c2=a2+b2
说明：直角三角形斜边长度的平方等于另两边长度的平方和。
发现者：不详。
发现时间：不详。
直到今天，毕达哥拉斯定理仍旧是整个数学中最重要的一个。
——J.布罗诺斯基（J.Bronowski），《文明的跃升》（The Ascent of Man）
毕达哥拉斯定理的发现过程已经无法考证了，不过关于该定理的二次发现却有数不清的故事。故事的主角有些是该定理的教授者，有些是发现该定理的人。毫不夸张地说，这些故事有时候改变了这些发现者的命运和职业生涯。毕达哥拉斯定理的魔力在于：虽然定理本身比较复杂，并不显而易见；但证明的过程却是高度浓缩的，也是一种独特的体验。
受毕达哥拉斯定理影响而改变人生轨迹的人当中，有一位著名的政治哲学家，叫做托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes）（1588—1679年）。40岁之前的霍布斯虽有天分，却没有什么原创性的思想。他擅长人文，却以为自己算不上博学。他的主要成就是漂亮地翻译了古希腊历史学家修昔底德的著作。译作里虽不时会出现讹误，不过都还无伤大雅。虽然在霍布斯的时代，开普勒、伽利略和其他一些人已经作出了一些激动人心的重大突破，引爆了学术界的革命，不过霍布斯本人却基本没怎么接触科学。
一天，霍布斯在路过一位熟人的藏书室时，发现桌子上有一本摊开的欧几里得的《几何原本》（Elements）。这在当时不足为奇。那时候的绅士，如果能收藏一卷体面昂贵的重要作品（如圣经），往往不会将其束之高阁，而是放在外边让来访者随意浏览。通常他们还会将书摊开放，以展示其中著名的章节，如圣经中的赞美诗。
欧几里得的《几何原本》就是一本圣经。它以定理和假设的方式展示了当时已有的大部分数学知识。这本书自公元前 300年问世以来，学者们就一直没有中断过对它的分析和研究，书中的内容在霍布斯的时代仍旧适用。那时，《几何原本》是除圣经之外，流传最广、人们研究最多的书。霍布斯所看到的章节正是第1册的命题47，毕达哥拉斯定理。
命题的内容是：直角三角形斜边长度的平方等于另外两边长度的平方和。霍布斯看到这个命题时非常惊讶，甚至说出了亵渎神灵的话来。以至于他的朋友、第一个为他写传记的作家约翰·奥布里（John Aubrey）没有把霍布斯当时所说的话全写出来——“老天爷（作证），”霍布斯发誓说，“这不可能！”［1］
霍布斯来了兴致，继续读了下去。循着命题47，他又去看了书中的其他命题：命题46、14、4和41。而这些命题又引用了其他命题。霍布斯一一读完，最后很快就确信，起初看似惊人的定理是正确的［2］。
奥布里写道：“从此霍布斯就爱上了几何学。”这表明霍布斯的人生轨迹也随之发生了改变，他迷上了绘制几何图形，在床单甚至自己的大腿上作演算。他全身心地投入到数学中，并显示出一定的天分。不过他的数学能力还只能算是中等。霍布斯还卷入了数学纷争，他在那些无望的数学圣战中所表现出来的态度，至今还让他的一些传记作者和“粉丝”觉得难堪［3］。这些事情并没什么意思。重要的是一个定理就使霍布斯和他自己的学识发生了转变。有一位批评家这样描写霍布斯与毕达哥拉斯定理的第一次邂逅：“他以后的思想都因毕达哥拉斯定理而发生了改变。”［4］
于是，霍布斯开始批评当时的道德和政治哲学家，认为他们缺乏严密的思维，受前人的影响太深。他还不合时宜地将这些哲学家与数学家进行比较，认为数学家工作虽然做得慢一些，却是从人人都明白和接受的“最低原理”出发的。在《利维坦》（Leviathan）等书中，霍布斯开始用类似的方式重建了政治哲学。他先是清晰、准确地给出术语的定义，之后依次推导出它们的深层含义。霍布斯从毕达哥拉斯定理中学到了新的推理方法，以及如何令人信服地呈现由推理得出的结论。这些推理方式既是必要的，也是通用的。
毕达哥拉斯定理：法则
人们普遍用“毕达哥拉斯定理”一词来指代两种情形：一个是法则，另一个是证明。法则叙述的仅仅是事实，说明直角三角形各边长之间的等式关系：斜边长度的平方（c2）等于另两边长度的平方和（a2+b2）。该法则有实际的价值，例如，如果人们已知三角形两直角边的长度，就能利用该法则计算出斜边的长度。不过证明就不同了，它陈述的是人们如何知道某个事实是正确的。
这种双重涵义所带来的意义上的混乱，全是因为“定理”一词。该词可以表示已经（或人们认为能够）被证明的结论。它来自希腊语，意思是“看”或者“考虑”，与“剧院”（theater）一词的词根相同。霍布斯等人第一眼看到毕达哥拉斯定理之后，注意到两件截然不同的事情：一个是结果、法则或者被证明的事物——斜边定律；另一个就是证明过程，即人们了解证明的途径。
毕达哥拉斯定理极其重要，它对描述空间起着至关重要的作用。木匠、建筑师和测绘师在建设小型和大型工程时都离不开它。石匠会（据说是源自中世纪石匠工会的秘密组织）将毕达哥拉斯定理作为标志，也是因为这个原因。有篇石匠资料引用了毕达哥拉斯定理，认为它“包括或代表了砖石建筑和文化的基础”。在共济会的地毯上常常绣着简化版的欧几里得图形证明（称为“经典形式”）。它还适用于天体空间，因而对航海学和天文学非常重要。
早在欧几里得之前，甚至毕达哥拉斯之前，毕达哥拉斯定理就已经存在了。古代的工匠就通过经验发现，直角三角形的三条边的长度是由特定的数组构成的，例如3、4和5或者6、8和10。这些三元数组称为“毕达哥拉斯三元数组”。它们虽然简单，却有着重要的实际意义。因此不同国家地区的人们各自独立地得出这一发现也就不足为奇了。古代的另一个发现就是这些三元数组之间存在着c2=a2+b2的关系。公元前1800年，巴比伦人的楔形文字泥板上就已经有了由15行毕达哥拉斯三元数组组成的表。这块泥板现收藏在哥伦比亚大学，称为普林顿322号（Plimpton322）。毫无疑问，该表是三角学的表，也可以说是按照法则计算直角所对斜边的教学辅助工具。表中不包括变量，不过似乎是在通过一系列的例子对定理进行验证［6］。
古印度人也已经知道这个定理。从《绳法经》（Sulbasūtras）一书中可以找到它的应用。该书与佛经同时问世，约成于公元前 500年到公元前 100年，不过它所传授的知识却是更早以前的了。虽然该书的表达常常是不正式的、粗糙的，也没有提供什么证明，但它却为宗教建筑的建造提供了相当多的几何知识［7］。
中国现存最早的有关天文学和数学著作是《周髀算经》。书中的文字可以追溯到公元前 1世纪，而书中的内容据说还要早几个世纪。该书也包含了毕达哥拉斯定理的内容。这一定理的一个应用实例是计算太阳与地球之间的距离。推理的过程涉及了竹竿和竹竿的影子，并假定地球是平的。历史学家认为《周髀算经》之所以著名，是因为它“第一次从理性的角度，完全以数学的形式解释了地平说”。［8］现存最早版本的《周髀算经》中有一张常以棋盘为背景出现的图。从该图上可以清楚地看到以斜边为边长的正方形面积等于以另两边为边长的正方形面积之和。不过，几乎可以确定，这幅图源自公元3世纪，远在欧几里得之后。
公元前1800年，巴比伦人的楔形文字泥板上就已经有了由15行毕达哥拉斯三元组组成的表。这块泥板现收藏于哥伦比亚大学，称为普林顿322号（Plimpton 322）。毫无疑问，该表是三角学的表，也可以说是按照法则计算直角所对斜边的教学辅助工具
《周髀算经》最新版本中的图，汉字指的是正方形的颜色
毕达哥拉斯定理作为数学知识一部分，在巴比伦人的泥板、印度的《绳法经》和中国的《周髀算经》中，都是以实际应用的形式展现出来的：普林顿 322号是出于教育的考虑，《绳法经》是出于宗教的考虑，《周髀算经》则是出于天文研究的考虑。古书都没有给出该定理的直接明确的证明，而只是把它作为一种计算距离、验证结果的方法。不过形式偶尔还是有严谨的时候。
毕达哥拉斯定理在数学上众多的里程碑中无疑是独一无二的。它的表现形式丰富多彩，平淡中包含诗意。在几千年的历史长河中，它被用于土地丈量、运河开挖、晾衣绳搭设、人行道铺设、马路和沟渠建造等诸多方面。有一篇埃及的手稿这样写道：“塔上倚着一个梯子，梯子长10腕尺[4]，底部离墙6腕尺，问梯子有多高。”还有一篇中世纪时的手稿是这么写的：“墙上倚着一个长20英尺（1英尺=30.48厘米）的矛，如果矛的底部向外移动12英尺，那么此时矛在塔上所倚的高度是多少？”印度的书是要读者计算池塘的深度，池塘上还有红鹅游来游去。问题是这样的：荷花苞尖一开始在水面之上9英寸（1英寸=2.54厘米）的位置，突然刮来一阵风，荷花苞尖被吹到了水下 40英寸的位置，问池塘的深度是多少？当然，荷花的茎是扎在水底的。这样的问题使数学变得有趣。
毕达哥拉斯定理已经成为人类知识的典范，对它的了解体现了人类的智慧。在电影《绿野仙踪》（Wizard of Oz）的结尾，为了证明自己的确有头脑了，稻草人（Scarecrow）笨手笨脚地将这条定理加以改编：“等腰三角形任意两边的平方根之和等于另一边的平方根。”这种轻率的陈述真是绝了，我们作为观众自然也不会去学。就让它一直留在童话里吧。
毕达哥拉斯定理：证明
然而，定理的证明和定理本身有着天壤之别。证明需要从第一原理出发，给出结果的一般有效性。它研究的是定理本身，与定理的实际用途无关。它侧重于结论推导的过程（这样才能令人信服），而非结果。证明所叙述的是人们理解方程的过程。因此，要给出定理的证明，就要以不同视角看待数学，而不能简单地陈述定律。证明不是对权威的维护，而是对真知的认可。证明不是简单地把前人的智慧作为代表作传授下来。恰恰相反，它应该是天才之笔。证明并不是说“事实就是这样”或者“天才告诉我们就是这样的”。相反，对结果的证明是任何人都可以参与的“旅程”，至少从原则上来说是这样。这得益于人们目前已有的诸多数学定义和数学概念。因此，实际上定理的证明是说：“照着这个做，就能发现其实我们已经知道了要推出结果的全部步骤！”因此，定理的证明实际上是建立了一个路标，任何人只要循着这个路标指示的路线走下去，就能到达终点。人们可以对此有充分的信心，指导自己踏上更多探索未知的道路。正是有了通过证明关键方程而建立起的路标，数学才从复杂的地貌变成了一幅风景。数学的其他部分仍旧存在，只不过它们是在风景的背景中而已。
虽然传统上，人们认为斜边定律的第一个证明是毕达哥拉斯（约公元前569—前475年）给出的，不过这个说法是在其后500年首次提出的。其实事实并非如此［9］。该定理的证明思想起源于古希腊时代，经历了几百年才形成的。这一阶段的顶峰是欧几里得的《几何原本》。《几何原本》完全以明确、正式的证明形式把数学呈现出来。第1册的倒数第2个命题就是毕达哥拉斯定理的证明：直角三角形中，直角对边边长的平方等于另两边的平方和。第 1册的最后一个证明（命题 48）则是其逆定理：如果三角形某条边边长的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。证明如下：沿着三角形的三条边分别画出三个正方形。从直角的顶点出发，垂直于斜边画一条线，并延长到斜边所对应正方形的对边。这样，将大正方形分割成两个矩形，每个矩形的面积就分别等于两个小正方形的面积：两个小正方形的面积之和就等于斜边上的正方形的面积。有趣的是，欧几里得的证明与图中直线构成的图形联想到一起。人们按图形暗示出的有趣形状，把它称为风车证明法、孔雀证明法或花轿证明法。
说明欧几里得《几何原本》中一个证明的经典图形
任何一个伟大发现的背后，似乎都有一种难以抑制的冲动：去看看之前是否也有人提出了该发现，或者虽然发现了却没记录下来，或者是与发现擦肩而过。毕达哥拉斯定理（似乎我们注定要这么叫了）也不例外。历史学家发现，人们证明毕达哥拉斯定理的能力似乎是文明进步程度的一种标志。他们根据普林顿322、《绳法经》、《周髀算经》和其他资料，对巴比伦、印度和中国发现毕达哥拉斯定理的情况进行研究［10］。不过在研究过程中，很容易混淆或忽视毕达哥拉斯定理的经验法则和毕达哥拉斯定理的证明两者的不同。
新证法
人们有时候会自己踏上“旅程”，去发现毕达哥拉斯定理，而并不依靠教师的帮助。法国数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）就是这样一个人。帕斯卡的父亲不允许他在家中讨论数学，怕会影响他的希腊语和拉丁语学习，认为语言的学习最重要。但小帕斯卡凭着一根炭笔就开始了几何学的研究。他在欧几里得《几何原本》中找到了许多证明，其中就有毕达哥拉斯定理［11］。
发现定理的新证法是完全可能的。如果说在数学的诸多里程碑中，毕达哥拉斯定理所囊括的应用和实例范围是独一无二的，那么它的证明法之多也同样是独一无二的。大多数证明虽以相同的公理作为基础，但证明的过程却各有不同。这中间的许多证法，特别是苏格拉底、欧几里得等给出的最早的证明，以及之后《周髀算经》中给出的证明采用的都是几何方法。其中，a、b和 c指的是三角形各边的边长。证明的方法是通过几何运算，得出面积之间的关系。其他证明采用的是代数法，以复杂的数学（数字代表抽象的事物，甚至可能是向量）为基础。有些所谓的证明，假定结果可以通过毕达哥拉斯定理得到证明，最终变成了循环论证。代数方法（巴比伦人理解该方法）产生了毕达哥拉斯定理的c2=a2+b2的形式。
公元 4世纪，希腊（亚历山大里亚的）几何学家帕普斯发现了一个定理，扩展了欧几里得几何。几个世纪之后，住在巴格达的阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉（Thabit Ibn Qurra，836—901年）提出了几个新的证法，并修改了先前的《几何原本》译本。两个半世纪之后，印度数学家婆什迦罗（出生于 1114年）为《周髀算经》中证明方法的简洁所深深吸引。他随后采用简单的图形形式，对《几何原本》进行了修改。新版《几何原本》的证明里不再有文字解释，只有两个字“见图”。
后来，意大利艺术家列奥纳多·达芬奇（Leonard da Vinci）、荷兰科学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）和德国哲学家特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646—1716年）都给出了新的证明。1876年，美国国会议员詹姆斯·加菲尔德（James Garfield）也给出了证明。他后来成为美国第20任总统。有关毕达哥拉斯定理证明的集子已有十多种：1779年，在巴黎出版了 18种证明法；1880年，德国出现了提供46种证明法的专著；1914年，在荷兰出版了96种证明法。《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）是科学家一般都会关注的杂志，自1894年创办之日起第一期就开始刊登毕达哥拉斯定理的证明。该杂志略带些傲慢地提到：问题求解“是数学研究的最低级形式之一”，用于应用，却没有科学价值。但该杂志却“专门开辟版面用于问题求解”，诸如毕达哥拉斯定理之类，起到教育的作用。“问题求解是引导思维进入更高级的原创性研究领域的阶梯。许多原本智力平平的人在掌握了某一个问题求解后，跨入到研究的行列中。”［12］1901年，在发表了毕达哥拉斯定理的第100个证明之后，《美国数学月刊》的编辑放弃了，宣布“该定理的证法是无穷无尽的，本刊今后将不再接受此类稿件”。
詹姆斯·加菲尔德给出的毕达哥拉斯定理证法的示意图
但有一个人仍乐此不疲。这个人叫伊莱沙·卢米斯（Elisha S.Loomis），职业是教师。他是《美国数学月刊》的订户，也曾给出过一些证明。卢米斯一直都在收集定理的证法。这些证法很多都是由一些颇为聪颖的年轻人的老师转交给他的，这些教师知道卢米斯对此颇有兴趣。1927年，卢米斯（此时的他已是大学教授）出版了《毕达哥拉斯命题》一书，收集了230个证法；1940年，87岁的卢米斯又出版了该书的第二版，收集了370个证法［13］。他将两本书都献给了共济会分会。他依据证明的内容，把它们分为几何证法、代数证法、动态证法和四元数证法。其中的大部分都是几何证法：第31种证法是惠更斯给出的，第33种是欧几里得给出的，第46种是达芬奇给出的，第225种是婆什迦罗给出的，第231种是加菲尔德给出的，第243种是《周髀算经》给出的。在代数证法中，第53种是莱布尼茨给出的。卢米斯对迷上了证明过程的学生们敢于挑战，并尝试想出新证法的做法很是欣赏。他喜欢去发现有趣的人给出的有趣证明，或者对年轻的证法提供者加以奖励［14］。卢米斯认为有些人不尊重该学科，不同意这些人的看法。美国的几何学教科书因为略去了欧几里得的证法，也遭到卢米斯的嘲笑。他认为欧几里得的证法所体现的可能是“原创性或独立性”。他还挖苦说：“（几何学教科书中）没有欧几里得的证法就好比是哈姆雷特剧中没出现哈姆雷特的影子。”［15］他第二版的书中的最后一句话是“新的证法没有尽头”［16］。
卢米斯是对的，新的证法的确层出不穷。在《吉尼斯世界纪录大全》（Guinness Book of World Records）网站上的“毕达哥拉斯定理的最新证法”一栏中显示的是一位发现了 520种证法的希腊人。在此时，不知又有多少新的证法已经出现了。
证明的奥妙是什么
所有这些证法都引发了两个问题。第一个问题是：一种证法难道还不够吗？我们都知道一种用途是远远不够的——一个法则，最关键之处在于它能适用于各种不同的情形。但是证明呢？只有毕达哥拉斯定理的几个证明是对欧几里得已经证过的问题进行概括和充实。然而，卢米斯所收集的证法中的绝大部分都不是这种类型。而且这些证法也没有使这些已经很明确的结论变得更明确。但除了发现本身之外，证明的迷人之处还在于观察发现可能采用的视角。这样一来，那些隐藏的可能性和假定的结果就可以成为事实。科学的目的是使世界变得更加丰富，拓宽其外在表现形式，阐述世间事物的本质。随着科学的进步，世界的范围也在拓宽。
第二个问题是：为什么人们会把注意力集中到这样一个特殊的定理上？为什么几千年来它令业余爱好者和专家学者如此着迷？一部分原因归于个人的经历：毕达哥拉斯定理是大多数人第一次接触到的深刻证明，其结论在证明之前并不是显而易见的，正如霍布斯当时的情形。这是人们的第一次数学发现之旅，从另一头出发发现了崭新的事物。很早的时候，人们也发现了其他的一些漂亮的证明，例如 2的平方根是无理数，素数有无限多个等，所以这只能是答案的一小部分。人们也知道一些与毕达哥拉斯定理类似，却更加高效、更加有用的定理（如欧几里得《几何原本》第 6册中的命题 31）。不过这些定义远没有毕达哥拉斯定理那般引人注目。一个明显的例子就是余弦定理：c2=a2+b2−2abcosθ。该定律适用于包括直角三角形在内的所有三角形，涉及三角形的两条边和一个角的余弦。毕达哥拉斯定理只是余弦定律的特例。然而，余弦定律没有什么迷人之处，部分原因可能是要证明它就得熟悉三角，所以很难想象霍布斯那样的人会因为这样一个定律就发生什么转变。
要完整回答毕达哥拉斯定理的魅力得从三方面着手：定理的应用场合是显而易见的；定理的证明是可行的；证明定理的过程提升了人们思考问题的高度，让人们体会到了思考的乐趣。
首先，毕达哥拉斯定理刻画了空间。它不仅适用于木工手艺、建筑学、物理学和天文学，也适用于几乎所有的职业领域和实际应用场合。在三维空间中，用毕达哥拉斯定理表示的距离表达式是
其次，霍布斯的经历表明，即使毕达哥拉斯定理包含了一些在证明伊始看似难以置信的数学知识，人们也可以在没有接受过任何数学训练的情况下，用简单而又令人信服的方式加以证明。这也正是自柏拉图以来的哲学家和科学家将其作为推理典范的原因所在。在《世界体系》（On the World Systems）一书中，伽利略援引毕达哥拉斯的证法，解释了事实与证明之间的差别（现在称为发现与证实之间的差别）［18］。在《指导心灵的规则》（The Rules for the Direction of the Mind）一书中，法国哲学家、科学家雷内·笛卡儿（Rene Descartes）援引毕达哥拉斯定理，说明了采用符号和记号的好处，并把它们引入到了数学中。黑格尔认为“证明高于一切”。证明阐述了几何学的意义，使它以科学的方式继续发展。对黑格尔而言，就是如何表明相同之中有不同［19］。德国哲学家亚瑟·叔本华（Arthur Schopenhauer）是欧几里得证法的批评者之一。叔本华认为该证明具有典型性是有另外的原因的。他嘲笑这种证法就好像是“捕鼠器”，先是诱导读者，之后再给他们“下套”。他认为证明的逻辑性虽然没有问题，但是过于复杂，显得不够直观（叔本华本人喜欢直观的证明）。他认为欧几里得的证明就是一个典型的误导读者的例子。实际上，叔本华认为欧几里得给出的毕达哥拉斯定理的证法是违背当时哲学观的一个典型，它过于强调纯粹的逻辑，把逻辑置于洞察力和后天直觉之上。在叔本华看来，黑格尔的哲学体系在概念上不过是一个巨大的捕鼠器［20］。
再次，毕达哥拉斯定理让人们了解了发现的全部。人们在证明该定理的时候，可以说并没有“学到”什么东西，因为我们从小就知道毕达哥拉斯定理。但是当证明一步步地进行下去时（当人们把问题放在一个大背景下，当细枝末节相互因为必然整合到一起时），人们似乎离开了原地，去了另外一个地方。那里是一个比现在要古老得多的真理王国，不管人们身在何方，只要付出一点努力就能到达。在那里，直角三角形不再是特殊的，所有事物都是相同的，人们无需从头证明就能了解到这一点。三角形只是一个特例，在它的后面隐藏着别的事物。这种体验是愉悦的，甚至是令人兴奋和难忘的。证明是以先前未有的语言形式给出的问题答案。令人不可思议的是，这种语言在你感觉已掌握它的那一瞬间便出现了。如果没有那一刻的洞察力，毕达哥拉斯定理就仍然是代代相传的权威，而不能成为一个有深刻见解的证明。
《美诺篇》（Meno）中的毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯定理有如此之魅力的原因有三点。柏拉图在对话《美诺篇》中已经对这三点进行了明确的阐述。该书成于约公元前 385年（毕达哥拉斯之后约100多年，几乎早于欧几里得的《几何原本》100年），是已知的最早、最有名和最复杂的叙述毕达哥拉斯定理证法的书。它第一次广泛地阐述了古希腊现存的数学知识。书中叙述了苏格拉底如何哄骗一个不懂数学的奴隶小孩证明毕达哥拉斯定理的一个特殊情形——等腰直角三角形。
主要参与者是苏格拉底和美诺。美诺是一个英俊的塞萨利青年。他性格急躁，拒绝思考难以理解的想法，总是希望答案能令人印象深刻。对老师来说，这简直就是噩梦。在如何学习美德的问题上，美诺让苏格拉底极为苦恼。苏格拉底发现想让美诺思考是件很难的事，真是人如其名，他的名字的意思就是“不让步”或者“不回头”。“教育”一词字面上的意思是“出发”。苏格拉底发现自己没法引领美诺。
有一次，美诺认输了，并问苏格拉底，怎么可能把所有的知识都学到手。这就是著名的美诺悖论。如果你不知道自己要学的是什么，那么即便你遇见它也还是会与它擦肩而过。但是，如果你已经知道了，那何需费力去寻找呢？美诺意指任何尝试都是没有结果的。
正如今天的哲学家所说的，美诺悖论之所以会产生，是因为他错误地假定知识是相互分离的。实际上，人们正是因为有了现在的知识，才会去注意那些未知的知识。用已知去发现未知，就能拓宽知识的范围，使知识体系更加充实连贯，消除知识间的隔阂。但该过程会不可避免地引入一些新的漏洞和缺陷。获取知识的过程并不是把别人给自己的东西都一股脑地扔到思想库中去。它是一种在部分和整体之间不断反复的过程，基于已知发现新事物，扩大人们赖以理解世界的基础。
当然，苏格拉底教育美诺采用的并不是这种方式。那么深奥的道理是美诺不能理解的。他深知年轻人易于上当的特点，所以采用了一种哄骗的方式。苏格拉底是这么说的：“我告诉你一个圣人都信奉的传说吧。他们说灵魂是不朽的，所以看见并了解了世间的万物。因此，其实人们的内心深处早已了解了所有的一切，但是因为在尘世间停留的时间短暂，把它们全忘却了。如果人们的精力允许，就应该克服这种无知，重新了解一切。”
苏格拉底通过这样一个传说，以一种诗意的方式告诉美诺，学习既不是被动接受其他人传授给你的知识，也不是不假思索就去相信法则。学习是精力集中的主动过程，需要激励自己去发现，始终保持主动的思维。当你发现某个事物是对的时，就会发现它似乎早已在那里，是知识体系中的一部分，只是自己没有注意到罢了。它深深地印刻在你的头脑中，就好像你早就知道了一样。为了学习知识所作的准备、练习和证明只是让你想起知识。这正是比喻的真谛。
美诺很喜欢这个传说。但他还没有把握住关键，请苏格拉底加以解释。苏格拉底用了一种新的办法为美诺进行实际演示。他让美诺叫来一个奴隶，“随便叫一个就行”，美诺答应了。之后，苏格拉底就哄骗这个没有受过任何数学训练的奴隶小孩来证明这样一个几何定理：以某个正方形的对角线为边构成的正方形的面积，是该正方形面积的两倍。这其实是毕达哥拉斯定理在等腰直角三角形情况下的形式。苏格拉底在沙子上一步步画出图形，让美诺仔细听好并进行监督，防止他加进任何数学信息，以保证这个小孩最终得到的结论“只是被他自己回想起为的”，而不是被别人灌输进来的。
现在的读者会认为后面所发生的肯定是骗局。他们会认为苏格拉底在幕后操纵，愚弄奴隶小孩，让他跟着做口形对词。现代人觉得把学习看作回忆是很荒谬的。他们认为，真正的学习是把新的信息“下载”到大脑中，之后辅以作业练习进行强化。但是如果仔细去读柏拉图的书，就会发现奴隶小孩的学习才是真正的学习。他学习的所有内容都能回归到最基本的知识。苏格拉底保证所有新的认识都是基于奴隶小孩已有的经验。在这里，我们看到的是奴隶小孩正走在学习毕达哥拉斯定理的小小旅途中。可行的途径有千万条，应该走哪一条呢？苏格拉底告诉他该走哪条路，并给他选择道路的动力。
“知道什么是正方形吗？”苏格拉底在沙上边画边问，“是像这个，四条边都相等的图形吗？”奴隶小孩说：“是的。”
苏格拉底又问：“那你知道怎么把正方形的面积变成之前的两倍大小吗？”
“当然知道了，”奴隶小孩回答，“把边长都变成原来的两倍就行了。很显然的事情！”
这自然是错的，不过苏格拉底仍然不露声色。一个好的老师应该让学生自己看到错误的所在。当奴隶小孩把正方形所有的边都变成了原来的两倍后，马上就发现自己错在哪里。新的大正方形的面积是原来的四倍，而不是两倍。
而苏格拉底只是说：“再试一试。”奴隶小孩就把边长变成原来的1.5倍。苏格拉底画出图形之后，小孩马上发现自己又错了。
苏格拉底于是问小孩知不知道怎么才能把正方形的面积变成原来的两倍。很有意思的是，苏格拉底这么做其实是为了美诺。小孩说：“我不知道。”
关键的时刻来了。第一，苏格拉底让奴隶小孩第一次发现了自己知识的有限，让他知道了还有自己不知道的事情。第二，他摧毁了小孩的自信心。小孩之前一定认为自己什么都知道，然而现在他明白了事实并非如此。当然，奴隶小孩也并非一无所知。他知道的并不少——问题的答案限定在一个很小的范围之内，比边长要大，比边长的 1.5 倍要小——这一点小孩虽然知道，可无法表达出来，这给他一种不好的感觉。答案已经有眉目了，可就是无法表达。这是因为奴隶小孩并不知道描述答案的语言。他起先认为自己有能力理解这样一个问题，可现在却发现事实并非如此，这令他很不舒服。这种困惑激起了好奇心，而好奇心是学习所必需的。他渴望自己能得到指引，准备踏上学习的旅程。他渴望去发现和思考。在方程诞生的过程中，读者将会反复看到这种渴望所起的作用——引导人们去探索新的事物。有时候引发这种渴望的只是一个偶然事件，比如落下的一个苹果、随口说出的一句话、难以理解的数据，或是两个理论间的不一致等。苏格拉底使小孩变得困惑，令他想要跟随自己（一种“引诱”，这在当时可以被看成一种罪行，足以立马让苏格拉底受到控告并被判处死刑）。
苏格拉底利用了小孩的困惑。他擦去了先前的图形，重新画了一个正方形，边长为 2英尺。他又在正方形的旁边画了三个相同的正方形。之后苏格拉底在图形上加了一个新元素——连接两个对角的一条线，“学者称它为对角线”。对角线并不是全新的元素。奴隶小孩之前在地板的马赛克和墙面设计上已经看到过（这种体验已经告诉它接下来会发生什么），现在只是回忆一下。但在这里对角线却变成全新的了。它一下子就把问题置于更加广泛丰富的情境中，使问题的答案变得显而易见。由此，问题得到了重新的表述。
苏格拉底“乘胜追击”，很容易地就让奴隶小孩发现以对角线为边构成的正方形的面积是原来正方形面积的两倍。
左图是苏格拉底首先画出来的，该正方形的边长为 2英尺。苏格拉底问奴隶小孩如何使正方形的面积变成原来的两倍。奴隶小孩先是说把正方形的边长加倍，变成 4英尺。不过这样一来，正方形的面积就变成了原来的4倍。然后他又说把正方形的边长变为之前的1.5倍（增加1英尺），可最终得到的正方形的面积还是太大，为9平方英尺。在右图中，苏格拉底引入了对角线。奴隶小孩此时认识到由对角线所围成的图形的面积恰好是原来正方形面积的2倍
他转向美诺，试着用另一种方式教育他。他问美诺：“奴隶小孩是不是一开始不知道，后来才知道的呢？”“是的。”美诺承认了。“我向奴隶小孩灌输什么了吗？”“没有。”“那么他是自己找到答案的吗？”“是的。”“这些新出现的思想虽然是新的，现在却梦幻般地成为了现实，”苏格拉底继续说，并提出更多的问题。这样的提问会让学到的知识牢靠而不会忘记。无论他身在何方，这些知识都是他宝贵的财产，并且他所掌握的知识是正确的，跟别人的没什么不同。（人们把这样的问题叫作“作业和练习”。）如果我们坚持认为美诺悖论是正确的，那么奴隶小孩要么知道，要么不知道。这样一来，即便他知道了也会遗忘，就像传说中说的那样。“是的。”美诺表示认可。苏格拉底说：“我不会断言传说中的一切都是对的，但是我相信它里面一定包含一些真理。”
美诺现在也认可学习是可能做到的，于是话题转向了一开始提出的关于美德以及如何传授美德的问题。于是，苏格拉底和美诺开始讨论谁适合来传授美德。他们很快就发现找不出合适的人选。无论是品德良好的公民，还是备受尊敬的城市统治者都不合适。此时一位有钱有势，名叫安尼托的雅典人加入了他们的讨论。安尼托听说苏格拉底认为连品德良好的公民都不能理所当然地成为传授美德的老师之后，颇为生气。他警告苏格拉底不要“说人们的坏话”。实际上，若干年之后控告苏格拉底的人当中就有安尼托。苏格拉底被判处死刑。
在这场“戏中戏”中，我们能看到很多。你其实也是在一场旅途中。我们看到毕达哥拉斯定理在自己面前产生。我们看到了奴隶小孩学习毕达哥拉斯定理的过程。我们看到苏格拉底在引导小孩，但是小孩可被引导的前提是他自己有主动性。我们看到美诺也处在旅程中，看到小孩从无知到掌握知识。我们看到了求知的过程：遇到困难停滞下来的时候，可以添加新的元素，丰富原有的知识库。那条新的线（对角线）起先是没有的。但是它一旦出现，就变得和其他线一样明显，丰富了知识库，令解决问题的途径变得清晰起来。这是有史以来第一次系统准确地描述亲身体验教育的记录。
除此之外，柏拉图也告诉我们自身的处境。这出“戏中戏”向我们暗示，我们自己其实与奴隶小孩的情况类似，然而却未有幸得到苏格拉底的指点——没有人向我们提出正确的问题，帮助我们学到正确的新知识。在一定程度上，人类的处境会激发出隐含的问题，令自己产生不舒服的感觉。幸运的话，机会就会像对角线那样出现。但是，要对答案加以描述，往往需要一种之前不为人知的语言。这样一来，就得预先设计好这种更加精细的语言。我们得像小帕斯卡那样学会怎么去添加那条对角线。柏拉图还告诉我们，要不断地提问题。人们一般习惯于把学到的知识固定下来，所以总是存在着真理变成虚幻，现实变成梦幻的危险。这就是苏格拉底公开抨击《斐德罗篇》（Phaedrus）的原因所在。他把《斐德罗篇》几卷书称为已经无法答话的“鲜活语言的遗孤”。唯一的办法就是不断提问，不断对经验提出质疑，并保持好奇心。
柏拉图还有最后一个法宝。他通过一件事情指出，人们在努力的过程中，常常会遇到两种危险。第一种危险就是因为学术懒惰造成的惯性，即现代版的美诺，他们认为人无法真正学到知识。人所能做的就是对已有的知识体系缝缝补补，哪怕这知识是新的，也不过是一种推断。第二种危险来自政治家及其党羽，即现代的安尼托。他们告诉我们爱国心和对统治者的忠诚重于科学上的发问。这两种人都是在否定人类的文化成就，只是方式不同。对第一种人，需要保持耐心；对第二种人，得小心谨慎，有时甚至要顺从他们。《美诺篇》是留传至今的情节最为复杂的一个短篇文学作品，柏拉图用学习毕达哥拉斯定理的故事告诉人们，通向真理的路途比人们通常所认为的要困难和危险得多。
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