简谐振动的旋转矢量表示法

简谐振动除了用三角函数表示外，还可以用旋转矢量来表示。旋转矢量法是描述简谐振动的一种辅助方法，对解决某些简谐振动的问题具有直观、简便的特点。旋转矢量法就是用匀速旋转的矢量的端点在水平坐标轴上的投影的运动来描述简谐振动。

如图12－2－3所示，自O点作一矢量A（其大小为振幅A），令A在图示平面内绕O点逆时针方向作匀速率转动（其角速度等于角频率ω），当t＝0时，A与x轴的夹角为初相φ。矢量A称为旋转矢量，A绕O点旋转一周时，其端点的轨迹称为辅助圆，这种描述简谐振动的方法称旋转矢量法。

从图12－2－3中可以得出以下两点结论。

（1）P点（A的端点M在x轴上的投影点）的运动为简谐振动。

t时刻矢量A与x轴的夹角为简谐振动的相位ωt＋φ，P点的坐标为

此式与式（12－1－3）一致，M点的速率v＝ωA，它在x轴的投影为

M点的加速度为法向加速度（匀速圆周运动无切向加速度），其大小an＝ω2 A，它在x轴的投影为

P点的速度、加速度分别与式（12－2－1）、式（12－2－2）一致，可见P点的运动就是简谐振动。

（2）旋转矢量A旋转一周所需的时间为简谐振动的周期。

从图12－2－3可以看出，旋转矢量A每旋转一周，它的终端在x轴上的投影点（P点）就作一次全振动。矢量A旋转一周需要的时间是，这与简谐振动周期T＝一致。

但要注意，旋转矢量本身并不作简谐振动，它的矢端在x轴上的投影点在x轴上作简谐振动。旋转矢量与简谐振动x－t曲线的对应关系（设φ＝0）如图12－2－4所示。

图12－2－3 旋转矢量法

图12－2－4 旋转矢量与简谐振动曲线

【例12－2】 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0．12m，周期为2s。t＝0时，位移为0．06m，且向x轴正向运动。

（1）求物体的振动方程；

（2）设t1时刻物体第一次运动到x＝－0．06m处，试求物体从t1时刻运动到平衡位置所用的最短时间。

解 分别用数学公式计算和旋转矢量法求解两种方法来分析，并加以比较。

（1）设物体的振动方程为

方法一：用数学公式。

因为

所以

即

又因为向x轴正向运动，有

所以

故物体的振动方程为

方法二：用旋转矢量法。

根据题意，作辅助圆，选逆时针方向为正。在1／2最大位移处，且沿x轴正向运动，如图12－2－5（a）所示。由图可知

故物体的振动方程为

图12－2－5 例12－2图

（2）求Δt。

方法一：用数学公式。

由题意有

第一次到达x＝－0．06m处时，其运动方向向下，故

所以

即

设t2时刻物体从t1时刻运动后首次到达平衡位置，有

从x＝－0．06m处到平衡位置时，其运动方向向上，故

所以

即

方法二：用旋转矢量法。

根据题意，作辅助圆，选逆时针方向为正，从第一次运动到负的1／2最大位移处，到第一次回到平衡位置，如图12－2－5（b）所示。M1点为t1时刻A末端位置，M2点为t2时刻A末端位置。在t1－t2时间内，矢量A转过的角度为

从上述例题可见，用旋转矢量法分析简谐振动既直观又简便。

解 根据题意，作辅助圆，选逆时针方向为正方向，如图12－2－6所示。

（1）求两个简谐振动的相位差。

质点2位于负的最大位移处（－A），由图12－2－6可得

所以两个简谐振动的相位差为

图12－2－6 例12－3图

（2）求两个质点第一次经过平衡位置的时刻。

所以其第一次经过平衡位置的时刻为

所以其第一次经过平衡位置的时刻为