棱柱的体积

情况简介

“棱柱的体积”一课教学内容丰富，具体知识点除了祖暅原理之外，还包括棱柱的体积公式等。教学难点突出表现在：描述三维空间的祖暅原理、对祖暅原理所涉及的朴素微积分思想的理解、化不规则图形为规则图形的思想方法等。

这节课是2006年9月我参加上海市中青年教师教学大奖赛嘉定区出线的课。

文化教育价值

1.思想的力量：

（1）运用类比思想，从二维空间到三维空间的类比，从而发现：三维空间的祖暅原理。

（2）化不规则图形为规则图形的思想方法，从而解决二维空间的求面积问题和三维空间的求体积问题。

2.纯粹的本质：

将二维空间的祖暅原理进行类比，通过经历语言表述，得到三维空间的祖暅原理，体会其中蕴含的朴素微积分思想本质。

3.情感体验：

从二维空间到三维空间的类比得到三维空间的祖暅原理，体验“再创造”的乐趣。

教学设计

教学目标：

知道祖暅原理；

掌握棱柱的体积公式；

体会从二维空间到三维空间的类比思想；

体会化不规则图形为规则图形的思想方法；

体会祖暅原理所蕴含的朴素的微积分思想。

教学重点与难点：

三维空间祖暅原理的引出；

棱柱的体积公式的推导；

朴素微积分思想的理解；

化不规则图形为规则图形的思想方法。

教具辅助：

外观堆放不同的三叠摆放次序相同的课本；

推导斜棱柱体积等于直截面面积乘以侧棱长的教学模具一个。

教学过程：

1.引入环节

由外观堆放不同的三叠摆放次序相同的课本引入新课（图1）。

图1

这三叠课本堆放形式，从外观上看，有很大的不同。左起第一叠比较整齐，第二叠斜斜的，第三叠看上去零乱不是那么整齐。向学生提出问题：这三叠课本的体积相同吗？由于每一本课本的体积是相同的，所以摆放的不同不改变其体积。从而得出这三叠课本的体积是相同的。这样便引出了这节课将要研究的主题——几何体的体积——棱柱的体积。

2.讲授新课

（1）解决二维空间的一个平面图形的面积问题

在研究三维空间的几何体体积之前，我们先来研究二维空间的一个平面图形的面积。让我们先来看平面中这样一个图形（图2）。

图2

交代图形S1是夹在两条距离为b的平形直线之间的平面图形。其右边一条曲线是由左边曲线向右平移a个单位所得。现在我们来求一下图形S1的面积。这里可以用割补法求出S1的面积（图3），它的面积等于一个长宽分别为a、b的矩形的面积，即S1＝ab。

图3

那么还有没有别的方法呢？

我们给出一个二维空间的祖暅原理：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，如果被平行于这两条直线的任何直线所截得的线段长度都相等，那么这两个平面图形的面积相等。

利用这个原理，我们也可以说明为什么S1＝ab。（具体可请学生说明。）

图4

这里可以作适当小结：证明图4中两个平面图形S1、S2的面积相等，我们可以用两种方法——割补法或运用所给出的二维空间祖暅原理进行证明。

（2）将二维空间祖暅原理的内容类比到三维空间

再次回顾二维空间祖暅原理，并请学生将该原理推广到三维空间，提醒注意个别关键词。

二维空间的祖暅原理：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，如果被平行于这两条直线的任何直线所截得的线段长度都相等，那么这两个平面图形的面积相等。

三维空间的祖暅原理：夹在两条平行平面之间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何一个平面所截得的平面图形的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

（3）运用动态课件体会三维空间的祖暅原理

教师演示动态课件（图5），让学生体会朴素的微积分思想，并注意解读原理中的“任意”两字。这里引出“幂势相同，则积不容异”，并介绍祖暅和卡瓦列利。

图5

（图片引自网络）

（4）三维空间祖暅原理的应用

①回归本节课一开始提出的问题——运用三维空间的祖暅原理体会三叠课本的体积相等；

②探究棱柱的体积公式。

图6

我们现在的任务是探究棱柱的体积公式。如何探究呢？

可以做这样的引导：回顾刚才我们借用了一个矩形，化不规则图形为规则图形，运用二维空间的祖暅原理得到了平面图形S1的面积。那么我们现在能否用类比的方法来探究呢？

这样引导学生借用一个特殊的几何体——长方体（图6），可以化不规则问题为规则问题，从而推导出棱柱的体积公式。

3.练习应用

练习1：一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图7所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米的混凝土？（钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）

图7

练习2：三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1的面积是12平方厘米，侧棱CC1到侧面ABB1A1的距离为4厘米，求该三棱柱的体积。

4.课堂小结

小结本课中所涉及的知识点和思想方法。简单回顾从二维空间到三维空间的类比思想；体会化不规则图形为规则图形的思想方法；体会祖暅原理所蕴含的朴素的微积分思想。

5.布置作业（略）

教学设计说明

在关注学生发现知识、经历知识的再创造的设计宗旨下，这堂课的教学设计突出在以下两个方面：（1）经历从二维空间到三维空间的过渡（数学中类比思想的运用）；（2）由特殊的几何体——长方体体积公式得到一般棱柱的体积公式（化不规则图形为规则图形思想方法的运用）。在教师的引导下，学生能够顺利完成以上两个较难思维点的跨越，体验了“发现”的过程。

1.做到先提出问题，后回归问题，可避免和减少思维障碍的产生。

利用现实中的具体模型，即三叠课本引出课题（图1）。事实上，学生已经学过了一些几何体，知道长方体、平行六面体等多种几何体。在以前的教学中，曾问及学生这三叠课本的体积是否相同时，有的学生会认为不同，后发现是混淆了表面积与体积，有的学生则对这样一个问题感到突然，不知所措。本课中，在课的一开始抛掷这样一个问题，但不急于解决，而是等介绍完了三维空间的祖暅原理之后，再回归到课堂开始提出的具体问题，学生就不会对表面积和体积产生混淆了，也不易突遇思维难点而无所适从了。让学生带着问题听课，这样听课就有了目的性。

2.采用铺垫教学，层层递进，为难度思维搭建脚手架。

从较简单的二维空间的方法与结论类比推广到三维空间，为学生的思维搭建脚手架，使学生的思维循序渐进。具体表现在：先给出二维空间的祖暅原理，交代图形S1的右边一条曲线是由左边曲线向右平移a个单位所得（图2）。学生们用割补的方法（图3）或用二维空间的祖暅原理证明S1与S2的面积相等（图4）。接着再做三维空间的类比推广。从对二维空间祖暅原理的体会，逐渐过渡到三维空间，这样采用递进的手段，能有助于学生多次反复、体会，从而有利于学生对原理理解得更为透彻。

3.运用动态课件，有利于帮助学生把握抽象。

祖暅原理是对现实生活中的基本事实的高度抽象。学生空间概念的缺乏以及原理中蕴含的微积分思想（图5），都是导致理解祖暅原理的困难的症结所在。动态的截面能清晰地展示原理的本质内涵。动态课件是书本上静态图的有效补充。

4.在学习的过程中让学生主动体会祖暅原理的功能。

学生在体会了二维空间祖暅原理的功能，即“利用规则图形探求不规则图形”的数学思想方法后，能想到借助长方体探求棱柱的体积（图6），体会祖暅原理功能价值，有助于培养学生的探究能力。

5.重视对学生多种数学思想方法的渗透。

在求S1面积的时候运用了“割补法”。在用二维空间的祖暅原理进行证明S1与S2的面积相等时，让学生体会“化不规则图形为规则图形”的数学思想方法。运用类比的方法给出三维空间的祖暅原理以及棱柱体积公式的推导。在课堂上需要对数学思想方法做好潜移默化的渗透工作。

6.“对祖暅原理的根本性理解”以及“对祖暅原理功能的体会”并不是本课的重点。

“棱柱的体积公式的推导”以及“对祖暅原理的根本性理解”并未纳入在对学生学习的评价指标中，但是他们却是本堂课潜在的难点。在二维空间祖暅原理教学的过程中，先让学生尝试着发现用割补法可以得到面积，接着给出二维空间祖暅原理，要求学生借用具体问题来体会，这样学生不仅对祖暅原理中蕴含的微积分思想有所体会，而且可以对化不规则图形为规则图形的这一思想方法做好铺垫。

这堂课的二维空间的教学部分大概要比以往的教学多出10分钟的教学时间。不过就2013年高考来说，考到了一道运用祖暅原理来求一个非特殊几何体的体积问题。可见即便仅从功利的一方面来看，花一点时间来经历一下这样的“再创造”过程也是完全值得的。

课例点评

本节课是柱体体积的引入，也是一节数学原理课。学生已有的知识基础是长方体的体积公式，但对于一般的柱体，其体积V为底面积S与其高h的乘积，即V＝Sh，学生是不知道的，通过这节课的学生，学生初步了解了祖暅原理，并知道了柱体体积公式原来是这样来的。

在教学祖暅原理与柱体体积公式时，不少教师往往会轻描淡写，一带而过，其原因是由于学生的知识局限，很难理解祖暅原理。而徐老师在本节课上非常重视这一原理的教学，她并不把根本理解祖暅原理作为教学的目标，而是让学生从科学事实中体会这一原理的正确性。从上课开始引入课题所用的三叠书，到回顾二维空间的祖暅原理，再到多媒体展示一般棱柱转化为长方体的特殊化手段，都体现了徐老师教学的严谨性，她是把数学真正作为一门文化的课程来教的。

在教学祖暅原理时，徐老师在实例引入时并不是直接告诉学生结论，而是通过一个平面图形的面积问题的探索和分析，回顾了二维空间的祖暅原理。再根据引例请学生推广出三维的祖暅原理，并用动态课件的演示使学生更好地体会祖暅原理。这样的教学策略，使原本抽象的数学原理变得直观易懂。

教学中先提出问题，后回归问题，使学生面对新颖的问题激发求知欲望。徐老师采取的方法是先把问题放一放，开始祖暅原理的教学，在学生对祖暅原理有所感悟之后，再回头来解决这一问题。这样做，学生带着问题听课、参与教学的面与深度就会加强。

由于受到学生已有知识的局限，如果照本宣科地教学祖暅原理，学生就会觉得这一原理是从天上掉下来的，徐老师通过回顾二维空间的情况，引导学生用类比思想推广到三维空间，并运用这一原理将一般棱柱的体积转化为长方体的体积，符合学生的认知规律，也是徐老师对教材的再创造。这一课例有很好的借鉴作用，可以引发广大教师共同参与到这一课题的教学研究中来。

嘉定区教师进修学院　张桂明（教研员）