二方程模型

长度比尺L，表征大的含能涡旋的尺寸大小，它与紊动能量k一样，受输运过程的影响和制约。例如，网格后形成的涡旋通过对流传播到下游，下游任何点处的涡旋尺寸均取决于网格后的涡旋尺寸；耗散过程破坏小涡旋，其效果是增大涡旋尺寸；涡旋之间的拉拽，形成能量梯级，其效果是减小涡旋尺寸。所有这些决定着L的分布的过程之间的平衡，可用L的微分输运方程表示，据此，便可计算L的分布。人们经过长期的实践，也未能找到描述和计算L的分布的普遍适用公式，所以不得不采用长度比尺的微分输运方程，构造不同类型的二方程紊流模型。

绝大多数二方程模型均采用紊动黏性系数的概念和柯莫哥洛夫－普朗特表达式。这里介绍的二方程模型均属此种类型，介绍的重点，是目前在欧美广为流行的k－ε模型。

5.10.1 长度比尺的输运方程

长度比尺的输运方程不一定就是以长度比尺L作为因变量，只要形同Z＝kmLn的任何组合，均可作为长度比尺输运方程的因变量，因为k可由k的输运方程解出。事实上，已经提出的长度比尺方程，几乎都不用L作为因变量。例如，周培源、戴维多夫（B I Davidov）、哈罗和纳卡雅马（F H Harlow and P I Nakayama）以及琼斯和朗德尔（W P Jones and B E Laun－der）建议采用耗散率ε∝k3／2／L；罗塔（J C Rotta）建议采用KL方程，柯莫哥洛夫建议采用频率k1／2／L的方程，斯巴尔和赛弗曼（P G Saffman）则建议采用紊流旋度k／L2的方程。这些因变量的方程表示不同的物理过程，其原意不一定是作为长度比尺方程，但就其效果而言，这些方程无一例外地都是长度比尺方程，且都具有共同的形式。

对于无浮力作用的水流，方程的共同形式为：

式中：σz、Cz1和Cz2是经验常数；P是紊动动能的产生项，定义为表示第二源项，Z的选择不同，S的形式也不同。

借助于k方程（5－47）可以证明，在不同Z的方程中，除去扩散项和第二源项以外，其他各项都是等价的。第二源项的重要性主要表现在近壁区，因而，不同Z的方程的主要差别在于扩散项。经验表明，这种扩散项的差别对于自由流并不重要，但是在第二源项起作用的近壁区，如果取Z＝ε，则可使方程（5－50）中恰好不包含第二源项S。而其他各变量的方程，均需引入第二源项。这是ε方程的一个突出的优点，也是ε方程比其他方程得到更广泛应用的主要原因。

5.10.2 k－ε模型

在高雷诺数情况下，水流具有局部各向同性，耗散率ε等于分子黏性系数乘以脉动速度的梯度，见式（5－31）。由纳维埃－斯托克斯方程可导出脉动速度的准确的输运方程，因而也可导出ε的准确的输运方程。像其他输运方程一样，ε的输运方程包含变化率、对流、扩散、旋度的产生以及旋度的破坏等项；如果紊动处于各向异性状态，还会出现一些附加项。与k方程相类似，欲实际采用ε方程，必须对其中的扩散项、产生项和破坏项进行模拟。一般采用梯度假设模拟扩散项，并将产生项和破坏项合并加以模拟。模拟的结果，便是下面给出的ε方程，见式（5－53）。

ε方程与k方程、柯莫哥洛夫－普朗特表达式一起，构成了完整的紊流模型，称为标准k－ε模型。

构成标准k－ε模型的方程为

在柯莫哥洛夫－普朗特表达式（5－44）中代入（5－46）式，便得到（5－51）式。ε方程中包含经验常数σε、C1ε、C2ε。对于标准k－ε模型中的经验参数，可以用实验确定，具体方法见有关文献，其值见表5－1。

表5－1 k－ε模型中的常数数值

应当指出，表5－1给出的常数值，不是也不可能是完全通用的。经验指出，即使对某些不很复杂的水流，某些常数也要取不同的数值。如果采用含合适的水流参数的函数代替某些常数，便可扩大k－ε模型的应用范围。许多学者在这方面做了有益的尝试，并取得了较好的结果。下面列出几个修正模型。

（1）W·Rodi模型

采用表5－1的常数值计算轴对称射流，所得射流在静止介质中的扩张率比实测值高30％。对此，罗迪推荐按下式计算Cμ和C2ε，即

式中

图5－4 经验函数Cμ＝f（P／ε）

由此修正式可以看出，反映射流轴线速度的Uα减少时， Cμ与C2ε的数值也相应减小；当Uα沿程增加时，式（5－55）给出f＝0。引入射流宽度δ的射流横截面上的最大速度差ΔUm，是为了将∂Uα／∂x无因次化。（5－54）式和（5－55）式只适用于轴对称射流。

对于弱剪力层（例如射流和尾迹的远区），罗迪给出图5－4所示的经验函数，以修正Cμ的数值，其中是P／ε在横截面上的平均值。Cμ＝0.09系根据实验，在P和ε近似平衡的水流中得出的。但在弱剪力层中，横截面上的速度差只是对流速度的一小部分，P与ε的数值相差甚远，故应对Cμ值进行修正。应当指出，采用图5－4所示的经验函数，可明显提高k－ε模型预测弱剪力层的能力。

（2）Jones ＆Launder（1972）模型

此模型沿用k和ε的两个方程，并对近壁区的低雷诺数流动作了修正。经他们修正过的二维的k和ε的方程为

其中

（3）LPS流线曲率修正模型

Launder、Priddin和Sharma提出对ε方程中的耗散项进行修正，从而计入了流线曲率对水流紊动特性的影响，即将Cε2ε2／k写成

其中：Cc＝0.2，紊流Richarson数

总之，类似上述的修正模型有许多，这里不再列举。

5.10.3 二方程紊流模型的估价

二方程紊流模型不仅考虑到了紊动速度比尺的输运，而且还考虑到了紊动长度比尺的输运，因而能确定各复杂水流的长度比尺分布。尤其是对于有些形态的水流，其长度比尺不可能用简单的方法来确定，这时，二方程模型便是有希望成功地计算这些水流的最简单的模型。例如，迥流和一些由几个自由层或壁面层相互作用形成的复杂剪力层，用零方程、一方程模型均难得出较好结果，而用二方程模型却能得到极好的计算结果。而且，只要求解正确，求解长度比尺方程的计算费用并不昂贵，甚至比某些单方程模型中的长度比尺公式花费更少。再者，二方程紊流模型已经在相当广的应用范围内得到了检验，被证明是有效的。

在各类二方程模型中，k－ε模型得到了最广泛的应用，因为在各类长度比尺方程中，ε方程最为简单。除去混合长假设之外，k－ε模型大约是经过了最广泛的检验和应用最成功的紊流模型。采用表5－1给出的常数值，k－ε模型能成功地预测许多剪力层型水流和迥流。但是，k－ε模型也有难以克服的缺陷。例如，模型中的经验常数的通用性尚不能十分令人满意，对弱剪力层和轴对称射流，必须用一些函数代替几个经验常数，这是因为目前所采用的ε方程缺少足够的通用性。再如，在矩形渠道或管路中，若实验中观测到紊动引起的二次流，k－ε模型却无法预测，这是因为，标准的k－ε模型假设，对于雷诺应力的各个分量，紊动黏性系数相同，即紊动黏性系数是各向同性的标量。这一假设不影响k－ε模型对剪力层和迥流的计算，是因为在剪力层中，唯有一个剪应力分量是重要的；在迥流中，虽然正应力和剪应力在动量方程中同等重要，但与惯性项和压力梯度项相比，两者又都较小，故γt的各向同性对问题影响甚微。在有些水流或流动区域，有必要精确地描述紊动应力各分量的输运，各向同性的紊动黏性概念和据此建立的k－ε模型便显得过粗，而必须采用各应力分量的输运方程或其简化形式。这正是下面我们要讲的内容。