零方程模型

这里介绍两种比较简单的紊流模型，它们均采用紊动黏性概念，均不包含紊动量的微分输运方程。确定紊动黏性系数的方法有两种：一是直接根实验资料，用尝试法建立经验公式；二是将紊动黏性系数与时均速度的分布建立联系。

5.8.1 γt和Γ为常数的模型

有不少用于大体积水体的水力计算方法，是对整个流场采用一个常数作为紊动黏性（扩散）系数，其数值须根据实验资料确定。

前已述及，这种模型不是满意的紊流模型。虽然在水力学计算中常采用这种模型，但在许多水力学问题中，动量方程中的紊动项并不重要，例如大体积水体的流动，这种情况下，紊流模型本身对计算的效果影响甚微。另一方面，如果紊动项很重要，甚至决定流动的性质，则常数模型过粗，便不能正确描述紊流的性质。例如，在明渠水流中，γt沿水深的分布近似为抛物线；再如，在水平射流中，γt正比于到射源距离的1／2次方。对这两种情况，如果取γt为常数，将得出不合理的速度场。在温度或浓度场计算中，取紊动扩散系数Γ为常数，却有实用价值，因为在温度－浓度方程（5－21）中，紊动输运项总是重要的。但常数Γ模型仍嫌过于粗糙，只能应用于所谓的远区。因为在远区，水流的紊动由自然条件而不是由局部扰动控制，Γ的数值变化较小。即使对远区，在某些场合，也必须在某种程度上放弃紊动黏性系数和紊动扩散系数为各向同性的假设，对水平输运和垂直输运采用不同的扩散系数Γh和Γz，且通常取Γh大于Γz。

5.8.2 混合长模型

普朗特在1925年提出的混合长假设，是第一个描述紊动黏性系数分布的紊流模型，亦堪称为第一个比较适宜的紊流模型。有关文献对混合长假设和由此派生的边界层理论作了详尽的论述和介绍。

普朗特受到气体运动理论的启发，提出流体质团做紊动运动时具有混合长度的概念，假定紊动的质团也要在运行一个混合长度的距离后才和周围流体混合，并失去原来的特性。这样，对于二维平行流动，当时均流速不相等的两层流体之间由于流速脉动产生动量传递时，按动量定律并设u1′～u2′，可导出紊动切应力的关系式

式中lm为混合长度，这就是混合长度模型的表达式。将此式和式（5－32）比较可知，混合长度模型实际上是令紊动黏性系数为

要使式（5－39）可以计算，必须知道lm。为此，普朗特作出假定：

式中：x2为离开壁面的法向距离；κ为常数，由实测资料确定，目前多用κ＝0.4。

对于远离壁面的自由紊流（如射流），假定在横断面上lm是一个常数，且与断面上混合区的宽度b成正比。取流速梯度近似等于断面上最大流速和最小流速之差，除以宽度b，即

应用这些假定推算出的流速分布和实测资料吻合得很好，因此，混合长度模型在实际问题（如管道和明槽均匀流、边界层等流动）中已得到广泛的应用（见一般流体力学或水力学书籍）。

卡门（Kámaán，1930）对混合长度的确定提出了紊动局部相似假说，主要内容包括两点：①除紧靠壁面区域外，紊动机理和流体的黏性无关；②脉动流速场各点附近的局部情况，在统计意义上是彼此相似的，只有长度和时间的尺度不同。

由此出发，卡门得出紊动的长度尺度（即混合长度）为

式中，常数κ和式（5－40）中的相同，称为卡门通用常数。

混合长理论至今仍被广泛地应用于各种水力计算，但其不可克服的固有的缺陷也更加深刻地被人们所认识。这主要表现在以下几个方面：

1）混合长假设忽略了紊动量的扩散输运。由式（5－40）可知，一旦速度梯度为零，γt和Γ便相应为零。这与实际情况相悖。例如，在管路和渠道水流中，中心线上为零，但γt的数值不为零，只比γt的最大值小20％左右。幸运的是，中心线上的剪应力恰为零，所以这种谬误对流场的计算影响不大。但在热输运计算中，中心线上Γ值取零就会导致十分荒谬的结果，例如当热量从渠道的一侧传到另一侧时，如果中心线上Γ为零，渠道的另一侧就永远得不到热量。事实上，在管路、明渠的水流中，紊动主要产生在近壁区，热量是通过紊动的扩散作用被输运到中心线。混合长假设忽略了扩散输运，因而错误地认为在中心线得不到紊动。

2）混合长假设忽略了紊动量的对流输运。网格后的均匀流，是均匀紊流的典型例子。网格的存在使得紊流在网格后形成尾迹，紊动由时均流的对流输运输送到下游，在下游形成均匀紊流。这种情况下，下游区域的时均流的流速均匀，若按混合长假设，应得出γt＝Γ＝0，从而得出下游无紊动的错误结论。究其根源，是因为混合长假设中忽略了对流输运。

3）混合长模型缺少通用性。混合长模型对于不同类型的水流需采用不同的经验常数，这是混合长理论中忽略了紊动量的扩散输运和对流输运的必然结果。随后我们将要证明，在紊动动能k的微分输运方程中，如果略去变化率项、对流输运项和扩散输运项，便可导出混合长公式（5－40）。可见，混合长假设的要害，是将紊动处理为没有时间积累、没有空间输运，就地产生、就地消亡的当地平衡状态，这当然就会限制混合长假设的使用范围。

一般地说，混合长模型可用以计算许多简单的剪力层型的流动，因为这种情况下可用经验方法确定lm；而对于在紊动输运过程中占有重要地位的较复杂的水流，则很难确定lm，故混合长模型便不再适用。