流体运动的连续性方程

流体的流动就是一种连续介质的连续流动，同其他物质运动一样，也要遵循质量守恒定律。本节将根据质量守恒定律并考虑流体流动的连续性，分别建立流体三维流动的连续性方程和元流、总流的连续性方程。

5．1．1　流体流动的连续性方程

在流场中任取一微小正交空间六面体，各边分别与直角坐标系各轴平行，如图5-1所示。设各边边长分别为dx、dy、dz，空间六面体形心点M的坐标为(x，y，z)，以及在t时刻M点上的流速为(ux，uy，uz)、密度为ρ。

首先考虑在微小时段dt内沿Ox轴向流入、流出空间六面体的流体质量差。根据泰勒级数展开的方法，可得流体在表面abcd中心的流速、密度分别为

以及流体在表面a'b'c'd'中心的流速、密度分别为

图5-1　推导三维流动连续方程示意图

中心处的流速、密度可以作为表面abcd和a'b'c'd'的平均流速、平均密度，从而可得dt时段内经过表面abcd沿Ox轴向流入空间六面体的流体质量m1，即

以及经过表面a'b'c'd'沿Ox轴向流出空间六面体的流体质量m2

于是可得dt时段内沿Ox轴向流入、流出空间六面体的流体质量差

推导时已考虑忽略二阶以上高阶无穷小量。

同理可得dt时段内沿Oy轴向和沿Oz轴向流入、流出空间六面体的流体质量差分别为

另外，在t时刻和t+dt时刻，空间六面体内流体的质量分别为

那么在dt时段内空间六面体中的流体质量变化量为

根据质量守恒定律，在dt时段内沿x，y，z三个方向流入、流出空间六面体的流体质量差应等于该时段内在空间六面体中的流体质量变化量。即

亦即

式(5-1)为流体流动的连续性微分方程。将式(5-1)中的后三项展开

引入式(4-11)可得另一形式的连续性微分方程

由式(5-1)和式(5-3)可见，流体密度是可变化的，因而这两式均为可压缩流体连续性方程。若针对不可压缩流体流动，有ρ≡const，则式(5-3)可以写成

式(5-4)为不可压缩流体连续性微分方程。从推导过程来看，式(5-4)对不可压缩流体的定

常流和非定常流都适用。对于二维不可压缩流体流动，式(5-4)可以写成

引入线变形速率式(4-31)，式(5-4)可以写成

式(5-6)表明对于不可压缩流体，x，y，z三个方向的线变形速率之和(也就是体积改变量)为零。

5．1．2　定常元流、总流的连续性方程

在自然界中存在着受某些周界的限制和影响只沿某一方向运动的流体流动过程，这种流动可以简化为一维流动。这种流动可以用元流、总流来描述。下面针对这一类的流动，建立元流和总流的连续性方程。

在定常流中，如图5-2所示为一段总流，A1和A2分别为总流上有效截面1—1和有效截面2—2的面积。

图5-2　推导一维流动连续性方程示意图

现在总流中取一元流，元流的两有效截面面积分别为dA1和dA2，其上的流速分别为u1和u2，密度分别为ρ1和ρ2，如图5-2所示。按照元流的周界即流管是由流线组成的定义，又根据定常流中流线的形状和位置不随时间而改变以及流线不可能相交的性质，可知定常流中元流的形状和位置不随时间而改变，也不可能有流体质点穿过管壁进出元流的情况，流体质点只可能从两端有效截面dA1和dA2处分别进出。又考虑元流的有效截面为微小截面，则截面上的流速分布可以看做均匀的。那么，在dt时间内，由有效截面dA1流入的流体质量为ρ1u1dA1dt，由有效截面dA2流出的流体质量为ρ2u2dA2dt。按照质量守恒定律，流进元流的流体质量应等于流出的流体质量，即可得元流的连续性方程

方程(5-7)也称为可压缩流体连续性方程。若为不可压缩流体，则有ρ1=ρ2=const，可得不可压缩流体连续性方程

式中dQ为式(4-19)表示的元流流量，式(5-8)说明各截面的元流流量沿程相等。

总流是由无数元流组成的，如图5-2对元流的连续性方程(5-7)分别沿有效截面1—1和2—2积分可得总流的连续性方程

式中Q为总流流量，为质量流量的含义。引入有效截面平均流速的概念，并假定在总流有效截面上密度为均匀分布，则有

式中，v1和v2、ρ1和ρ2分别为有效截面1—1和2—2上的平均流速、密度。方程(5-10)称为可压缩流体总流连续性方程。式(5-10)说明各有效截面反映质量流量的总流流量沿程相等。

若为不可压缩流体，则有

式中总流流量Q为体积流量的含义。由式(5-11)可见，各有效截面的总流流量沿程相等，截面平均流速与有效截面面积呈反比关系。

需要注意的是，式(5-11)表示的是无支流的总流连续性方程。对于如图5-3所示的有汇流和分流情况下的总流，分别有

图5-3　有汇流和分流情况下的总流流动示意图