应力－通量方程模型与应力－通量代数模型

前面介绍的各类紊流模型，都假设紊流的当地状态可用某个速度比尺表征，而雷诺应力的各个分量均可通过不同的方式与这个速度比尺相联系。这类封闭时均流方程的方法，称为一阶封闭格式。为了考虑雷诺应力各分量的不同发展，正确地涉及复杂水流中各项雷诺应力的输运，有些紊流模型采用雷诺应力各分量以及紊动热（物质）通量各分量的输运方程。这类封闭时均流方程的方法，则称为二阶封闭格式。还有一些紊流模型，对于二阶封闭格式中的高阶相关，再采用相应的输运方程，称为三阶封闭格式。二阶封闭格式的紊流模型所含的微分方程已多于10个；三阶封闭格式所含的微分方程，多者高达28个。即使在计算机和计算技术高度发展的现代，联立求解如此之多的偏微分方程，也不是一件轻松的工作，而且也很不经济。为了既考虑到雷诺应力和紊动通量各个分量的输运，又不至采用过多的微分输运方程，罗迪等人提出了应力－通量代数模型，将二阶封闭格式中的微分输运方程简化为代数表达式并保持其描述输运过程的基本能力，与k方程、ε方程联立求解，得出雷诺应力和紊动通量的各个分量。这种模型，比起采用各向同性的紊动黏性系数的标准k－ε模型，通用性能得到了改进，并成为极有希望的紊流模型之一。二阶封闭格式相当复杂，本节限于篇幅，只能概要介绍应力－通量方程模型和应力－通量代数模型的主要思路和模拟结果，并讨论这些模型与其他一些重要模型之间的主要差别。

5.11.1 雷诺应力方程的模拟

在第5.4节中导出了雷诺应力的准确的输运方程，这里可重写为

当i＝j＝1，2，3时，（5－59）式给出三个正应力的方程。将三个方程相加，并注意到k＝（1／2）ui′ui′，便可得出紊动动能k的准确方程（5－31）。比较（5－31）式和（5－59）式可见，除去压力应变项以外，方程（5－59）中的各项均与方程（5－31）中的各对应项相当。在k方程中不含压力应变项，可见压力应变项对于总的能量平衡不起作用，其作用是把能量在各个分量之间重新分配（当i＝j时）和减少剪应力（当i≠j），总的趋势是使紊动各向同性。

方程（5－59）中的扩散项、压力应变项和耗散项都包含一些相关关系，如果不采用三阶封闭格式，就必须近似地模拟这些相关关系，二者必居其一。下面简述这三项的模拟方法。

1）耗散项的模拟。在高雷诺数情况下，紊动具有当地各向同性，各能量分量消耗同样数量的能量，且当i≠j时，可证明为零，故耗散项εij可写为

式中，ε即为前已述及的能量耗散率。

2）压力应变项的模拟。用压力脉动泊松方程消去压力应变项中的脉动压力p，可见有两种过程对压力应变项作出贡献：各脉动速度分量之间的相互作用、平均应变和脉动速度的相互作用。通常将两种作用的贡献分别模拟，并记为πij，1和πij，2，即

πxj，2的简化形式为

在式（5－61）～式（5－63）中，C1、C2、γ、C3为经验常数，Pij的定义见（5－59）式，P的定义见（5－50）式，Dij的定义为

3）扩散项的模拟。一般仍采用梯度模式模拟扩散项Diff，即

式中，Cs为经验常数。表5－2给出了式（5－61）～式（5－65）中经验常数的数值。

表5－2 应力－通量模型中的常数数值

应当指出，上面给出的模拟形式只是多种模拟形式之一，而且，对于一些特殊的流区，还应考虑特殊的效应（如壁面效应、自由表面效应等），对模拟格式作相应的修正。因篇幅限制，这里不作详细讨论。

5.11.2 标量通量方程的模拟

采用前述推导方程相类似的方法，可导出的准确的输运方程。若忽略黏性扩散项，该方程为

比较（5－66）式和（5－58）式可见，控制的过程与控制的过程相似。时均流场的产生项，是时均速度梯度和时均标量梯度联合作用的结果，其作用趋势分别为加剧速度脉动和标量脉动。压力－标量梯度相关项与方程中的压力－应变项相对应，是阻碍产生和限制其增长的主要项。

在高雷诺数情况下，紊流具有局部各向同性，可证为零，从而黏性破坏项为零。为使方程（5－66）封闭，只需模拟压力－标量梯度相关项和扩散项。与压力－应变项相似，借助于脉动压力p的泊松方程可证明，压力－标量梯度相关项πiφ由两部分组成：紊动部分πij，1和平均应变部分πiφ，2。这两部分的近似模拟公式分别为

扩散输运项仍用梯度模式进行模拟，有

式（5－68）～式（5－69）中的经验常数C1φ、C2φ、Csφ的数值，列于表5－2。

k方程（5－52），ε方程（5－53），（6个分量）方程（5－59）（3个分量）方程（5－66）共11个微分方程构成的二阶封闭多方程紊流模型，称为应力－通量模型或应力－通量方程模型。

5.11.3 应力－通量代数模型

前述应力模型已被用来计算均匀流，自由射流，附壁射流，附壁边界层和二、三维的管路、明渠水流，计算所得的时均速度分布和雷诺应力各分量的分布均与量测结果符合甚好。尤其是有些水流现象无法用标准k－ε模型描述，如附壁射流中的壁面效应，紊动引起的二次流以及边界弯曲引起的附加应变率等，均已采用应力模型得出较好的结果。但对某些水流现象，如扇形射流、弱剪力流等，应力模型所得结果与标准k－ε模型所得结果均未能满足要求。至于前述的输运方程，目前还应用不多，但有一些成功的算例，预测了分层和不分层的尾迹、分层的均匀剪力流、自由对流层和行星边界层的昼夜变化等。

提出应力－通量代数模型，是试图保持应力－通量方程模型的优点，同时免去求解繁多的微分输运方程。将微分方程简化为代数式并保留原微分方程的基本性质，便是可行的方法之一。的输运方程中，因变量的梯度只出现在方程的变化率项、对流项和扩散项中，如果能用模拟近似式消去这些梯度，便可将微分方程转化为代数式。罗迪据此提出了一种近似模拟法，他假设的输运与k的输运成正比，比例因子不为常数，即

上式中的第二个等式可由k方程（5－52）得出。

将（5－70）式和模拟公式（5－60）、公式（5－61）、公式（5－63）代入的方程（5－50），可得

（5－71）式必须与k方程、ε方程联合使用才有意义，因为上式中的k、P、ε等项要用k、ε方程求解。

对于方程中的输运项，可用类似于（5－70）式的方法写出，即

将（5－72）式和模拟公式（5－67）～模拟公式（5－69）代入的方程（5－66），可得

k方程（5－52），ε方程（5－53）两个微分方程和式（5－71）、式（5－73）的10个代数方程构成的二方程模型，称为应力－通量代数模型。相对于标准k－ε模型和应力－通量方程模型，应力－通量代数模型的突出优点，是以低廉的计算机费用考虑到各应力分量和通量分量的不同的产生过程和破坏过程，并能在一定程度上考虑到这些分量的输运过程。应力－通量代数模型比采用各向同性紊动黏性系数的标准k－ε模型，其通用性好得多；比采用众多微分输运方程的应力－通量方程模型，计算费用低廉得多。它在一定程度上综合了前者的经济性和后者的通用性。

应力－通量代数模型已被成功地用以计算不同形式的水流现象，例如，薄剪力层中的正应力分配，方形管渠中紊动引起的二次流，浮力对垂向、水平剪力层的影响，自由剪力层中浮力对紊动普朗特数σt的影响等。某些比较性的研究成果指出，在很多情况下，应力－通量代数模型的计算结果与应力－通量方程模型的计算结果并无明显差异。

下面的例子可以生动地说明，应力－通量代数模型比标准k－ε模型通用性能更好。

对于无浮力作用的薄剪力层，由（5－71）式得出的剪应力为

由（5－74）式可见：①该式与紊动黏性系数的关系式相一致，且紊动黏性系数∂y）恰可写为γt＝Cμk2／ε的形式，这进一步证明了柯莫哥洛夫－普朗特表达式的正确性。②（5－74）式中的Cμ为P／ε的函数。在第5.10节中，为了使标准k－ε模型同样适用于弱剪力流，曾引入函数值进行修正，见图5－4所示。式（5－74）中出现p／ε项，是因为用近似关系式（5－70）计及了的输运。对于当地平衡状态，p／ε＝1，（5－74）式中的Cμ蜕化为常数。由此可见，标准k－ε模型视Cμ为常数，所以是比较粗糙的假设，其要害是忽略了的输运。