角动量与角动量守恒定律

对于绕对称轴转动的刚体，它的动量恒为零，所以动量不再能描述这类物体的运动状况。这样，我们需要一个新的物理量来描述这类物体的运动。人们发现，如果用刚体某质元的位置矢量去叉乘该质元的动量，然后对整个刚体的质元求和（或者积分）可以得到一个不为零的物理量，因此，这个物理量可以用来描述物体的转动。研究者将这个新物理量称为物体的角动量，即角动量定义为物体的位置矢量叉乘该物体的动量。在研究物体转动时经常用角动量来描述物体的状态。它表征质点矢径在单位时间内扫过面积的大小，或刚体定轴转动的剧烈程度。角动量是物理学中又一个重要的物理量，特别是在有些过程中系统的动量和机械能都不守恒，但由于针对某个参考点的力矩为零，这时系统的角动量守恒，这为求解相关问题开发了新的方法。

一、角动量及角动量守恒定律的建立背景

角动量这个概念的建立与研究物体的转动有关。开普勒在1609年发表的伟大著作《新天文学》中提出了他的前两个行星运动定律，即行星运动第一定律：每个行星都在一个椭圆形的轨道上绕太阳运转，而太阳位于这个椭圆轨道的一个焦点上；行星运动第二定律：行星运行离太阳越近则运行就越快，行星与太阳之间的连线在等时间内扫过的面积相等。当时开普勒没能说明按其规律在轨道上运行的原因，到17世纪后期才由艾萨克·牛顿阐明清楚。从现代物理的观念来看，如果我们把开普勒第二定律中行星与太阳之间的连线加一个方向，即指向行星，那么这根线就表示行星相对于太阳的位置矢量r；等时间内扫过的面积与r叉乘行星的线速度v有关。牛顿把r×mv定义为一个运动物体相对参考点的角动量L。在此基础上，加上牛顿发明的微积分方法，牛顿成功地证明了开普勒第二定律。牛顿曾说过：“如果说我比别人看得远些的话，是因为我站在巨人的肩膀上。”开普勒无疑是他所指的巨人之一。

二、角动量及角动量守恒定律的矢量数学描述及物理解析

1．角动量的定义

在经典力学中角动量定义为物体（质点）相对于某参考点的位置矢量与其动量的叉乘，即

L=r×p=r×mv（13-1）

式中，L表示角动量矢量，r表示质点相对于参考点的位置矢量，v表示线速度，p表示线动量。角动量大小的单位为kg·m2／s，量纲为［ML2T-1］。

2．质点的角动量定理和角动量守恒定律

考虑质量为m的质点，在某时刻质点的空间位置矢量为r，用r叉乘牛顿第二定律数学表达式两边可得

式（13-2）中r×F定义为作用在质点上的合力对参考点（位置矢量的原点）的力矩，用M表示，即

M=r×F（13-3）

而式（13-2）中的r×mv定义为对同一参考点的角动量，用L表示。这样，式（13-2）可表示为

将式（13-4）两边同乘以dt可得

Mdt=d L（13-5）

对式（13-5）在t0到t的有限时间内积分，得

式中，称为合力矩在时间t0～t内的角冲量（也叫冲量矩）。式（13-5）和式（13-6）为质点的角动量定理。它们表示质点角动量的增量等于作用于质点的角冲量（或冲量矩）。前者是角动量定理的微分形式，后者是角动量定理的积分形式。进一步考虑相对于惯性系中的一个固定参考点，如果作用在质点上的合力矩为零，即M=0，从式（13-6）可知质点对该固定点的角动量增量为零，即L-L0=ΔL=0，或者写成L=r×mv=常量，这就是角动量守恒定律。它表示如果选定某一固定点做参考点，当质点所受的合外力矩为零时，质点相对于该点的角动量大小和方向保持不变。另外，由于角动量和冲量矩都是矢量，它们在x，y，z方向的分量一一对应，所以当合外力矩的某个分量为零时，该分量的角动量守恒，即Mx=0，则Lx=常数；My=0，则Ly=常数；Mz=0，则Lz=常数。

3．质点系的角动量定理和角动量守恒定律

质点系的角动量定理可通过对各质点所遵从的角动量定理求和得到。考虑由N个质点组成的质点系，对其中第i个质点，角动量定理表示为

对于N个质点有

由于内力力矩相互抵消，∑ri×Fi中只有外力矩有贡献，故有

令

则得

将式（13-11）两边同乘以dt可得

M外dt=d L（13-12）

式（13-12）就是质点系的角动量定理。它表示一个质点系所受合外力矩的角冲量等于质点系角动量的增量。进一步，如果合外力矩为零，即

M外=0（13-13）

质点系的角动量为恒量，即

L=∑（ri×mivi）=恒量 （13-14）

式（13-13）和式（13-14）合在一起称为质点系角动量守恒定律。它表示当质点系所受合外力矩为零时，质点系的角动量矢量保持不变。

三、角动量及角动量定理在直角坐标系中的数学表示

以某一固定参考点为坐标原点O，以过O点互相垂直的三条直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系。在该直角坐标系下，质点的位置矢量可以表示为

r=xi+yj+zk（13-15）

质点的速度矢量可表示为

v=vxi+vyj+vzk（13-16）

质点相对于参考点的角动量可表示为

L=Lxi+Lyj+Lzk（13-17）

按照角动量的定义

将式（13-18）与式（13-17）对比可得

Lx=m（yvz-zvy）

Ly=m（zvx-xvz）

Lz=m（xvy-yvx）（13-19）

式（13-19）就是角动量在直角坐标系下的分量表达式。

四、角动量及角动量定理在自然坐标系中的数学表示

在力学中描述刚体绕定点转动时，通常是通过建立特殊的主轴坐标系，然后应用刚体定点转动的欧拉动力学方程来求解。欧拉方程是一组非线性常系数微分方程，一般情况下要求解出这个方程组相当困难，且它也只在特殊的条件下才存在解析解。但是在有些情况下，若引入自然坐标系，却有可能使刚体定点转动的问题简单化，物理过程更加清晰，物理意义更加明确。

这里的自然坐标是通过以下方式建立起来的。如图13-1所示，O为固定点，角动量与外力矩都是相对O点而言的。首先把角动量的方向作为“切向”坐标，那么角动量向量可以表述成L=Let形式，式中的et为“切向”的单位向量，则角动量定理可写成如下形式：

图13-1

式（13-21）中的Mt和Mn分别为合外力矩在“切向”与“法向”的分量大小，它亦为刚体定点转动的角动量定理在自然坐标系中的表达式。从式（13-21）可以清楚看到：“切向”力矩Mt既是改变角动量大小的原因，也能反映出角动量大小变化的快慢；而“法向”力矩Mn是引起角动量L方向变化的原因。又因为ω反映了角动量方向变化的快慢，由ω=可知，ω与“法向”力矩Mn成正比，与角动量的大小L成反比，也就是说外力矩改变角动量方向的难易程度与角动量本身的大小相关。因此，引入自然坐标系，按“切向”与“法向”分解后，可以使刚体角动量定理的物理意义变得更加清晰。另外，利用自然坐标系下的角动量定理，也往往会使一些复杂的问题简单化。如当刚体的转动状况较复杂时，可以利用式（13-19）通过外力矩来间接分析角动量变化规律；反之，当外力矩不易求解时，也可以利用式（13-20）由角动量的变化规律来确定外力矩。

五、角动量守恒定理在国防、工业、日常生活中的应用

1．花样溜冰中的角动量守恒

我们在看滑冰表演时经常发现，一个运动员站在冰上旋转，当运动员把手臂和腿伸展开时转得较慢，而当他把手臂和腿收回靠近身体时则转得较快，这就是角动量守恒定律的表现。冰的摩擦力矩很小可忽略不计，所以人对转轴的角动量守恒。当运动员的手臂和腿伸开时转动惯量大故角速度较小，而收回后转动惯量变小故角速度变大。

2．在直升机中的应用

一般直升机由机身、主螺旋桨和抗扭螺旋桨组成。那么，为什么直升机必须在机尾处安装抗扭螺旋桨呢？我们把直升机的主螺旋桨和机身视为一个物体系，并从物体系对转动轴线的角动量守恒来解释：发动机未开动时，直升机静止于地面，系统对主螺旋桨转轴的角动量为零。然后主螺旋桨开始转动，系统的角动量增加，这时外力矩由轮子与地面的摩擦力提供，满足角动量定理。主螺旋桨加速转动的力矩对系统来讲是内力矩，它与作用在机身的内力矩总和为零，因此合内力矩对系统的角动量没有影响。而作用于机身的内力矩又与地面的摩擦力矩相平衡，而使机身处于平衡状态。主螺旋桨的角速度不断增加，一旦机身离地，摩擦力矩将突然消失，忽略空气对主螺旋桨转动的阻力矩，此时外力矩则为零，故系统角动量应保持不变，若主螺旋桨的角速度继续增加，则机身会反方向转动，以抵消由于主螺旋桨继续加速而增加的角动量，使系统总角动量保持不变。机尾安装的小螺旋桨可产生一个附加力矩与机身所受内力矩平衡，从而消除机身的转动。

3．陀螺仪进动的应用

图13-2

常平架陀螺仪如图13-2所示，外环可绕垂直轴自由转动，内环可绕水平轴自由转动，回转仪安装在内环中，其转轴与内环转轴相垂直，三轴交于一点，并与陀螺仪的质心重合，回转仪的转轴在空间取任意方向。由于三转轴都通过质心，所以回转仪不受重力矩作用，因此回转仪高速旋转时，角动量保持不变，不论支架转到什么方位，回转仪的转轴始终保持不变。常平架陀螺仪具有转轴方向不变的特点，称为指示型陀螺，可以作为指示器。如指示地理子午线和铅垂线方向，测定飞机的姿态角、舰船的摇摆角，制造控制飞机和舰船的自动器等。动力型陀螺的陀螺组件常可用做稳定器，或用于稳定载体上的某种装置，还可用于惯性导航、惯性平台等。

六、应用举例

例 一个人站在竹筏一端用力向垂直于筏身方向跳出去，筏由于受到反冲作用就要旋转起来。假定人的质量为m=60kg，筏的长度L=10m，质量M=500kg，人相对于岸的起跳速度为3m／s。求竹筏所获得转动的角速度（假定竹筏的转动惯量可以近似地按细杆的公式计算，水的摩擦可以忽略不计）。

解：设J为竹筏对其中心轴的转动惯量，以竹筏中心为坐标原点，竹筏中心指向有人的一端方向为x轴正方向建立一维Ox坐标。由于人和筏组成的质点系没有外力矩作用，该体系角动量守恒，有

li×mv+Jω=0（13-22）

式中，l为人与筏中心之间的距离。人起跳时，在短时间的冲击作用下，尽管人和竹筏分别获得很大的速度增量和角速度增量，但由于相互作用时间很短，故相互作用结束后，人和竹筏的位置、角位置都没有明显的改变，于是竹筏对静止坐标系原点O的角动量就可以用竹筏绕质心C的角动量来表示。此时J=Jc=ML2，故式（13-22）可写为

解式（13-23）可得

假设人起跳前站在离竹筏中心距离为L／2的位置，则

ω=0．216rad／s（13-25）

式（13-24）是竹筏角速度的代数表达式，式（13-25）是人站在竹筏端点起跳竹筏获得的角速度大小。

七、课后习题

图13-3

13-1 如图13-3所示，火箭以第二宇宙速度v0=沿地球表面A处切向飞出。在飞行过程中火箭发送机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距离地心4R的B处的速度。

13-2 如图13-4所示，在光滑水平桌面上的A点，放有一质量为M的木块，木块与一轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在点O上，其劲度系数为k。质量为m的子弹以初速度v0垂直于OA方向射向M，并嵌在木块内。初始时弹簧原长为l0，撞击之后木块运动到点B时，弹簧长度为l。求在B点时木块的运动速度（包括速度的大小和速度的方向，即速度与OB的夹角）。

图13-4

13-3 如图13-5所示，从地球发射火箭到火星，发射后火箭绕太阳沿椭圆轨道运行。为了节省能量，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致，并且选择适当的时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，近日点为地球。假定地球和火星均绕太阳做圆周运动，圆轨道半径分别为r1和r2，忽略其他行星对火箭的作用力，问：

（1）火箭应以多大的速度离开地球？

（2）火箭到达火星要用多长时间？

图13-5