函数导数切线方程怎么解

先讨论两个问题：速度问题和切线问题．

例1　设一质点作变速直线运动，位置函数s＝s（t），求质点在某时刻t0的瞬时速度．

解　考虑从t0到t0＋Δt这一时间间隔，在此时间间隔内，质点经过的路程为

Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0），

所以质点在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为

可作质点在时刻t0的瞬时速度的近似值．显然，｜Δt｜越小，近似程度越好．令Δt→0，如果的极限存在，则称此极限为质点在时刻t0的瞬时速度，即

例2　求平面曲线L：y＝f（x）在点P0（x0，f（x0））处切线的斜率．

解　设点P（x0＋Δx，y0＋Δy）为曲线L上的一个动点，其中Δx≠0，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）．作割线P0P，设其倾角（即与x轴的夹角）为φ，易知割线P0P的斜率为

当点P沿曲线L趋向于定点P0（即Δx→0）时，割线P0P也随之趋向于它的极限位置P0T．我们称直线P0T为曲线L在定点P0处的切线，如图2.1所示．显然，此时倾角φ趋于切线倾角α，即切线的斜率为

图2.1

上面两个例子尽管实际意义不同，但它们在数学上的处理学方法却是一样的，都归结为函数增量与自变量增量比值的极限．撇开这些量的实际意义，就得到导数的概念．

定义1　设函数y＝f（x）在点x0的某个领域内有定义，如果极限

存在，则称函数f（x）在点x0处可导，并称该极限为函数f（x）在点x0处的导数，记为f′（x0）．

令x＝x0＋Δx，则有

有时也记Δx＝h，此时

如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导，则称函数在（a，b）内可导．此时对（a，b）内的每一个确定的x，都对应一个确定的数f′（x），这样就定义了一个新的函数，称为f（x）的导函数，记为

即

导函数也简称为导数．

显然，f′（x0）就是导函数f′（x）在点x0处的函数值，因而f′（x0）也记为

下面根据导数定义求一些函数的导数．

例3　求f（x）＝C（C为常数）的导数．

即常数的导数等于零．

例4　求f（x）＝xn（n∈N＋）的导数．

解　由于

因此

例5　求f（x）＝sin x的导数．

解　由于

因此

同理可求得（cos x）′＝－sin x．

例6　求f（x）＝logax（a＞0，a≠1，x＞0）的导数．

解

特别地，当a＝e时

由例2可知，函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）是曲线y＝f（x）在点P0（x0，y0）处切线的斜率．

因此，曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为

法线方程为

如果函数f（x）在点x0处的导数为无穷大，则曲线y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线为垂直于x轴的直线：x＝x0．

解　根据导数的几何意义可知，所求切线的斜率为

从而所求切线方程为

y－1＝－1·（x－1）

即

x＋y－2＝0．

所求法线的斜率为

于是所求法线方程为

y－1＝－1·（x－1）

即

x－y＝0．

例8　判断函数f（x）＝｜x｜在点x＝0处是否可导．

解　因为

图2.2

函数f（x）在点x0处的导数

是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此f′（x0）存在即f（x）在点x0可导的充分必要条件是左、右极限

从而有如下结论：

左导数和右导数统称为单侧导数．

如果函数f（x）在（a，b）内可导，且存在，就称f（x）在［a，b］上可导．

可导与连续是两个重要概念，它们之间有什么联系呢？

设函数y＝f（x）在点x0处可导，即有

由函数极限与无穷小的关系可知

其中α是当Δx→0时的无穷小．上式两边同乘以Δx得

故当Δx→0时，Δy→0，所以函数y＝f（x）在点x0处连续．因而有如下定理：

定理　如果函数y＝f（x）在x0处可导，则它在x0处一定连续．

需要注意的是，一个函数在一点连续却不一定在该点可导．例如，函数y＝｜x｜在点x＝0处连续，但在点x＝0处不可导．

1．设f（x）＝2x2，按导数定义求f′（－1）．

2．用导数定义求下列函数的导数：

（1）

（2）f（x）＝cos x．

3．求曲线y＝cos x在点（0，1）处的切线方程与法线方程．

4．求抛物线y＝x2－5x＋9在点（3，3）处的切线方程与法线方程．

6．证明：若f（x）在点x0可导，则

7．讨论f（x）＝｜sin x｜在x＝0处的连续性与可导性．