棱柱与棱锥的三个投影都完全相同

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【摘要】：如图3－1所示，平面立体的表面是由若干个多边形平面围成的，各相邻表面的交线称为棱线，棱线的交点称为顶点。绘制平面立体的投影就是绘制它的各表面的投影。平面立体分为棱柱和棱锥（棱台）两种。由于棱柱的各表面均为特殊位置平面，所以属于棱柱表面的点的投影，可以利用特殊位置平面投影的积聚性来求得。因此，M点的水平投影m，必积聚于该棱面的水平投影上，由m′和m求出M点的侧面投影m″。

如图3－1所示，平面立体的表面是由若干个多边形平面围成的，各相邻表面的交线称为棱线，棱线的交点称为顶点。绘制平面立体的投影就是绘制它的各表面的投影。平面立体分为棱柱和棱锥（棱台）两种。

图3－1 平面立体

3.1.1 棱柱

1.棱柱的形成

棱柱是由相互平行的多边形的上下底面和几个四边形的侧棱面围成的立体。棱线互相平行且垂直于上下底平面的棱柱，称为直棱柱，上下底平面为正多边形的直棱柱称为正棱柱，如图3－1（a）、（b）、（c）所示。

2.棱柱的投影

如图3－2所示为正五棱柱的投影。当正五棱柱与投影面处于图3－2（a）所示的位置时，其上、下底面为水平面，其H面投影为反映实形的正五边形；后面为正平面，其V面投影为反映实形的四边形，其余四个侧面为铅垂面，H面投影都积聚在正五边形的边上，另外两面投影为类似形。

作图步骤：

（1）画出正五棱柱的对称中心线和底面的基线，以确定各视图的位置，如图3－2（b）所示。

（2）画出上下底面的三面投影，如图3－2（c）所示。

（3）由正五边形的顶点在H面的投影，根据三视图的投影规律画出五条为铅垂线的侧棱在V面、W面上的投影，即完成正五棱柱的投影，如图3－2（d）所示。

图3－2 正五棱柱的投影过程

3.投影特征

如图3－3所示为三棱柱、四棱柱、五棱柱、正六棱柱以及各自的投影。由图3－3可知，棱柱投影的共同特征是：一面投影是反映实形的多边形，另外两面投影为若干个矩形。

4.棱柱表面上点的投影

由于棱柱的各表面均为特殊位置平面，所以属于棱柱表面的点的投影，可以利用特殊位置平面投影的积聚性来求得。在判别可见性时，若平面处于可见位置，则该面上点的同面投影也是可见的，反之为不可见。在平面积聚投影上的点的投影，视为可见。

例3.1 如图3－2（e）所示，已知点M属于正五棱柱表面，并知M点的正面投影m′，求作其他两面投影m和m″。

图3－3 棱柱的投影

（a）正三棱柱；（b）直四棱柱；（c）正四棱柱；（d）正五棱柱；（e）正六棱柱；（f）正六棱柱

由m′的位置和可见性分析得知，M点所在的平面ABCD是正五棱柱的左前侧棱面，该面为铅垂面，其H面投影积聚为一条与X轴倾斜的直线，V面、W面的投影为两个类似形。因此，M点的水平投影m，必积聚于该棱面的水平投影上，由m′和m求出M点的侧面投影m″。再来判断M点投影的可见性，由于该左侧棱面的侧面投影可见，故m″也可见。

3.1.2 棱锥

1.棱锥的形成

棱锥是由一个底面为多边形，棱面为几个具有公共顶点的三角形围成的立体（棱锥切去尖顶称棱台）。常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等，如图3－1中（d）、（e）、（f）所示。

2.棱锥的投影

如图3－4所示为四棱锥的投影。当四棱锥处于图3－4（a）所示位置时，底面为水平面，其H面投影为反映实形的四边形；左右两个侧面为正垂面，其V面投影积聚成直线，另外两面投影是类似形的三角形；前后两个侧面为侧垂面，其W面投影积聚成直线，另外两面投影是类似形的三角形。

作图步骤：

（1）画出四棱锥的对称中心线和底平面的三面投影，如图3－4（b）所示；

（2）根据四棱锥的高度，确定锥顶的投影；

（3）作底平面各点与锥顶同面投影的连线，即为四棱锥的三面投影，如图3－4（c）所示。

图3－4 四棱锥的投影

3.投影特征

如图3－5所示为四棱锥、五棱锥、六棱锥及各自的投影。由图3－5可知，棱锥投影的共同特征是：三个投影面的投影均为若干个三角形（棱台为梯形）。