小波分析应用于振动信号的研究现状

第三章　对偶树复小波的引出

确保电力、冶金、交通、石化等工矿企业中的机电设备高效、可靠、安全运行是至关重要的，而状态监测与故障诊断技术为此提供了重要的保证。目前，相关的技术有很多种，其中小波分析技术更以其在降噪、特征提取、多分辨率分析等方面的突出成就而在故障诊断领域充分地表现出了它的优越性，但离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）缺乏平移不变性、平稳小波变换带来大量冗余、连续小波变换计算量太大、常规复小波变换不能精确重构以及其他小波方法都存在着某些不足。相比之下，对偶树复小波变换（Dual-Tree Complex Wavelet Transform，DT−CWT）可以克服这些缺点。

本章以DT−CWT框架为基础，从理论和应用两个层面对其进行系统的研究。然后提出了互为Hilbert变换对的小波代数构造方法，为DT−CWT中用到的小波提供了更多的选择。在此基础上，针对机械设备振动信号中往往含有大量噪声这一事实，提出了一些降噪方法。通过理论分析和应用实例证明了DT−CWT及其相关技术在机械设备故障诊断中的应用的可行性和有效性。

第一节　设备故障诊断技术的研究现状

设备故障诊断技术是一门将机械设备从设计、制造、使用、维修等寿命周期中的各个方面加以统一研究，并融合多种相关学科理论、方法与手段的综合性应用学科。随着工业设备自动化程度的提高和向大型化发展的趋势，设备状态监测和故障诊断技术已成为保证企业安全生产、设备正常运行、提高产品质量和增加经济效益的有效手段。

一、设备故障诊断技术的国内外发展状况

广义地说，只要有设备，就有对设备的故障诊断。尤其是工业大生产的诞生，更凸显故障诊断的必要性和重要性。早期人们依据对设备的触摸，对声音、振动等状态特征的感受，凭借工匠的经验，判断某些故障的存在，并提出修复的措施。

故障诊断作为一门学科，是在20世纪60年代以后才发展起来的。最早开展故障诊断技术研究的是美国，日本、英国、瑞典、挪威、丹麦等国紧随其后。我国在20世纪80年代才开始着手组建故障诊断的研究机构，其发展也经历了从简易诊断到精密诊断、从一般诊断到智能诊断、从单机诊断到网络诊断的过程，发展速度越来越快。与发达国家相比，我国虽然在理论上跟踪较紧，但总体而言，在机械设备诊断的可靠性等方面仍有一定差距。

1. 我国设备故障诊断发展历程

设备故障诊断在我国的发展过程，大致可归纳为如下几个阶段[10～12]。

（1）FFT分析仪阶段

20世纪80年代初期和中期，设备故障诊断技术的开展基本上是通过磁带记录仪记录振动信号，然后在实验室进行信号回放，输入专用的FFT分析仪进行频谱分析，属于离线监测方式。采用的分析方法也较单一，主要有功率谱、幅值谱分析等。

（2）计算机辅助监测分析阶段

20世纪80年代末期至90年代末期，故障诊断的现场实施更多地依赖于计算机。从设备状态信息采集、信号分析、数据库管理，甚至包括诊断结论的获得均由计算机来完成，采用方式既有离线监测，也有在线监测。在分析方法上，出现了多种多样的信号分析处理方法，如全息谱分析技术、小波分析技术[13]、神经网络诊断技术、各种时频分析技术等，且更加注重振动幅值、频率、相位信息的全面综合利用。这时还涌现出大量的故障诊断专家系统或自动诊断系统，并逐步向诊断智能化和快捷化方向发展。

（3）网络化监测诊断阶段

20世纪90年代末以来，故障诊断系统的一个重要发展方向就是网络化。在网络系统构成上，充分利用企业现有的Internet资源与企业的内部网，做到资源共享、节省投资并方便实现远程诊断，所监测的参数不再只局限于振动、轴位移等，而是进一步扩展到了影响机械运行状态的主要工艺过程量，如流量、温度、压力以及一些主要开关量，对于机械设备运行状态的把握更及时、更全面、更准确。这时很多非线性信号处理方法，如分形理论、混沌理论等被引入到机械设备的故障诊断工作中[14]，而且在设备管理工作上，诊断技术正在逐步向设备诊断工程方向迈进[15～17]。

2. 设备故障诊断发展趋势

总的来说，随着计算机技术、信号检测与处理技术以及预测技术的飞速发展，机械振动诊断技术在振动监测系统的开发、振动信号的分析和识别、人工智能的应用等方面都有了很大的发展，功能也更完善。这种功能上的提高具体体现在以下三个方面。

（1）状态监测功能

在离线监测方式上，开发了许多相应的仪器设备，检测硬件正在向小型化方向迈进，基于便携机、笔记本的离线监测与诊断日益增多。此外，基于便携式数据采集器的监测系统有了很大的发展。在线监测方面，以个人计算机为基础开发的在线监测系统，由于性价比高、柔性好、开发周期短等特点，近年来在国内外日益受到重视。在监测方法上，正从单一参数阈值比较开始向全息化、智能化监测方法过渡，监测手段也从依靠人的感官和简单仪器向精密电子仪器以及以计算机为核心的监测系统发展。

（2）故障诊断方法

从传统的分析方法，如相关分析、时域波形、轴心轨迹、AR谱分析、FFT谱分析，到一些较新的分析方法，如主分量分析[18～21]、时频分析、全息谱理论[22]、轴心轨迹的计算机模拟、时间序列分析[23]、支持向量机[24,25]、奇异谱降噪[26]、局部投影算法[27]等，均被应用于故障诊断领域，并取得了很好的应用效果。另外一些信息领域刚推出的新方法很快就被应用到故障诊断领域，如分形理论、混沌理论、小波分析等。以上这些方法的应用，再加上各企业积累起来的丰富诊断经验和故障实例，目前在设备常见故障的定性识别上人们已有相当的把握。但是，随着经济的快速发展，企业对设备故障诊断技术提出了更高的要求，除故障的定性诊断外，还提出了其他要求，一是诊断的快捷化和智能化，二是诊断的定量化。在诊断的智能化方面，最近几年，人工智能领域的一些最新研究成果在故障诊断领域得到了较好的应用，大大提高了诊断的智能化水平和获取诊断结论的速度。诊断的定量化对于设备的安全运行并最大限度地挖掘设备潜力意义重大，但由于对机械设备的运行状态缺乏科学的定量评估手段，因此这方面所做的工作还很不够，尚不能满足生产实际的需要。

（3）状态预报

从现场应用角度看，监测诊断技术必须具备正确反映设备当前运行状态、准确识别设备潜在的隐患及其程度、预报一个阶段内设备运行状态的发展趋势这三项功能，才能满足现场工作的要求。与故障诊断方法相比，从某种意义上说，状态预报是现场生产更为迫切需求的一项功能。现场人员最关心的是故障的严重程度如何、今后的发展趋势怎样、还能否继续运行下去、还能运行多久等问题，用以指导生产。在这项功能上，目前投入使用的监测诊断系统均显欠缺，即使少数系统配备了状态预报功能，也大多是提供历史数据趋势图，希望通过趋势分析掌握机械设备以后运行的状态。实际上，机械设备并不经常遵照平滑外推的状态去运行，单靠趋势图是难以预报机械设备状态的。因此，状态预报是目前监测诊断技术中较为薄弱的环节。

总之，经过近40年的发展，作为新兴的综合性的边缘学科，设备故障诊断技术在理论上已初步形成了比较完整的学科体系。

二、设备故障诊断技术的基本体系与主要研究内容

1. 基本体系

设备故障诊断技术的基本体系是由故障诊断基本理论、故障诊断实施技术、故障诊断实施装置三大部分构成[28]：

故障诊断基本理论包括故障规律、故障状态、故障机理、故障模型、故障分析理论、信号处理理论以及诊断标准限值与图谱等，这些基础理论是为故障诊断实施技术提供科学的理论依据。

故障诊断实施技术包括声振诊断、无损诊断、温度诊断、污染诊断、预测技术以及综合诊断与专家系统等技术的研究，这些故障诊断实施技术是构成该学科体系的主体，也是该学科建立与发展最重要的基础。

故障诊断实施装置包括信号采集、特征提取、状态识别、趋势分析、诊断决策形成、计算机辅助检测与诊断系统以及故障诊断专家系统等专用装置和系统的研制，这类专用装置和系统是为故障诊断实施技术提供必要的实施手段。

2. 主要内容

总体上，设备故障诊断研究的主要内容可概括如下[29]。

（1）故障机理研究

这是检测与故障诊断的客观依据。设备的异常或故障是在设备运行中通过其状态信号（即二次效应）变化反映出来的。二次效应就是设备在运行中出现的各种物理的、化学的现象，如振动、噪声、温升、油耗、变形、功耗、磨损、气味等，这些都是一种设备运行所固有的。检测与诊断是在设备不停机的情况下进行的。

（2）状态监测

主要是测取与设备运行有关的状态信号。状态信号是故障信息的唯一载体，也是诊断的唯一依据。这一阶段主要是检测系统获取状态信号反映的主要功能指标的变化。当出现异常时，可按其程度分别给出早期警报、紧急警报、强迫系统停机等处置。

（3）特征提取

就是从状态信号中提取与设备故障有关的特征信息。通过对特征信号分析提取便于决策的征兆，根据征兆、标准模式和某种判别准则，识别系统状态。设备总是运行在噪声、电磁干扰等环境中，因此决定状态向量的因素并不只故障向量一个，故障信息将混杂在大量干扰信号中。为了消除或抑制外界和内部干扰，必须采取信号处理技术，突出有用信号。

（4）诊断故障

就是根据所提取的特征判别状态有无异常，并根据此信息和其他补充测试的辅助信息寻找故障源。对于不同的要求，故障源可以是零件、部件或子系统。根据这些信息和故障对系统的性能指标影响程度作出估计，综合给出故障等级。

（5）规划决策

根据设备故障特征状态，预测故障发展趋势，并根据故障性质和趋势，作出决策，干预其工作过程（包括控制、调整、维修等）。

三、齿轮和滚动轴承的故障诊断研究概况

目前，基于振动信号分析的机械监测诊断技术，仍然是齿轮和轴承诊断的主要手段之一。本文对齿轮和滚动轴承的诊断就是应用这种技术。

与齿轮和滚动轴承有关的振动有以下两个主要特征[30]：

（1）周期性脉冲波形。当齿轮存在局部故障或轴承元件存在缺陷，在机器运转过程中将对系统产生周期性冲击。因此齿轮和轴承振动信号中通常存在具有一定周期的重复冲击衰减波形，根据周期性冲击所对应的特征频率可以判断相应的元件是否发生故障以及发生何种故障。本文所提的各种降噪方法应用在故障诊断中时最终均是为了达到提取周期性冲击波形的目的。

（2）幅值调制和频率调制特征[31～34]。由于滚动轴承的特有结构，轴承元件缺陷产生的冲击振动会受到转动频率和保持架运转频率的调制，因此振动信号中常含有幅值调制特征。对于齿轮振动，由齿轮偏心、崩齿、裂纹等缺陷引起的振动会产生幅值调制和频率调制特征。

1. 齿轮故障

研究表明，齿轮箱60%的故障由齿轮引发，而90%的齿轮故障都是局部故障，例如裂纹、崩齿等[35]。齿轮是机械设备中常用的部件，而齿轮传动也是机械传动中最常见的方式之一。在许多情况下，齿轮故障又是导致设备失效的主要原因。因此对齿轮进行故障诊断具有非常重要的意义。

实际工程中没有孤立的齿轮副，所有的齿轮副都需要安装到齿轮箱中或安装到特定的支架上，还需要配以轴承或轴瓦。因此，对齿轮的故障诊断事实上是对齿轮箱的故障诊断。

齿轮在运转时，由于其本身制造不良、操作维护不善等，均可能导致齿轮产生故障，并且齿轮故障的类型还随齿轮材料、热处理工艺、运转状态等因素的不同而变化。从总体上讲，齿轮故障可划分为两大类：一类是由制造和装配等原因造成的，如齿轮误差、齿轮与内孔不同心、各部分轴线不对中、不平衡等；另一类则是齿轮由于长期运行而形成的，通常轮齿的表面承受的载荷很大，两啮合轮齿之间既有相对滚动，又有相对滑动，而且相对滑动的摩擦力在齿轮节点两侧的方向相反，从而出现了力的脉动，于是，在长期运行中将导致齿轮表面发生点蚀、疲劳剥落、磨损、塑性流动、胶合以及齿根裂纹、断齿及其他损伤等故障。

齿轮故障若按照振动特征和故障诊断技术应用的角度来分类，齿轮传动常见的故障大体上可以分为分布式故障和局部故障两种类型，前者分布在一个齿轮的各个轮齿上，而后者则集中于某一个或几个齿上。

齿轮故障类型及其损伤原因示意图如图3.1[35]。

在各种齿轮故障诊断方法中，以振动检测为基础的齿轮故障诊断方法具有测量简便、实时性强等优点，通过测量齿轮运行过程中所产生的振动信号，作为故障诊断的重要信息来源。振动检测和故障诊断的关键是怎样从复杂的振动信号中提取和分离与齿轮故障特征有关的微弱信息。众多方法中，时域平均法是从复杂信号中提取周期分量的有力工具，许多基于新的信号处理方法的齿轮故障分析技术仍然依靠时域平均法来分离待诊断齿轮的啮合振动信号。时域平均法具有良好的噪声抑制能力，但是，由于受到同步处理过程以及信号传递过程的影响，在抑制噪声的同时，部分有用信号尤其是信号中的高频分量也在一定程度上受到抑制，这对齿轮早期故障的诊断非常不利。

图3.1　齿轮故障类型及其损失原因示意图

总体上，传统的对齿轮的故障诊断一般从以下方面进行[36]。

（1）频域诊断

齿轮振动时的调制现象主要是由齿轮的缺陷所致，谱图的边频带含有丰富的齿轮故障信息。另外啮合频率分量的增加同样反映了齿轮缺陷的程度。齿轮频域诊断方法有很多，实质都是监测啮合频率分量及其边频带的变化，具体有以下两种方法：

功率谱诊断法：它是齿轮故障诊断的基本方法，在信噪比较大、谱图分辨率足够的情况下，功率谱上能够清楚地识别啮合频率分量及边频带的结构特点。

倒频谱诊断法：它是齿轮故障诊断的常用方法，能提取复杂功率谱图上的周期性分量。其优点之一是受信号传输途径的影响很小。

（2）时域诊断

在时域里，监测齿轮状态的方法有很多，如：均方根值、自相关函数、幅域参数、概率密度函数等。但比较有效的方法是时域平均法。

（3）其他方法

如包络分析、高阶统计参数法[37]、平稳循环变量法[2,38]、小波与分析方法[65～67]、各种降噪法[26,27]等也被用来进行齿轮的故障分析与诊断。

基于以上方法，目前对齿轮故障诊断研究现状如下：

I.Howard等[39]建立了齿轮啮合振动模型，从动力学角度揭示了齿轮发生故障时的振动特征。时域同步平均技术可以有效地提取所监测齿轮的振动信息，而抑制其他不同步振动信息及噪声[40]。当监测中提供的相位信号不是所需分析齿轮相位时，P.D.McFadden针对齿轮振动信号提出了减小偏差的插值方法[41]，有效地解决了计算时间与偏差之间的矛盾。包络解调技术能够有效地提取齿轮振动信号中的故障特征信息[31,42,43]。Wenyi Wang在齿轮啮合振动模型基础之上，将高频共振解调技术用于早期裂纹故障监测与诊断[44]。丁康与江利旗研究了解调分析在机械故障诊断中的局限性问题，并提出了解决方法[45]。高阶谱是分析非高斯信号的主要工具，在振动分析中有着广泛的应用。B.Collis 等系统地阐述了高阶谱理论及其对于振动信号的工程解释[46]。J.W.A.Fackrell等分析了不同类型振动信号的双谱特性，并研究了采样频率对双谱分析结果的影响[47,48]。Taikang Ning等提出一种新的双谱分析方法，较好地诊断和区分了不平衡与不对中等分布故障[49]。对于一类特殊的非平稳信号，其统计矩呈现周期性变化，称之为准周期信号（Cycolstationary Signal）。C.Capdessus等人研究了齿轮振动信号，指出其呈现2阶准周期特征，利用准周期信号处理方法对齿轮故障进行了准确的诊断[50]。R.B.Randall等研究了该方法与包络分析的关系，并对齿轮箱中的滚动轴承故障信号进行了分析[34]。由于齿轮振动信号具有非平稳特性，故时频分析在齿轮故障诊断中得到越来越多的重视[1,2,51,52,53]。W.J.Wang与P.D.McFadden对齿轮故障信号进行了合适的时频解释[54,55]。W.J.Staszewski等使用Wigner-Ville分布监测齿轮故障信号，并进行模式识别[56]。Naim Baydar和Andrew Ball对齿轮振动信号与声信号利用Wigner-Ville分布分别进行处理，并分析了故障趋势对处理结果的影响[57]。R.G.Stockwell等研究了S变换的局部性[58]，McFadden等在此基础上提出了广义S变换，并将之应用于齿轮故障诊断之中[59,60]。G.Dalpaz等对齿轮故障诊断中常用的信号处理方法与小波分析及准周期（Cyclostationary）信号分析技术作了对比研究，并诊断出了齿轮局部故障[61]。近年来，国内外许多学者利用小波变换进行了齿轮的故障特征提取与诊断[62～64]，取得了有效的成果。

但是以上现状均较少提到降噪技术，事实上对信号直接进行频域、时频域分析或多分辨率分析，往往得不到好的效果。即使在正常运转条件下，因直齿圆柱齿轮的重合度1≤ ξ <2，同时参与啮合的轮齿对数和啮合点位置随时间不断的变化，而导致齿轮的综合啮合刚度发生周期性的变化，这样，无论齿轮处于正常还是故障状态下，在振动信号中齿轮的啮合频率成分始终存在。当发生故障时，这种成分将产生某种变化，如果能够检测到这种变化就能获取齿轮的故障信息。但两种状态下振动量级大小不同，从这种意义上讲，检测齿轮振动信号中的啮合频率分量可以进行故障诊断。但从另一方面讲，齿轮的振动信号十分复杂，故障对振动信号的影响是多方面的，会产生振动冲击和信号的调制现象等，有时甚至被强噪声淹没，因此需要借助一些降噪手段来去除噪声以突出故障特征，从而确定齿轮的故障类型和发生位置。

2. 滚动轴承故障

而滚动轴承同样是易损坏的零件，据统计旋转机械中发生的故障有7%是由滚动轴承故障引发[68]，其中90%发生在内环与外环，其他故障则基本发生在滚动体上，很少有保持架发生故障。

滚动轴承有很多损坏形式，常见的有磨损失效、疲劳失效、腐蚀失效、断裂失效、压痕失效和胶合失效[69]。滚动轴承故障也可分为分布故障与局部故障。分布故障主要体现为表面波纹度、不对中、游隙过大等形式；局部故障主要体现为轴承元件裂纹、划痕、点蚀等形式。由于滚动轴承的广泛使用，为防止其意外失效或发生故障，有必要建立有效的滚动轴承状态监测与故障诊断方法。

振动法能够诊断大多数滚动轴承故障，而且可在运动中测得轴承信号。国内外开发生产的各种滚动轴承故障诊断与监测仪器大都是根据振动法的原理制成的。有关轴承监测和诊断的文献，80%以上讨论的是振动法。

常用的诊断滚动轴承故障的技术主要有[30]：振动信号检测与诊断方法；油膜电阻法；磨损微粒测定法；声发射法；温度监测法；光纤法。

第二节　小波分析应用于振动信号的研究现状

小波变换通过伸缩和平移运算对信号进行多分辨率分析，从而能够有效地从信号中提取时频信息，它提供了包括Fourier分析所采用的三角基函数以外的多种基函数，是分析非平稳信号的有效工具，国内外学者对其在故障诊断领域中的应用状况进行了详细的研究，归纳起来可以分为以下几个方面：信号的时频特征分析；信号的突变点检测；信号降噪；信号的压缩；系统的模态分析；机械设备状态预测和趋势分析；故障特征提取（如频率特征等）。

小波变换的具体实现形式有多种，其中DWT影响深远、应用广泛、效果显著，而DT−CWT在某些方面有更多优良特性。

小波变换属于一种多分辨率的时频分析方法，具有很多优点，为非平稳信号的分析提供了一个有价值的工具。基于小波概念的新发展，小波分析应用领域不断拓宽，如应用小波的统计信号处理、小波的多尺度（或多分辨率）随机过程的建模与估计、噪声分析和综合、地震分析、分形、以及在混沌动力学和混沌信号的分离与检测方面[70]，都有成功的应用。

一、小波变换在振动分析方面的应用

在振动信号处理方面，应用小波变换来分析是一种趋势。信号处理技术的日益进步和小波理论本身的不断发展，决定了小波变换在分析处理信号方面有着广阔的应用前景。小波变换在振动信号分析中的典型应用主要有以下几个方面[71]：

（1）小波变换用于振动信号信噪分离。实际采集到的设备振动信号是比较复杂的，含有很多噪声，如何消除噪声，再对消噪后的振动信号进行相关分析是处理振动信号时很重要的一个环节。小波变换用于信噪分离有很多种方法[72～74]，其一是：通过多尺度分析，在分解信号后，将相关频带信号置零，然后利用小波进行重构，以达到降噪提高信噪比的目的，这一方法需要知道所关注的信号所在频带；其二是：将信号分解在各个尺度上，利用随机噪声的小波变换在尺度上没有传播性这一特点，从最后的分解尺度出发，剔除其他所有尺度上没有传播特性的模极大值点，而将有传播性的模极大值点保留，再利用交替投影法，仅用保留的模极大值点重构出信号，就可以消除噪声；其三是：基于阈值的小波收缩的去噪方法去噪，该方法充分利用了正交小波基的特点及信号与噪声正交小波变换的不同特性，即小波变换的稀疏性及去相关性保证了真实信号小波变换的能量集中在有限小波系数上。而白噪声变换后仍为白噪声，能量均匀分布在所有小波系数上。

（2）小波变换用于信号的滤波。根据小波变换的滤波特性，对于尺度j的小波变换，它将信号分解成j+1个子空间，在进行滤波处理时将那些希望剔除的频率范围对应子空间序列置零，然后进行重构运算，就得到了一个同时具有高通、低通、多个带通和多个带阻的多通道滤波器。

（3）小波变换用于信号非平稳特性分析。在各种振动信号中常常存在一些突变信号，它们在多数情况下都对应于设备的故障等因素，突变信号通常分为边缘跳变和峰值跳变两种，可将它们等效地认为在信号上叠加一个阶跃信号和脉冲信号。这种突变信号的小波变换结果通常反映为过零点和极值点，例如使用二次样条函数作为小波函数，则阶跃信号将反映为极值点，脉冲信号反映为过零点。

（4）小波变换用于瞬变信号的处理。小波分析由于其有良好的时频局部化特性，对处理瞬变信号有独特的优势。比如利用小波变换来检测齿轮振动信号的突变点，并通过这些分析结果来进行故障检测。将其应用在钢丝绳断丝检测[75]和机床切削颤振分析[76]等方面也取得良好的效果。

二、Hilbert变换与Hilbert空间的有关概念

一个信号x(t)的时域Hilbert变换定义为[77]：

设信号x(t)的傅里叶变换X(w)可分解为实部R(w)和虚部I(w)之和，即：

X(w)=F(x(t))=R(w)+jI(w)

则：

以上两式称为频域Hilbert变换。

实部与虚部构成Hilbert变换对的复信号称为解析信号。

从上面的定义看到：

（1）实信号的解析信号是一个复函数；

（2）解析信号的实部就是实信号；

（3）解析信号的虚部是实部和频率倒数的卷积，所以任何一个实信号的解析信号是唯一的；

（4）解析信号的Fourier变换特性。解析信号的频谱由实信号的正半轴频谱唯一确定，而实信号的频谱是由它的正半轴频谱完全确定的，所以实信号的解析信号与实信号是唯一对应的。解析信号的频谱只有正频率成分，它的实部就是实信号，这是解析信号的非常重要的特征。

因为

所以，信号经过Hilbert变换后产生90°相移，如图3.2所示。

图3.2　信号经过Hilbert变换后产生90°相移

在齿轮、轴承缺陷信号检测和故障诊断中，常用Hilbert变换来提取信号中的包络成分。设原始信号为x(t)，Hilbert变换后的信号为y(t)，包络信号为U(t)，则

设X是一个线性空间，定义在Descartes乘积空间X2上的实值泛函（x，x）满足以下4条公理[78]：① 对称性：(x，y)=(y，x)；② 可加性：(x+y，z)=(x，z)+(y，z)；③ 齐次性：(λx，y)= λ(x，y)；④ 正定性：(x，x)≥0，(x，x)=0当且仅当x=0。

这样的（x，x）称为X上的内积，同时X称为内积空间。

在内积空间中，对于向量x和y，若(x，y)=0，则称向量x与y是正交的。

设{xi}是内积空间中一个可数的或有限的线性无关的向量序列，则存在对应的标准正交化序列{ei}，使得对于每个n，由{ei}的前n个向量构成的向量组，与由{xi}的前n个向量构成的向量组是等价的，即它们生成相同的子空间。

完备的内积空间称为Hilbert空间，有再生核的Hilbert空间是小波变换的重要数学基础。

第三节　小波基互为Hilbert变换对的小波变换

一、复小波与复解析小波分析

小波分析具有良好的时频域局部化性能，是分析非平稳信号的有力工具。但一般都是采用实小波基函数，实小波只能从幅值的角度提取被分析信号的信息，而复小波能从幅值与相位两个角度提取被分析信号的信息。文献[79,80]运用Mexican-hat调制复小波基函数分析了齿轮仿真故障振动信号，其连续小波变换相位的频谱能够从强噪声干扰中突出边频带结构，准确地反映原有的频域特征。

小波变换还可用来进行谐波分析。但由于不同尺度的小波函数在频带上相互混叠，使得现有利用小波系数幅值及在此基础上改进的各种算法都无法实现谐波的准确检测。文献[81]提出利用复小波变换的相位信息来分析谐波的方法，利用改进递归复小波变换在不同尺度时，信号复小波变换系数的相位变化周期来确定信号的谐波频率，进而确定谐波的幅值。与 FFT 和小波变换相比，该方法能消除 FFT 算法的频谱泄漏和小波函数频带混叠造成的不良影响，提高了谐波检测的精度，且适用于含有非整数次谐波的信号。

利用传统的Hilbert变换方法提取语音信号包络存在一些固有缺陷，为此文献[82]提出了一种复解析小波变换包络提取新方法。该方法将Hilbert分析与小波分析紧密地结合在一起。文中推导并论述了新包络滤波器的时域、频域构造条件和设计方法，选择Morlet复小波对语音信号进行了初步数字仿真试验，结果证实了理论分析的正确性。文献[83]提出了利用基于复解析小波变换的瞬时频率分析的新方法，并对信号作复小波解析变换得到信号的瞬时频率，通过瞬时频率的功率谱分析就可提取信号特征。文中通过对齿轮故障振动信号的分析，表明该方法能有效地诊断齿轮局部故障，且与传统的频域方法相比具有更好的分析效果。

小波分析的本质是计算被分析信号波形与小波波形的局部相似程度，而它们的波形既与它们的幅频特性有关，又与它们的相频特性有关[84,85]；由于实小波变换后只产生实系数，人们只能从这实系数幅值角度提取被分析信号的特征信息，显然这些特征信息中不含原信息的任何相位信息。实际上在分析中所用的小波的相频特性与信号相频特性的匹配程度如何，将直接影响其分析结果。

总之，现有的实小波缺乏相位信息，难以与信号最佳匹配。而现有的常规复小波都为连续小波，相频特性特殊，也难以与信号最佳匹配，于是，采用合适的复小波进行分析就成为当前的另一研究内容。

二、小波基的Hilbert变换对

小波的相频特性与被分析信号相频特性的匹配程度对小波分析结果有很大的影响[84]。一般情况下，实际振动信号具有非线性相位的特征，采用具有线性相位的实小波难以达到与信号的最佳匹配。连续复小波变换可以有效提取信号的瞬时特征，如瞬时频率、瞬时相位、瞬时振幅等[86,87]。

信号s(t)的连续复小波变换为[88]：

式中，a为尺度因子，b为平移因子，且t，a，b∈R，a≠0。ϕ(t)为解析小波ϕ(t)的复共轭，ϕ(t)的实部为ϕR(t)，虚部为ϕI(t)。复小波变换后的实部为WR(a,b)，虚部为WI(a,b)。高静怀等[86]证明了对任一尺度因子a(a>0)，W(a,b)的虚部WI(a,b)是其实部WR(a,b)的Hilbert变换，可表示为：WI(a,b)=H(WR(a,b))。这样可以求出每个尺度下信号的瞬时属性，可较好地描述具有不同分辨率的信号特征。但通常它的时间延续度很大，离散化和截断时会产生较大误差，因此有必要寻找一种实现离散复小波变换的运算效率高的算法。

文献[89,90]讨论了这类小波的具有Hilbert变换对性质的小波基的设计实现原理和方法。文献[91]更进一步论述了构成这种小波基的Hilbert变换对（Hilbert Transform Pairs of Wavelet Bases）的相位条件。文献[90]论述了这种Hilbert变换对的小波基的设计过程，它是基于谱分解（Spectral Factorization）的一种方法，这样形成的两个小波构成一个具有Hilbert变换对的具有精确重构性质的复小波，它能显著改善离散小波变换的某些缺陷。

三、对偶树离散复小波变换

Abry和Flandrin提出了用具有Hilbert变换关系的小波对来进行瞬态信号探测[92]和扰动分析。Ozturk等提出用这种小波对进行波形编码[94]。剑桥大学Kingsbury[95～98]在复小波变换理论、算法及应用方面作出了杰出的贡献，提出并详细论述了DT−CWT，它具有很好的平移不变性（Shift Invariance）。这种DT−CWT也是建立在小波的Hilbert变换对的基础上的，并且在文献[101]中详细论述了这种复小波变换的平移不变性，在文献[96]中将这种复小波用于图像的处理中，取得很好的效果。

图3.3为DT−CWT中所用到的两个小波（图中ψh(t)和ψg(t)所示），它们分别表示实部和虚部，从该图中可见它们互相构成Hilbert变换关系。图3.3（a）中还画出了它们的包络线，图3.3（b）是信号ψh(t)+iψg(t)的功率谱图，由频谱单边性说明了这两个正交小波基的近似Hilbert变换对关系。

图3.3　DT−CWT中所用到的两个小波互相构成Hilbert变换关系

图3.3　DT−CWT中所用到的两个小波互相构成Hilbert变换关系（续）

DT−CWT具有如图3.4所示的结构[96]。复小波具有近似平移不变性，但是其最大的缺点是不能完全重构。不难观察到可以用两个实的DWT通过在分解树的每一层都使采样率加倍从而获得近似平移不变性，一个使所有采样率加倍的方法是在分解第一层的滤波器h01(n)和h11(n)后去掉下采样。这就相当于两个平行的需要下采样的树h和树g（如图3.3所示）。滤波器g01(n)和g11(n)的延时相对于h01(n)和h11(n)的延时有一个采样点的偏移，这样就可以保证树 g的第一层下采样点是树h的下采样点的相对点。

图3.4　DT−CWT的结构

在高于第一层的分解层中，由于其更低的采样率，树g的采样点不再处在树h的采样点的中间位置。为了使这些层也具有平移不变性，对于给定的层和所有它前面的分解层的总的延时差必须等于一个采样间隔（在该层输入采样率上）。于是在某树高于第一层的分解层的滤波器必须比另一树有半个采样点的延时。

Kingsbury在文献[96,99,100]中指出了DWT的一些缺点：① 缺乏平移不变性；② 方向选择性差。并进一步指出了DT−CWT的优点：① 优良的平移不变性；② 良好的方向选择性；③ 可精确重构；④ 有限的冗余度；⑤ 计算效率高。

连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）虽具有平移不变性，但它的数据冗余多，计算代价太大。其他小波在应用上都各有自己的局限性，具体见表3.1。

表3.1　各种小波变换的特点对比

由表3.1可见：对偶树复小波有很多优良特性，因此是一个值得研究的内容。

由于DT−CWT的一些优良特性，很多学者对它进行了广泛的研究。S.Hatipoglu，S.K.Mitra和N.Kingsbury等[102]将其用于纹理的分类，这种技术可广泛用于图形图像的分类和识别。J.Neumann等[103]将其用于对时域信号进行特征提取而后用支持向量机（Support Vector Machine，SVM）分类，这一方法可实现直接对时域信号进行分类而不需要人的参与。

因为DT−CWT可以精确重构，所以可用于降噪。其降噪效果与常规小波和小波包的降噪效果对比如图3.5和图3.6所示。在图3.5中，小波包降噪后的信噪比为25.757 9；小波降噪后的信噪比为26.689 4；DT−CWT降噪后的信噪比为27.828 7。在图3.6中，小波包降噪后的信噪比为20.690 4；小波降噪后的信噪比为23.614 1；DT−CWT降噪后的信噪比为24.776 0。

图3.5　Heavisine信号的降噪效果对比

图3.6　Doppler信号的降噪效果对比

由以上结果可知：虽然DWT影响深远、应用广泛，但DT−CWT可以得到比DWT更好的降噪效果，因此DT−CWT是一个有价值也是很有必要的研究课题。