边界层动量积分方程

对于任意的初始条件及边界条件，求边界层流动的解析解是非常困难的。电子计算机出现以后，对于许多边界层流动问题可以运用计算机求得令人满意的数值结果。但从工程应用的角度看，20世纪以来所发展的许多求解边界层方程的近似方法今天仍有很大的应用价值，因为它们省时、省力，但却能够给出许多重要结果。在这些方法中，采用动量积分方程的求解方法是最简便而又使用得最普遍的一种。这种方法并不要求物理参数在边界层内每一点精确地满足边界层方程，而只是要求它们在边界层的每一横截面上总体地满足这些方程，所以，采用动量积分方程求出的是近似解。求解动量积分方程时，通常需要预先给定边界层截面上速度分布的函数形式，如果所用的函数适当，就可以得到比较准确的近似解。下面首先建立动量积分方程。

以U乘以连续方程（8.27a）各项，并注意到▽U/▽y=0，得

以u乘以连续方程各项并和运动方程（8.27b）相加，得

式（8.30）减去式（8.31），得

将上式对y由0至δ积分，得

对式（8.32）左边第一项利用莱布尼兹（Leibniz）法则，有

考虑到y=δ时u=U和▽u/▽y= 0，以及y=0时u=v=0，式（8.32）变为

这就是边界层动量积分方程，它是由卡门（V.Karman）于1921年最先推导出来的，所以也称为卡门动量积分方程。该方程建立了壁面摩擦应力与动量厚度以及位移厚度的联系。卡门动量积分方程既适用于层流边界层的计算，也适用于湍流边界层的计算。

对于平板边界层，一般有dU/dx=0，于是动量积分方程（8.34）简化为

例8-6设来流速度为U的平板层流边界层内无量纲速度的相似性解为三次多项式，运用动量积分方程求边界层流动的近似解。

解 根据题意，设无量纲速度

其中，a、b、c、d是待定系数，它们可以由边界条件确定。

对于这个边界层流动问题，可以由下列四个边界条件确定待定系数。

在流体与平板的交界面上有

再由式（8.28）

并考虑到在y=0有u=v=0，于是，就得到这个边界上的另一个边界条件

在边界层外缘，流动速度与外流速度相同，而且没有切应力（在外流中不考虑流体粘性影响），这样可以得到外缘的两个边界条件

运用这四个边界条件，求出速度表达式中的待定系数分别为

所以满足边界条件的三次多项式速度表达式为

现在式中的δ还是未知的，所以速度分布并未确定。速度分布应该满足动量积分方程（8.35 ）。首先由速度表达式计算动量积分方程中的动量损失厚度和壁面切应力，即

把它们代入积分方程（8.35），得

或

积分，有

其中，C是积分常数。设所取坐标系的x =0在边界层的前缘点，则有x=0： δ = 0，由此确定积分常数C=0。于是解出边界层厚度

平板壁面切应力

长为L的单位宽度平板单侧所作用的总摩擦阻力

摩擦阻力系数

例8-7设来流速度为U的平板层流边界层内无量纲速度的相似性解为四次多项式，运用动量积分方程求边界层流动的近似解。

解 根据题意，设无量纲速度

由于相对于三次速度表达式多了一个待定系数，因此需要另补充一个边界条件以确定全部系数。从例8-6已知，在边界层的外缘，▽u/▽y=0，对速度再求一次导数，显然有

运用这个条件及例8-6中所用到的四个边界条件一起确定四次多项式中的待定系数后，得速度表达式

把它代入动量积分方程，计算所得到的边界层厚度、壁面切应力和摩擦阻力系数分别是

以上两例的近似解和准确解（布拉休斯解）的比较列于表8-2中。同时列入表中作比较的还有一次、二次多项式和正弦函数速度分布的计算结果。

表8-2 平板层流边界层近似解与布拉休斯准确解的比较

通过表中的比较可以知道，就是采用最简单的一次速度表达式也能得到定性合理的计算结果；采用三次和四次多项式的速度表达式，摩擦阻力系数Cf的误差只有3%左右。可见，用动量积分方程求解的确是一种简便而有效的近似计算方法。