投资组合理论

第二节　投资组合理论

在现实市场上，投资者究竟如何确定风险和期望收益率之间的关系，也即如何确定特定风险下证券的价格，马柯维茨提出的投资组合理论解释了这一关系。本节介绍投资组合理论中的期望收益、标准差、资本市场线和贝塔系数（β）。

一、投资组合的收益率与风险

当投资者的投资目标是多个或一组金融资产时，表示投资者在进行组合投资，投资者所拥有的金融资产称为“投资组合”（Portfolio）。投资者偏好一个高期望收益、低标准差的投资组合。

表3－1　投资组合中各种金融资产的期望收益率和投资权重

表3－2　投资组合中各种金融资产的方差以及协方差

方差为

标准差为

表3－3可以更直观地表明在投资组合中，每种金融资产的方差以及协方差在整个组合方差中所占的比例。

表3－3　投资组合P的方差组合

二、投资组合的有效集

在组合投资时，将所有可供选择的金融资产均视为投资对象，并将投资金额合理地分配在各个可供选择的金融资产上，目标是为了获得一个最优的投资组合（Optimal Portfolio）。投资者在构造一个最优投资组合的过程中，运用“期望收益—方差”分析法（Mean－Variance Analysis）评价投资组合，确定投资组合的可行集。在可行集中选择那些在期望收益率一定时风险最小的投资组合，或者是风险一定时期望收益率最大的投资组合。

1．两种资产组合的有效集

设有两种金融资产，它们的期望收益率、方差、协方差和投资比例等相关信息见表3－4，那么该投资组合的期望收益率和方差为

表3－4　金融资产x和y的相关信息

两种资产组合下期望收益率和标准差之间的关系见图3－1，A点至B点间的弧线表示组合投资的有效集。A点表示投资者将资金全部投资于x资产，B点表示投资者将资金全部投资于y资产，A点和B点之间的曲线上的点表示投资者按一定比例投资于x和y资产上。如果将资金全部投资于资产x，则图中的A点表示这种投资组合。随着资产y的投资比例增加，投资组合在有效集上会越来越处于高位。如果等变量固定，而σ_xy随相关系数ρ变化时，则资产组合的具体位置视相关系数的大小而定。

图3－1　不同相关系数下两金融资产的前沿组合

有效集曲线随相关系数的变化而变化，相关系数越高，曲线的弯曲程度越大。当金融资产的相关系数介于＋1和－1之间时，有效集是一条处于A、B、C三个点组成的三角形区域内的弧线。当两种金融资产完全正相关，即ρ＝1时，则组合的方差和标准差为

则标准差为

当两金融资产是完全负相关，ρ＝－1时，则有：

此时的有效集是两条直线，两条直线分别为

如果两种金融资产存在完全负的相关关系，那么可以在特定的投资比例下，两条线相交于纵坐标，构造出一个无风险的投资组合。

图3－2　投资组合的可行集与有效集

2．多种资产组合的有效集

和只有两种资产构成的投资组合不同，当n种资产构成投资组合时，所有的组合都处于一个区域内（见图3－2）。构造最优投资组合的原则是，在组合的期望收益率固定的条件下，如何在n种金融资产上进行资金配置，以寻找到一个最佳的｛ω₁，…，ω_n｝，使该组合的风险最小，其目标函数为

约束条件是：

因此，多种资产组合的有效集是符合以上条件的投资组合解集，它位于投资可行集的边缘（见图3－2）。图中M点称作“最小方差组合”（Minimum Variance Portfolio）。

可见，多种资产组合有效集是在一定风险下，可以获得最大投资期望收益率的投资组合，或者是指在一定收益下，其风险最小的投资组合。因此，对投资者而言，只有有效集才是他们关心的。至于M点下方的可行集，尽管它是固定期望收益率下风险最小的组合，但却不是风险固定时期望收益率最大的组合。

三、资本市场线

1．最优投资组合

图3－3　无风险资产与切点组合T

事实上，金融市场上除了存在风险性金融资产，还同时存在着无风险的金融资产，如各种期限的国库券。国库券不存在任何的信用风险或违约风险，而且为市场上的投资者提供了一种无风险的收益率r_f，其方差为0。当市场上同时存在风险性金融资产和无风险性金融资产时，投资者的有效集将会发生变化。

假如投资组合是由两个金融资产构成的，一个是无风险的金融资产，另一个则是由n种风险性资产构成的风险性资产组合。

我们从无风险资产所在的点F出发，向风险资产组合的可行集区域作切线（见图3－3），切点称为“点T”，其对应的风险资产组合称为“切点组合T”（Tangent Portfolio T）。因此，当市场上存在无风险金融资产时，投资组合的有效集是由无风险资产和风险资产组合中的切点组合T构成的。在存在卖空限制时，有效集为FT两点之间的直线段⁽¹⁾。也就是说，由无风险资产和风险资产组合构造的投资组合，其可行集为连接无风险资产（0，r_f）和风险资产组合的一条直线。至于在FT线段上最终选取何点为最优的投资组合，则取决于投资者各自的期望效用。即

式（3－33）中，σ_T表示切点组合投资的标准差。

当市场上存在无风险资产时，投资者虽然会调整在无风险资产与风险资产上的投资比例，使得其投资期望效用最大化。与此同时，投资者在风险资产上的投资比例又存在规律性。投资者在风险资产上的投资比例，其相互之间的比例关系，与切点组合T中风险资产之间的比例关系完全一致。在风险资产组合的有效集上，切点组合T是最优的风险资产组合，因此，投资者选择的风险资产组合就是切点组合T。

2．投资组合与市场组合的关系

如果市场上所有的投资者均按照同一个切点组合T中风险资产的投资比例投资于各种风险资产，因此切点组合也不再被认为是一个简单的风险资产组合，而是被称为“市场组合”（Market　Portfolio）。则：

式（3－34）所表示的直线被称为“资本市场线”（Capital　Market　Line，见图3－4）。它表示当市场上存在无风险资产，市场达到均衡后，投资者最优的投资组合（同时含有无风险资产与风险资产）与市场组合在期望收益率与风险上所存在的联系。如果投资者的投资组合位于资本市场线之上时，表明市场上存在套利的机会，市场没有实现最优的资源配置，此时的市场价格关系是无法维持下去的。而当投资者的投资组合位于资本市场线之下时，表明此时投资者的投资组合没有实现最优化，投资者可以继续买卖以建立更优的投资组合。只有当投资者的投资组合位于资本市场线上时，投资者才能实现最优化投资，同时市场也可达到均衡⁽²⁾。

图3－4　资本市场线

四、投资组合的效应和风险

投资组合的效应是降低投资风险，即降低整个投资组合的风险（方差）。投资组合中选取的金融资产数量越多，意味着分散化投资程度越大，投资组合风险降低的程度也就越大。投资组合的效应源于金融资产之间不存在完全的正相关关系这一事实，当收益率发生变动时，不同的金融资产之间不会存在完全一致的同步变化关系，而是会出现同方向但不同幅度或者是反向的变化情况。也就是说，金融资产之间不存在完全正相关关系的现实可以使风险（方差）在不同的金融资产之间有一定程度的相互抵消，从而降低整个投资组合的风险。因此，投资组合选取的金融资产数量越多，风险相互抵消的作用也就越明显（见图3－5）。

投资风险包括“系统性风险”（Systematic Risk）和“非系统性风险”（Unsystematic Risk）。非系统性风险是指可以经分散化投资消除的风险（Diversifiable Risk）。这类风险与企业自身的经营特性紧密相关，取决于投资者对公司特定事项（如罢工等）所做出的反应。分散化投资可以使这些风险相互抵消，以至消除。该风险等于总风险与组合风险之差⁽³⁾。

系统性风险是指分散化无法消除的风险，也称“市场风险”（Market Risk）。此类风险是由整个经济系统或市场的综合因素决定的，它对所有的金融资产都会产生影响，因而只要这些综合因素存在，就无法通过分散投资，消除由这些综合因素带来的风险。如经济周期、宏观经济政策等宏观经济变量，它们产生的风险会波及所有企业的经营，从而使以企业经营为目标对象的相关金融资产的收益率，产生较大的不确定性，形成了系统风险。金融资产的收益率与资产总方差在一定程度上存在着正相关性，其“平均协方差”不可能为零。因此无论采取怎样的分散化投资策略，也不可能将投资组合的风险降为零，而是在降低到一定程度后就渐进地趋于“平均协方差”（见图3－5）。

图3－5　组合收益的方差和组合中证券总数之间的关系

投资组合分散化策略只能规避掉由单个金融资产价格剧烈波动所形成的风险。但是由于市场风险是无法通过分散化而消除的，因此，经济整体的走低还是会使投资组合蒙受相应的损失。

五、β系数

每一种证券的标准差和方差都不能恰当地度量其对投资组合的风险的贡献程度，事实上，贝塔系数最好地度量了一种证券的风险对投资组合风险的作用。