效用函数曲线

2．效用函数曲线

效用的数量用效用值u来表示。效用值是一个相对量，无量纲。它的大小可规定在0与l之间，也可规定在0与100之间。在一个决策问题中，通常将决策者可能得到的最大收益值相应的效应值定为1或100，而把可能得到的最小收益值（或最大的损失值）相应的效用值定为0。

如何通过与决策者对话建立相应的效用函数呢？对于一个决策问题，如果最小收益值为a，最大收益值为b，我们以收益为自变量，[a，b]上的效用函数设为U（x），并有u（a）=0,u（b）=1。对于x∈（a，b）,U（x）称为x的效用值，U（x）∈[0，1]。

一般可以用插值方法来确定[a，b]中其他的效用值u（x）：α,β,∈[a，b],若已知u（α）和u（β）,α＜x＜β，如果通过对话不断修改β值，直至最后发现决策者心目中的假想方案与概率为P*获利β、概率为（1-P*）获利α的假想方案的效用值是相等的时候，则令

u（x）=P*u（β）+（1-P*）u（α）

当[a，b]中x₁，x₂，…，x_n对应的效用值u（x₁）,u（x₂），…，u（x_n）已确定，就可以用一条光滑曲线把这些点（x₁，u（x₁））（i=1，2，…，n）连接起来，就是效用函数曲线。

例如，在上面一个问题中，最大收益为500万元，最小收益为（-300）万元，我们就规定u（x）定义在[-300，500]上，而且u（-300）=0,u（500）=1。

下面我们先来看，对于x=50∈[-300，500],u（50）如何确定？我们采用对比提问法。

如前面所讲，决策者宁愿采用稳得50万元的策略，而不愿采用收益期望值为240万元的策略。它说明在决策者心目中，稳得50万元的策略S₂的效用值，比策略S₁的效用值要大。为了确定收益为50万元的效用值，可以适当提高S₁成功的概率并继续询问：如果现在获利500万元的概率为0.8，损失300万的概率为0.2，那么你是否愿意冒一下风险，还是仍然宁可稳拿50万元呢？如果决策者这时愿意冒一下风险，则说明在决策者的心目中现在所提出的假想方案的效用值大于稳得50万元方案的效用值。这时再适当减小S₁成功的概率再问：如果获利500万元的概率为0.75，获利（-300）万元的概率为0.25时，你是否愿意冒一下风险，还是宁可稳拿50万元？如果决策者这时认为这两者对他来说无所谓，都可以，这就说明在决策者的心目中“这两个方案的效用值相等”，那么我们就停止询问。由于已知u（-300）=0,u（500）=1，我们就可以确定50万元的效用值：

u（50）=1×0.75＋0×0.25=0.75

本例中，在坐标系中标出点（-300，0）、（50，0.75）、（500，1），并连以光滑曲线，就得到决策的效用曲线,如图2.9所示。

图2.9　效用曲线