滑动模态运动方程怎么求

假设系统方程为

其中，x=［x1，x2］T为系统状态，u为系统控制。

系统的滑模面和控制律分别为

其中，c＞0，k＞0。

对于式（5.1）～（5.3）组成的系统，由于控制有界，系统的滑动模态区域和吸引区域都是局部的。下面根据第三章中方法，确定滑动模态吸引区域和存在区域。

对式（5.2）求导得

将式（5.3）代入式（5.4），并根据s＜0得

故滑动模态的吸引区域为

例：在式（5.1）～（5.3）组成的系统中，令a1=－1，a2=0，k=2，c=1，根据式（5.6）知，滑动模态存在区域和吸引区域，如图29所示。

图29　传统到达条件定义的滑动模态存在区和吸引区

其中，滑动模态存在区域为线段AB，两点坐标分别为（－1，1），（1，－1）。滑动模态吸引区域为

给定两组初始状态，data1（0.5，－0.6），data2（0.5，－1.45），容易验证data1和data2都在系统吸引区域内。以data1与data2为系统初始状态，对系统进行仿真，结果如图30～31所示。图30是系统状态x的变化过程，它们均从初始值变化到0。但是，data1情况下，x1在变化过程中没有发生符号变化。data 2情况下，x1在变化过程中发生了符号变化（从正值变化为负值）。以data1和data2为初始状态，系统相轨迹的变化过程如图31所示。从图31中可知，系统状态均从初始状态到达滑模并沿滑模运行，该相轨迹符合滑模控制要求。

图30　x1，x2变化过程

图31　相轨迹

在实际系统中，以data2为初始状态的情况下，x1变化过程不符合工程安全性要求。在自动着陆系统中，若x1代表飞机相对地面的高度，当“x1从正值变为负值”即意味着飞机的飞行高度要低于地平线，这必将导致飞机撞击地面。在交会对接系统中，若x1代表对接走廊中航天器C相对于T对接口的距离，由于x1从正值变化为负值，故航天器必然发生碰撞事故，造成重大损失。所以，符合滑模控制要求的状态变化过程未必都符合工程应用中的安全性要求。