动量矩定理

4.3.3　动量矩定理

实际经验表明，有些质点、质点系(包括刚体)的运动，尤其是转动问题，用动量来度量机械运动量是不合适的，动量定理也不能解决问题，而必须用动量矩来表征它的运动量，并用动量矩对时间的改变率与作用在物体上外力系主矩之间的关系来解决。

1.基本概念

(1)质点对固定点O的动量矩

H_O=m_O(mv)=r×mv

量纲:［m］·［L］²·［T］－1，单位:千克·米2/秒，即kg·m²/s。

(2)质点系对固定点O的动量矩

H_O=Σm_O(m_iv_i)=Σr_i×m_iv_i

(3)质点系对过固定点O的正交坐标轴的动量矩

(4)定轴转动刚体对转动轴z的动量矩

H_z=J_z·ω

式中J_z为刚体对转动轴的转动惯量。

2.转动惯量

(1)普遍公式

图4.3-5

定义:质点系对u轴的转动惯量J_u等于各质点的质量与质点到u轴距离的平方乘积之

和，即J_u=Σm_iρ²_i。

例如，等截面均质细杆，长AB=l，质量为m，其对过质心C与杆垂直的轴的转动惯量为J_Cz

=;其对过A端的垂直杆AB的轴的转动惯量为J'_z==

又如等厚均质薄圆板，半径R，质量m，其对过质心C与板面垂直轴的转动惯量为J_Cz=

可见转动惯量是一个描述质点系质量分布的物理量。对刚体而言，转动惯量是刚体转动时惯性的量度。

物体对u轴的转动惯量还可表为整个物体的质量m与某长度ρ的平方之乘积，即称ρ为该物体对u轴的回转半径，或称惯性半径。

均质物体的转动惯量及回转半径可在工程手册中查到。对于形状复杂或非均质物体，不便用计算法求它的转动惯量，则此时可用实验法求得。

(2)转动惯量的平行轴定理

物体对两平行轴的转动惯量有如下关系:

J_z'=J_Cz+mh²

表示物体对某z'轴的转动惯量等于物体对通过其质心并与z'轴平行的Cz轴的转动惯量加上物体的质量与两轴间距离平方之乘积。显然，诸平行轴中以对过质心的轴的转动惯量为最小。

3.质点系动量矩定理

质点系动量矩定理，有对固定点、固定轴的，还有对动点质心的。如表4.3-2所示。

表4.3-2

表4.3-2中H_Cr是在相对随质心平动坐标系的运动中，质点系对质心的动量矩;这是因为随质心作平动中，质点系对质心的动量矩为零，故H_C可用H_Cr来反映。

如果是刚体，对固定轴的就称刚体定轴转动微分方程。刚体相对质心的动量矩定理与质心运动定理相结合，就称为刚体平面运动微分方程，该方程可以解决刚体作平面运动的动力学问题。平面运动微分方程为式中J_Cz是刚体对过质心C且与运动平面垂直的z_C轴的转动惯量。

【例4.3-5】一飞轮由直流电机带动，已知电机产生的转矩M与其角速度的关系为:M= M₁式中，M₁表示电机的起动转矩，ω₁表示电机无负载时的空转角速度，且M₁与ω₁都是已知量。设飞轮对O轴的转动惯量为J_O，作用在飞轮上的阻力矩M_F为常量，如图4.3-6所示。当M＞M_F时，飞轮开始起动，求角速度ω随时间t的变化规律。

图4.3-6

解:本题为已知作用于飞轮上的力矩M与M_F，求飞轮的转动规律，属动力学第二类问题。可根据刚体绕定轴转动的微分方程，通过积分求得飞轮的角速度ω。

(1)对象

以飞轮为研究对象。

(2)受力分析

飞轮上作用的外力有力矩M及M_F，约束反力X_O、Y_O和重力W。

(3)运动分析

飞轮作定轴转动。取顺时针转向为正。

(4)建立动力学方程，并求解

应用定轴转动微分方程列方程如下:

将已知转矩代入式(1)，得

将上式分离变量，并进行积分运算，因运动初始条件为t=0时ω=0，则有

解得飞轮的角速度为

根据题意M＞M_F，由式(1)可知飞轮作加速转动;又由上式可见，飞轮角速度将逐渐增大;当t→∞时，式(3)括号内的e^－bt→0，这时飞轮将以极限角速度ω_m转动，且

如不加负载，阻力矩M_F=0，则极限角速度为

ω_m=ω₁

【例4.3-6】小车上放一半径为r、质量为m的钢管，钢管与车面间有足够的摩擦力阻止滑动。令小车以加速度a向右运动，不计滚动摩擦及钢管的厚度，求钢管中心O点的加速度。

解:取钢管为研究对象，作用于其上的力有重力mg、车面反力N和滑动摩擦力F，受力图如图4.3-7所示。

选小车为动系，则钢管相对小车作平面运动，其中心O点沿水平方向作直线运动，由合成运动公式求得钢管中心O点的加速度

图4.3-7

式中ε是钢管的角加速度。

列出钢管平面运动动力学方程

由式(1)、(2)、(3)可解得钢管中心O点的加速度

4.解题注意事项

①计算动量矩必须是绝对速度或绝对角速度。

②用动量矩定理解题时，只须分析作用于研究对象上的全部外力。

③应用动量矩定理时，一般应取固定点、轴及质心为矩心或矩轴。对于任意的动点或轴，一般不具有上述动量矩定理的简单形式。

④建立对轴的动量矩定理时，除必须注意正负号外，各方程中的速度或角速度大小与方向都必须满足运动学关系。