动量守恒的验证与简谐振动的研究

实验9　动量守恒的验证与简谐振动的研究

实验9.1　动量守恒的验证

碰撞问题不论在经典力学还是微观领域都起着重要的作用。本实验通过对两个物体对心碰撞的研究，来检验碰撞过程中的动量守恒定律，以及由碰撞而引起的能量改变。

【实验目的】

（1）学习气垫导轨和光电计时系统的调节和使用；

（2）学习在低摩擦情况下研究力学问题的方法；

（3）验证动量守恒定律；

（4）了解完全弹性碰撞，非完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点。

【实验仪器】

气垫导轨，滑块，光电门（2个），物理天平，电脑通用计数器，游标卡尺，尼龙粘胶带或橡皮泥。

【实验原理】

1.理论依据

按照动量守恒定律，若系统不受外力或所受合外力为零，则系统的总动量守恒。当两滑块在水平的导轨上沿着直线作对心碰撞时，若略去滑块运动过程中受到的粘滞性阻力和空气阻力，则两滑块在水平方向除受到碰撞时彼此相互作用的内力外，不受其他外力作用。故根据动量守恒定律，两滑块的总动量在碰撞前后保持不变。如图3-9-1所示。

图3-9-1　两滑块在水平的导轨上运动示意图

设滑块1和2的质量分别为m₁和m₂，碰撞前二滑块的速度分别为v₁₀和v₂₀，碰撞后的速度分别为v₁和v₂，则根据动量守恒定律有

若写为标量的形式，即

m₁v₁₀＋m₂v₂₀＝m₁v₁＋m₂v₂

式中各速度均为代数值，各v值的正负号决定于速度的方向与所选取的坐标轴方向是否一致，这一点要特别注意。

只要满足动量守恒定律成立的条件，不论弹性碰撞还是非弹性碰撞，总动量都将守恒。但对动能在碰撞过程中是否守恒，还将与碰撞的性质有关。牛顿曾提出“弹性恢复系数”的概念，其定义为碰撞后的相对速度与碰撞前的相对速度的比值。碰撞的性质通常用恢复系数e表达：

式中，v₂-v₁为两物体碰撞后相互分离的相对速度，v₁₀-v₂₀则为碰撞前彼此接近的相对速度。

（1）完全弹性碰撞：该类相互碰撞的物体为弹性材料，碰撞后物体的形变得以完全恢复。物体系的总动能不变，即

碰撞后动量守恒，即

m₁v₁₀＋m₂v₂₀＝m₁v₁＋m₂v₂

两式联立就可以知道碰撞后两物体的相对速度等于碰撞前两物体的相对速度，即v₂-v₁＝v₁₀-v₂₀，所以e＝1。

（2）非完全弹性碰撞：该类碰撞的碰撞物体具有一定的塑性，碰撞后尚有部分形变残留。物体系的总动能有所损耗，转变为其他形式的能量，即动能不守恒，动能的损失介于完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞两者之间；但碰撞后动量守恒，可以知道碰撞后两物体的相对速度小于碰撞前的相对速度，即0＜v₂

-v₁＜v₁₀

-v₂₀，于是有0＜e＜1。

（3）完全非弹性碰撞：它是非弹性碰撞的一种特殊情况。碰撞后，两物体粘在一起并以相同的速度继续运动，此时，物体系的总动能损失最大。即

碰撞后动量仍然守恒，即：

m₁v₁₀＋m₂v₂₀＝（m₁＋m₂）v

可以得到碰撞后两物体的相对速度为零，即v₂-v₁＝0或v₂＝v₁＝v，所以e＝0。

可以看出这三类碰撞过程中总动量均守恒，但总动能却有不同情况。

2.实验方法

（1）完全弹性碰撞：令m₁＝m₂＝m，且v₂₀＝0的特定情况下，两滑块在水平的导轨上沿着直线作对心碰撞。由于两滑块质量相等，且第二滑块处于静止，所以发生完全弹性碰撞的结果是第一滑块静止下来，而第二滑块完全具有第一滑块碰撞前的速度，“接力式”地向前运动。有v₁＝0，v₂＝v₁₀，说明在此碰撞过程中动量守恒，且e＝1，ΔE_k＝0，即动能也守恒。

以上讨论是理想化的模型。而实际上两滑块质量并不严格相等、两挡光物的遮光宽度d₁及d₂也不严格相等，碰撞后第一滑块并不立刻静止下来，此时只要满足碰撞前后的动量百分差≤5，动能百分差则说明在其实验误差范围之内，上述结论成立。

实际上，气轨滑块上的碰撞弹簧是钢制的，e值在0.95～0.98，它虽然接近1，但是其差异也是明显的，因此在气轨上也很难实现完全弹性碰撞。

我们着重研究下面两种情况：

（2）非完全弹性碰撞：取大、小二滑块（m₁＞m₂），将滑块2置于A、B光电门之间，使v₂₀＝0。推动滑块1以速度v₁₀去撞滑块2，碰撞后速度分别为v₁和v₂，则m₁v₁₀＝m₁v₁＋m₂v₂。重复上述实验，按下式（3-9-5）、（3-9-6）、（3-9-7）计算结果并分析。

非完全弹性碰撞时的恢复系数

（3）完全非弹性碰撞：为了实现此类碰撞，要在二滑块的碰撞弹簧上加上尼龙胶带或橡皮泥，将滑块2置于光电门AB之间，使v₂₀＝0。推动滑块1以速度v₁₀去撞滑块2，碰撞后二滑块粘在一起并以同一速度v运动。

碰撞前后的动量关系为：

m₁v₁₀＝（m₁＋m₂）v

在该碰撞中v₂₀＝0，令＝D，v₁＝v₂＝v，则v₁₀＝v₁＝v₂＝于是动量守恒式可以写成　　　　

碰撞前后的动量百分误差为

如果百分误差小于或等于5，则可证明动量守恒。

碰撞后动能损耗率为　　　　

为了检验动量守恒定律，只要比较等式两边是否相等即可，此方法可以消去公共量，不必真正把动量的数值计算出来。这样可大大地简化计算，对处理数据很有实际意义。

【实验内容与步骤】

（1）调节天平，测量出滑块的质量m₁和m₂用游标卡尺测出挡光片宽度d₁和d₂；

（2）用纱布沾少许酒精擦轨面及滑块内表面（供气时），并检查气孔；

（3）调平气轨，检查滑块碰撞弹簧，保证对心碰撞。

（4）观察完全弹性碰撞：

①取质量相等（m₁＝m₂）的两个滑块，在其上分别装上U形挡光片。将滑块2置于两个光电门之间的适当位置上，并令它静止（v₂₀＝0）。

②将另一滑块1放在两光电门的外侧，轻轻将它弹向滑块2，两滑块相碰后，滑块1静止，而滑块2以速度v₂向前运动。记下挡光片经过光电门时两次挡光的时间间隔Δt₁和Δt₂，重复测6次。

③观察Δt₁和Δt₂在误差范围内是否相等，从而验证滑块1和滑块2在碰撞前后的速度是否相等，即v₂＝v₁₀，计算碰撞前后的动量、动能百分误差，说明在实验误差范围内，结论是否成立。

（5）研究非完全弹性碰撞。

①取大、小二滑块（m₁＞m₂），将滑块2置于A、B光电门之间，使v₂₀＝0。推动滑块1以速度v₁₀去撞滑块2，碰撞后速度分别为v₁和v₂。

②适当安置光电门A、B的位置，使能顺序测出三个时间t_1A（滑块1通过A门时），t_2B（滑块2通过B门时），t_1B（滑块1通过B门时）。并在可能的条件下，使A、B的距离小些，把数据记录到表格中。

③分别计算出v_1A、v_1B、v_2B，代入公式求出碰撞后、前动量之比C，碰撞前后动能的变化ΔE_k和恢复系数e。并计算出A类标准不确定度，写出结果表达式。

（6）研究完全非弹性碰撞。

①在二滑块的相对碰撞面上加上尼龙胶带（碰撞弹簧要移开），进行碰撞，令m₂静止，仍然使v₂₀＝0，滑块m₁放在气轨发射端，轻轻推动m₁，使m₁碰向m₂。测滑块m₁在碰撞前通过光电门1的挡光时间t₁₀，碰撞后两滑块粘在一起通过光电门2的挡光时间t₁，重复6次，记录数据。

②计算出碰撞前后的动量百分误差以及碰撞后动能损耗率。

【注意事项】

a.碰撞前后应保持滑块运行平稳；b.保证对心碰撞；c.不能直接用手推滑块去碰撞；d.尽可能使光电门之间的距离小一些，每次碰撞时，速度v₁₀也不要太大；e.装换弹簧、挡光片或尼龙搭扣时，均需将滑块拿下气轨进行，以免损伤气轨。

预习思考题

（1）使用气垫导轨应注意些什么？

（2）在验证动量守恒实验中，为什么要求两光电门位置应尽量靠近，如果不是这样有什么影响？

（3）为什么要使每次碰撞的速度适当小一些？

思　考　题

（1）在验证动量守恒的实验中，误差的主要来源有哪些？

（2）在弹性碰撞情形下，当m₁≠m₂，v₂₀＝0时，两个滑块碰撞前、后的总动能是否相等呢？

（3）证明在完全非弹性碰撞中（v₂＝0），碰撞后的总动能与碰撞前总动能之比为R＝

实验9.2　简谐振动的研究

弹簧振子是简谐振动的典型例子，通过实验验证它在运动时所遵循的物理规律可加深对简谐振动的认识。

【实验目的】

（1）验证在弹性恢复力作用下物体作简谐振动时，其位移、速度、与时间的正弦函数关系；

（2）证明简谐振动的周期决定于振动系统本身而与初始条件无关，进一步了解简谐振动的规律。

图3-9-2　弹簧振子

【实验仪器】

气垫导轨，弹簧，电脑通用计数器，物理天平等。

【实验原理】

如图3-9-2所示，在水平气垫导轨上的滑块的两侧与弹簧的一端相连接，弹簧的另一端固定在导轨上，这个装置就构成弹簧振子。

设以滑块所受的拉力相等时的位置为原点，力和位移的正方向均水平向右。若滑块位于原点时，左边弹簧的伸长量为x₁，（倔强）劲度为K₁，右边弹簧的伸长量为x₂，（倔强）劲度为K₂，那么，由于左（右）边施于滑块的力的方向与正方向相反（相同），故有

-K₁x₁＋K₂x₂＝0

当滑块的位移为x时，两个弹簧作用于滑块的力为

根据牛顿第二定律，并设滑块不受任何阻力则有

式中m为滑块的质量，令K＝K₁＋K₂，上式变为

方程（3-9-8）的解为　　　　　　x＝Asin（ωt＋φ）

式中A为振幅，φ为初相，由初始条件决定。滑块的运动速度

设初始条件为t＝0时，x＝-A₀，v＝0，则由上面两式得

Asinφ＝A₀；　　Aωcosφ＝0

由此得A＝A₀，φ＝

从上面两式看出，滑块的位移和速度都是时间的正弦函数，但初位相不同，上面两式表明滑块做简谐振动，其周期为

【实验内容与步骤】

1.绘制x-t曲线，验证位移是时间的正弦函数

（1）按电脑通用计数器的“光控”使用方法，将电脑通用计数器和两个光电门的线路连接好。将气垫导轨调至水平。（2）在滑块上安装窄形挡光片，将光电门E1移至左边离平衡位置为20cm处（即

x-＝20cm）。（3）将光电门E2移至x

＝-14cm处，再将滑块移至左边20cm处（此时，挡光片右边刚好在光电孔左侧，不挡住光线）后松手（要保证初速度为零），并测出滑块经过光电门E₂的时间t。（所记时间t是滑块从E₁中心运动到E₂中心所用时间）

（4）改变光电门E₂位置，使E₂依次位于x＝-12、-10、-8……-2、0、2、……18cm处，重复上述步骤，并记下相应的时间。

（5）根据所测得数据，绘制x-t曲线。

2.绘制v-t曲线，验证速度是时间的正弦函数

（1）在滑块上安装有矩形透光窗的挡光片。

（2）将光电门E₂移至x＝-16cm处，再将滑块移至左边20cm处后松手，并测出滑块经过光电门E₂时的两次挡光时间间隔t。

（3）改变光电门E₂位置，使E₂依次位于x＝-14、-12、-10、8……-2、0、2、……16cm处，重复上述步骤，并记下相应的时间间隔。

（4）根据所测的两次挡光时间间隔算出滑块的速度（v＝其中d用游标卡尺测出）。注：保证滑块每次都从x＝-20cm处以初速度为零开始运动。

（5）根据所测得数据，在已画有x-t曲线的坐标纸上绘出v-t曲线。

3.验证振动周期公式

（1）绘制T²-m曲线，并求出劲度（系数）K。

①使用电脑计时器的测量简谐运动的周期键。（按转换键设定周期数为10）②在滑块上安装窄形挡光片（不透光的），然后称出其质量。

③将光电门E₁置于平衡位置（E₂不要），把滑块放在距平衡位置x＝-30cm处松手（每次位置不变）。

④依次在滑块上加砝码，每次加50g直加到250g为止。

⑤绘制T²-m曲线，并求出劲度（系数）K。

（2）观察初始状态对振动周期有没有影响。

保证滑块质量不变，随意改变滑块初位置，测出其周期，并从观测结果作出判断。

预习思考题

（1）决定弹簧振子振动周期的因素有哪些？测量周期时，滑块的挡光距离的大小（即挡光片的宽度）对测量结果有什么影响？

（2）实验时，若导轨未调至水平，这对测量t，v及T有无影响？为什么？

（3）本实验怎样测量滑块的振动周期？这样做能否提高测量准确度？为什么？

思　考　题

（1）如果根据实验数据作出T²-m图线是一直线，能否说明这已经完全验证了（3-9-11）式？为什么？

（2）滑块振动时受到空气阻力的影响，故实际上在作减幅振动，实验中为什么可以把它视作简谐振动来研究？

（3）若将气轨由水平位置改为倾斜位置放置时，滑块的振动有何变化？试从理论上加以解释。