变量数列分布离散程度的度量

第二节　变量数列分布离散程度的度量

平均指标是对总体做出概括说明，用以代表总体的一般水平，它能反映一批变量值的集中趋势。但变量值之间还有差异的一面，我们把它叫做离中趋势，平均指标不能说明这一特性。如某车间有两个生产小组，每组都是10个工人，各人的日产量如下：

第一组：20、30、40、50、60、60、70、70、100、120

第二组：58、59、60、61、62、62、63、64、65、66

可以算出，两个生产小组的平均日产量都是62件。但是，第一组各工人之间的生产件数相差很大，第二组则相差较小，说明第二组工人的日产量比第一组的离散程度小。因此，在计算平均数的同时，还需要用标志变异指标测定总体各变量值的离散程度。

标志变异指标又称标志变动度，是反映总体各单位标志值之间离散程度的指标，它可用来说明平均指标代表性的大小。如上例中，两个生产小组平均日产量都是62件，但第一组工人日产量离散程度大，平均日产量的代表性小，第二组工人日产量的离散程度小，平均日产量的代表性比第一组大。标志变动度还可用来说明经济现象的均衡性与稳定性，如产品质量的某一标志值差异较小，说明质量较稳定。由此可见，将平均指标和标志变动度结合起来分析，能使我们对总体的认识更深入、更全面。标志变动度有全距、标准差、标准差系数，以及四分位差、异众比率等。

一、全距（极差）

一个总体中单位标志值最大数和最小数的差距称为全距（Range），用R表示，说明标志值波动的范围，其计算公式为：

R＝X_max－X_min

如以上两个生产小组工人日产量的全距R（件）为：

第一组：120－20＝100

第二组：66－58＝8

全距越大，说明标志变动度越大，即变量的波动幅度大。全距计算简单，意义明白，常用它粗略地说明被研究对象的标志变动程度。但是由于它只考虑两个极端数值，若数列中存在一个特大数或特小数，则会影响全距大小，不能全面反映变量的离散程度。

二、标准差和标准差系数

（一）标准差

标准差（Standard deviation）又叫均方差，是各单位标志值对平均数的平均离差。由于，所以，在求平均离差时，采用平方的方法来消除离差的正负号，即首先计算离差平方的平均数，然后再开方，正平方根即为标准差。标准差越大，标志值的离差程度越大。标准差习惯上用σ表示，σ²称为方差（Variance）。

对于未分组资料：

对于分组资料：

例3－11：以表3－7中的资料为例，计算标准差。

首先计算完成生产定额百分数的平均数。再计算各组标志值（以组中值代替）和平均数的离差以及离差平方等（见表3－8）。从表3－8中所列数字可计算标准差如下：

表3－8　　　标准差计算表

标准差还可以根据方差的数学性质进行计算，即：

式中：（未分组资料）

或　　（分组资料）

仍以表3－7中的资料为例，计算标准差（见表3－9）。根据表3－9中的数字计算标准差如下：

表3－9　　　标准差计算表

（二）标准差系数

标准差是反映标志变动度的绝对指标，它的大小不仅取决于标志值的离散程度，还取决于数列平均水平的高低，因而对于具有不同平均水平的数列，就不宜直接通过标准差来比较其标志变动度的大小，而需要将标准差与相应的平均数对比，计算标准差系数（Variation coefficient），这样可以消除不同数列平均水平的影响，从而使不同的数列可以进行比较。标准差系数越小，标志值的离散程度越小；反之亦然。

标准差系数的计算公式如下：

式中：V_σ表示标准差系数。

例3－12：设有两个工厂工人日产量资料如下：

表3－10　　　标准差系数计算表

上例中，甲厂的标准差比乙厂要大得多，但不能由此断言乙厂的平均数代表性大于甲厂，这是因为两厂的日产量水平相差悬殊。计算了标准差系数后，表明乙厂的标准差系数大于甲厂，说明甲厂的平均数代表性大于乙厂。

三、四分位差和异众比率

（一）四分位差

所谓四分位差（Quartile deviation）就是将全部数据从小到大排序，再将数据四等分，分位点对应的数据称为四分位数，记作Q₁、Q₂、Q₃，显然，Q₂即为中位数，而四分位差就是Q₁到Q₃距离的一半，即：

例3－13：根据表3－7中的资料，计算该厂工人生产定额完成百分数的四分位差。

计算四分位差，首先需确定Q₁、Q₃所在位置。由于一共有100个数据，四等分后，Q₁应在第25个位置上，Q₃应在第75个位置上，仿照中位数计算方法，可以求得：

则：

由上述计算过程可以看出，四分位差是以中位数为中心点，四分位差越小，意味着中间的数据越集中；反之，则说明中间的数据越分散。因此，四分位差是说明中位数代表性大小的指标。

由于四分位差描述数列中间50%数据的距离，因此，避免了极端数值的影响，作为描述分布离散程度的指标具有较高的稳定性。同时，对于存在开口组的组距数列，也不影响四分位差的计算。

（二）异众比率

异众比率（Variation ratio）是指分布数列中非众数组的频数与总频数的比率。仍以表3－7中的资料为例，总频数为100，众数组频数为27，则：

异众比率的作用在于衡量众数对一组数据的代表性大小。异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性越差；反之则说明众数的代表性越好。