低频振荡分析方法的研究现状

电力系统低频振荡分析的目的就是提取出系统中存在的弱阻尼振荡模态，合理有效地提取振荡模态是实现低频振荡抑制的关键。因此，更精确、更全面地提取电力系统低频振荡模态是该领域科研工作者一直追求的目标。低频振荡分析方法主要有电气转矩法、频域法、特征值分析法、时域仿真法、正规形方法以及信号分析法。这些方法为低频振荡研究的开展提供了保障。

1.3.1.1 电气转矩法

电气转矩法是最早用于分析电力系统小干扰稳定性的实用方法。文献[27]首先采用电气转矩法详细分析了单机无穷大系统小干扰稳定性问题，后来又推广到简单多机系统[28]。文献[29]成功将此方法应用于包含电力系统稳定器PSS以及基于FACTS的控制器的复杂电力系统。电气转矩法中一般采用同步发电机的He-fron-Phillips模型，而Pourbeik与Gibbard1[30]结合特征值分析方法，给出了采用基于状态方程的传递函数模型的分析方法，理论上更加完善。电气转矩法的关键是计算各种控制器在任一个同步发电机机电振荡回路中引起的阻尼转矩，从而定量刻画出控制器对系统振荡模态阻尼的影响，具有明确的物理意义，加深了对控制器作用的理解。电气转矩法的特点是计算复杂，而且不适于计算大型电力系统的振荡模态。

1.3.1.2 频域法

电力系统低频振荡属于小干扰动态稳定性范畴，能够在平衡点处近似线性化进行分析，将非线性问题转化为线性时不变动态问题进行研究。频域分析法非常适合分析线性时不变动态系统，具有强有力的分析工具。在电力系统低频振荡分析中，频率法主要用来设计抑制低频振荡控制器以及优化控制器参数，通过设计优化后，控制器能够提供合适的相位和幅值补偿，为系统提供充分的阻尼。对于PSS的设计，可以通过计算励磁系统输入与同步发电机电气转矩之间的频率响应，来确定PSS应补偿的相位[31-32]。文献[33]根据频域分析法设计自动调整控制器参数进行相位补偿，能够达到最佳的控制效果。

频域法设计步骤规范，计算简单，控制器只采用本地信号，而且结构简单，易于工程实现。频域法最大的优点是控制器有很强的鲁棒性，能适应电力系统运行条件的较大变化，非常适合大型电力系统实际运行状况。另外，通过计算指定传递函数的频率响应，还能够辅助确定控制器的最佳安装地点。

当然，可以用频域法来判断系统稳定性，如Nyquist判据等，也可以估计关键振荡模态。然而，对于大型电力系统，频率响应的计算量非常大，速度上难以接受，而且提供的振荡模态信息也非常有限。

1.3.1.3 特征分析法

前面介绍的两种方法都不能有效地计算模式的定量信息，而特征值分析方法则是解决这一问题最有效的手段。特征值分析方法是建立在现代控制理论基础上，将电力系统非线性在平衡点处近似线性化，通过标准线性状态方程描述分析低频振荡，振荡模态完全由状态方程中特征矩阵的特征值和特征向量来确定，其中特征值能体现振荡模态的阻尼和振荡频率，特征向量则反映了振荡模态在整个电力系统中的行为[34]。

特征分析法可以确定抑制低频振荡控制器的安装位置，只需在给定电网网架结构下计算控制器可能安装地点的定量指标，通过指标大小反映安装控制器对抑制低频振荡的效果。文献[35]将特征向量对应于发电机转速的分量作为指标进行研究PSS的安装位置，取得了一定的成果；文献[36]引入相对增益矩阵法应用于PSS安装位置的选择，该方法采用振荡模态的参与因子作为安装位置的指标，该指标包含了振荡模态的可观测性和可控性。目前也有传递函数留数作指标，它精确反映了控制器对模式的影响[37]。同时，对FACTS装置的辅助阻尼控制器也采用这种指标[38-39]。

特征值分析法也可用于控制器参数优化设计。由于特征值分析法可以方便地计算特征值对控制器参数的灵敏度，控制器参数的微小变化与特征值变化量之间的关系可近似用线性函数表达。通过给定合适的优化目标，控制器参数设计问题就转化成优化问题[40-41]。这种设计方法可以方便地考虑系统多种运行条件、模型不确定性、多个振荡模态等复杂情况，存在的问题是可能会得到局部最优解。

特征分析法在实际工程中得到了应用，但关键技术在于可靠高效地计算特征矩阵的特征值，特征值比较经典的算法是QR算法[3]，但是该算法只适应于小规模电力系统，随着电力系统互联规模的不断扩大，新设备的大量投运(如FACTS装置)且控制器也越来越复杂，使得状态矩阵的维数过大，存在维数灾问题，失去了适用范围。

超大规模系统特征值求解已取得了一定的成果，得到了很大的进展，主要求解方法有:Newton和Rayleigh商迭代法[42]、SMA法[43]、AESOPS法[44-45]、同时迭代法[46-48]、Arnoldi算法[49]、Jacobi-Davidson方法[50]以及主极点迭代法[51-52]等。这些方法对特征值分析法分析低频振荡起到了很大的作用，然而，特征分析法是建立在准确的系统模型基础上，模型参数的精度对分析结果有很大影响，同时，电力系统是强非线形的复杂系统，在大扰动情况下，线性模式分析法存在较大的误差，另外，WAMS在电力系统中广泛应用已成为趋势，而特征值分析方法计算速度慢，不能满足在线分析的需要。总之，以上这些都限制了特征分析法在现代大型互联电力系统中分析低频振荡的实用性，特别是构建智能电网。

1.3.1.4 时域仿真法

时域仿真法能模拟系统受扰动后，各个系统参量随时间变化的具体过渡过程，从而反映系统的稳定程度。对于电力系统小干扰稳定性分析，仿真模型可以用非线性微分方程描述，也可用其线性化模型，从仿真曲线可推算模态的频率与阻尼[53-56]。然而，时域仿真法用于大型电力系统小干扰稳定性分析会遇到许多困难，甚至得出错误的结论。首先，不同系统变量的仿真曲线和扰动的形式、地点有关，而小干扰稳定性研究的是系统固有的性质，与扰动无关。一次扰动并不能保证激发全部的振荡模态，因此不得不改变扰动，多次仿真，而这也只能根据经验，不能从理论上保证其可靠性。其次，对于低频机电振荡现象，仿真时间必须足够长，同时大量系统参量要仿真，因此计算量很大。另外，任一条仿真曲线都包含了系统众多模式的动态，难以了解振荡模态在全系统中的行为。最后，由于时域仿真法给出的振荡模态的定量信息非常有限，难以有效的设计控制器。

时域仿真法的优点是能充分考虑电力系统的非线性因素，对建模几乎没有限制，仿真曲线对电力工程师来说更熟悉，而且有成熟的软件可以使用。因此，时域仿真法最适合于检验其他分析方法的结果。

1.3.1.5 正规形方法

正规形理论是由法国数学家Poincare于20世纪20年代提出的，是简化常微分方程和微分同胚的重要工具，目前已在非线性动力系统、分叉理论等领域的研究中得到广泛应用[57]。正规形分析可以将非线性向量场映射为一最简形式，极大地简化了实际问题的复杂性，由于这一特点，使其在电力系统稳定分析、低频振荡研究中被关注[58-64]。

正规形理论首次被V.Vittal等人于1996年引入电力系统的低频振荡分析中，通过正规形理论分析了模态间的非线性相关作用对低频振荡控制器设计以及控制性能的影响，指出了基于线性化设计的抑制低频振荡控制器并未考虑非线性相关性，这样会弱化控制器性能，达不到最佳抑制性能[65]。文献[66]通过正规形理论分析了在大扰动情况下互联振荡模态，指出了自然振荡模态的非线性相关能够引起区域间的振荡模态。文献[67]采用二阶分析了大型互联电力系统暂态响应中高阶项对振荡模态行为的影响，分析结果指出，与线性化分析方法相比，系统中存在更多频率的振荡模态，对系统响应产生较大的影响。而这些频率下的振荡模态就是源于线性模式的二阶相关作用，所以传统的线性化分析是不可能得到，文献[68-72]也采用非线性相关作用指标，研究了对低频振荡控制器性能的影响，其中文献[71，72]分析了FACTS装置间的交互式影响，包括SVC以及统一潮流控制器(Unified Power Flow Controller，UPFC)。

正规形理论在电力系统中的应用也引起了我国电力科研工作者的关注，李颖晖、邓集祥等人首次系统地研究了正规形方法在电力系统稳定分析和低频振荡中的应用，取得了一定的研究成果[58，73-84]，其中，邓集祥分析了大扰动下系统的动态特性，指出了通过系统参数对非线性相关作用的灵敏度来辨识大扰动下的振荡模态的关键参数，以及控制模式与低频振荡模态间的非线性相关性，并指出了励磁调节器参数的改变会影响模式间的非线性相关性和系统的动态特性[78-79，81]，而李颖晖利用正规形法估计了电力系统的暂态稳定域[82，84]。

用正规形方法研究电力系统低频振荡，得到的二阶解析解把大扰动下系统动态性能的研究和模式间的非线性相关作用联系在一起，便于分析和理解系统振荡的本质，可以识别出系统的主导振荡模式以及各振荡模式之间的强非线性相关作用，明确了这种非线性相关作用对系统动态特性的影响[85-87]，可为PSS的配置提供依据，特别是重载系统中[88-89]。所以说，正规形方法的研究对电力系统低频振荡的分析和控制具有重要意义。

1.3.1.6 信号分析法

随着电力系统规模不断扩大、复杂度不断增加，基于电力系统数学模型的低频振荡分析方法受困于“维数灾”问题，同时系统的运行方式以及结构参数可能在随时发生着变化，导致全面精确地描述电力系统的数学模型变得非常困难，基于模型的分析方法会因电力系统模型参数不确定性的影响而显著下降。因此，对于现代互联电力系统，急需寻求一种不依赖数学模型的低频振荡分析方法，即基于信号的低频振荡分析方法逐步发展起来。

所谓信号分析法是基于仿真数据或实测数据而脱离电力系统数学模型的一种分析方法，隶属于信号处理方法，能够提取出低频振荡分析所需的模态信息，为此，低频振荡模态的辨识精度直接依赖于所选取的信号处理方法。用于低频振荡模态辨识的信号处理方法有:傅里叶变换法、卡尔曼滤波法[90]、小波分析法[91]、Prony法[92]以及HHT法[93]等。

傅里叶变换对所处理的信号要求较高，当信号不满足绝对可积的条件时，傅里叶变换将无能为力，同时，傅里叶变换的时频窗口是固定的，这样不利于对信号不同频率成分进行分析，无法反映低频振荡模态的阻尼特性。卡尔曼滤波法存在反映不出低频振荡阻尼衰减特性的缺点，极大地限制在低频振荡分析领域的发展。小波变换虽能够描述信号的时频特征，反映低频振荡的时变特性，但存在小波基选择困难和辨识精度不够等确定。

Prony算法作为一种信号处理方法，用指数函数的线性组合来拟合等间隔采样数据，并能拟合出该数据的振荡幅值、频率、衰减因子和相位[94]。P.Korba等人首次将该方法应用到电力系统低频振荡模态辨识中，能够从仿真数据或实测数据中辨识出电力系统状态量的幅值、频率、阻尼比以及相位等信息，构成低频振荡模态，仿真分析结果证实了Prony方法的实用性和有效性，辨识结果具有很高的准确性[92，95]。通过与特征分析方法相比较，进一步证实了Prony方法在低频振荡模态辨识方面的可靠性和有效性，同时， Prony方法辨识的结果可用于分析系统动态特性并进行控制器的设计[95]。

Prony算法的精度受信号噪声影响很大，同时，参数的选择也对拟合结果有较大的影响，如模型阶数、采样时间间隔和数据长度等，拟合精度并不理想[96-97]，为此，研究者们在这些方面开展了大量研究工作。针对传统Prony算法存在的弊端，本书作者提出采用总体最小二乘方法对Prony算法进行了改进，同时对采样频率、时间窗长度以及模型阶数进行了相应的改进，提出了一种改进的Prony算法，仿真结果验证了该方法的有效性和实用性[21]。Trud-nowski D.J等人提出了采用多信号的扩展Prony算法，大大提高了模式估计的准确度和低频振荡模态的辨识精度[98]。鞠平等人提出了基于广域测量信息的Prony算法进行低频振荡模态辨识，并对Prony算法的模型阶数和输入信号进行了改进，模型阶数采用自回归模型的行列式比来估计系统的实际阶数，输入信号要进行插值和低频滤波以及去除直流分量等预处理，获得了较好的辨识效果[99]，J.W.Pierre等人也就如何提高Prony辨识精度展开了研究[100]。

通过Prony方法能够获得降阶模型下的开环传递函数和振荡模态的留数，这些成果为阻尼控制器的设计提供依据，为阻尼控制信号的选取提供方便[101-104]。其中，文献[101]采取Prony方法辨识出系统的降阶传递函数后，通过传递函数根轨迹设计了PSS阻尼控制器，文献[104]利用Prony方法在辨识传递函数时充分考虑了机组与控制器间的交互影响，探讨了协调控制在各阻尼控制器间，并获得了满意的结果。Prony方法也可与其他方法结合分析低频振荡，如将模糊滤波和Prony方法相结合进行电力系统低频振荡模态的在线辨识，且保证了在线辨识的有效性[105]，以Prony方法为基础，用单纯性法对PSS参数进行优化设计，保证了PSS的可靠性和鲁棒性[106]等。

Prony方法现已在电力系统低频振荡模态分析和阻尼控制器设计方面取得了大量的研究成果，具有较好的应用前景，研究意义重大。

HHT方法是由Norden E.Huang在1998年提出的一种自适应的时-频分析方法[107]。它可以根据信号本身的局部时变特性进行自适应分解，不仅可以得到很高的时频分辨率，还具有很好的时频聚集性，非常适用于非平稳、非线性信号的分析。Hilbert-Huang变换首先对原始信号进行经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)，得到若干个本征模式分量(Intrinsic Mode Function，IMF)；然后对IMF进行Hilbert变换，得到每一个本征模式分量随时间变化的瞬时频率和瞬时幅值[108]。该方法受到国内外广大电力科研工作者的关注，将HHT方法成功地应用于电力系统低频振荡模态辨识中，验证了HHT方法在辨识低频振荡模态具有较高的辨识精度[109-111]。然而，HHT方法缺乏坚实的理论基础，其中EMD分解过程存在着诸多不确定因素，如端点延托误差、模态混叠以及插值失真等问题，严重影响了该方法在低频振荡模态辨识中的可靠性[112]。

因此，EMD算法存在的这些问题需要学者们进一步研究和完善。第一，关于EMD算法的正交性问题，EMD分解得到的各成分不满足全局正交性而只满足局部正交性；第二，Hilbert-Huang变换采用的是三次样条插值去拟合包络线，易造成过冲、欠冲，只具有二阶光滑性[113]；第三，Hilbert-Huang变换的分解过程使得边界处理结果会一直传播下去，从而影响分析结果[114-116]；第四，模态混叠问题。以上问题很大程度上影响了Hilbert-Huang变换的应用，学者们进行了相关研究，尤其针对模态混叠问题，文献[117]提出了一种基于参数选择的总体平均经验模态分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)方法，取得了一定的成果。

为了提高HHT方法的辨识精度和算法实用性，文献[118]提出了一种改进的HHT算法，该算法通过给处理信号叠加整周期的余弦信号，使预处理信号的两端为极值点，解决了EMD分解过程中的“端点效应”问题。文献[119，120]研究了镜像延拓、神经网络延拓、Lyapunov延拓等端点效应处理方法，减小了端点效应的影响；文献[121]提出了一种在处理信号叠加高斯白噪声信号的集合经验模态分解方法，提高了HHT方法辨识的有效性和精确性。文献[122]提出了一种基于信号统计方差的IMF分量筛分控制条件，尽可能地保留了非平稳信号的阻尼特性；文献[123]提出利用频率偏差法抑制EMD分解过程中存在的模态混叠现象，有效地扩大了HHT在低频振荡信号分析中的应用范围；文献[124]提出了掩蔽信号法处理信号分解过程中的模式混叠问题，有效提高了HHT算法的频率分辨率。另外，HHT在电力系统其他领域也展开了广泛的研究[125]，如谐波检测[126]、配电网故障选线[127]等。

HHT方法辨识的自适应性和无需假定信号平稳已为在低频振荡模态分析奠定了优势地位，HHT方法能从非平稳的振荡信号中精确地提取动态振荡特性以及丰富的系统故障暂态信息，可描述各振荡模态之间的非线性作用，有效地反映低频振荡中的非线性特性，因此，HHT在电力系统低频振荡分析的应用仍有大量的工作需进一步研究。