，但他们表现出了对数学研究的浓厚兴趣。毕达哥拉斯学派关注世界上形式和关系的事实，他们发现量度、秩序、比例和始终一致的循环都可以用数字来表示。他们认为没有数就不会有这样的关系和一致性，就没有秩序和规律。因此，数一定是万物的基础。毕达哥拉斯对数论作了许多研究，例如：将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。在毕达哥拉斯学派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线、面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。

毕达哥拉斯还通过说明数和物理现象之间的联系，来进一步证明自己的理论。他曾证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的第五度音和第八度音时，三条弦的长度之比为6:4:3。他从球形是最完美几何体的观点出发，认为大地是球形的，提出了太阳、月亮和行星作均匀圆运动的思想。他还认为十是最完美的数，所以天上运动的发光体必然有十个。在几何学方面，毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。毕达哥拉斯定理是希腊人对几何学贡献的一个例证：他发现几何学可以作为一个演绎系统构造起来，在那个系统里，每一个定理都是从一组公理严密地推导出来的。^[8]他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派还注意研究天文学，认为宇宙是球形的，当中是一团中心火；行星由其所附着的透明活动的球体所推动，围绕中心火运转；恒星紧系于天的最高圆顶，这圆顶三万六千年围绕中心火旋转一周……这种天文学思想虽然荒诞不经，但却为公元前280年萨默斯和阿里斯塔尔所建立的古代太阳中心说铺平了道路。

欧几里得（公元前330—公元前275），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前367—公元前283）时期的亚历山大里亚，最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书。在欧几里得之前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识存在一个很大的不足，就是缺乏系统性。大多数几何学知识是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有很强的关联性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，如何把这些几何学知识加以条理化和系统化，形成一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已经敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。欧几里得经过忘我的研究，几经易稿，最终定形，终于在公元前300年收获丰硕的成果——《几何原本》。这部传世之作不仅第一次使几何学知识实现了系统化、条理化，而且孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作。流传至今的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书细腻的写作笔调中，看出他深厚的思想底蕴。全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。整部书的内容安排也同样贯彻了他的这种独具匠心的思考。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及一直到公元前4世纪（欧几里得生活时期）前后共四百多年的数学发展历史。在这其中，颇具代表性的内容便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直角三角形和圆的论述。正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，从此证明了勾股定理的正确性并延续了两千多年。除了《几何原本》之外，欧几里得还有另外五本著作流传至今。它们与《几何原本》一样，内容都包含定义及证明。《已知数》指出几何难题图形中的已知元素，内容与《几何原本》的前四卷有密切关系。《圆形的分割》现存拉丁文本，论述了用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分，内容与希罗的作品相似。《反射光学》论述了反射光在数学上的理论，尤其论述了形成在平面镜及凹镜上的图像，但是也有人置疑这本书是否真正出自欧几里得之手，它的作者可能是提奥。《现象》是一本关于球面天文学的论文，现存希腊文本。《光学》是早期几何光学著作之一，现存希腊文本，主要研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角等内容。