数学中的经验法则

别把数学想像得艰难晦涩，不可捉摸，它只不过是常识的升华而已。

L·开尔文（Lord Kelvin）

近东⁽¹⁾，既是西方文化的发祥地，也是人类文明的摇篮。当那些喜欢四处迁徙的游牧民族远远离开其出生地，在欧洲平原上漫游时，与他们毗邻的近东人民却在致力于辛勤耕作，创造文明和文化。若干世纪以后，东方的贤哲们不得不担负起教育未开化的西方人的任务。这些贤哲们传授给西方人的初等数学知识，是构成完整的知识必不可少的。因此，要追溯数学对现代文化的影响，我们就必须把注意力首先集中在近东文明。

附带地，我们应该注意到，在原始文明中，已经迈出了数学上简单的几步。这样的几步无疑地纯粹由实际需要所推动。即使在最原始的人类社会，也必须对生活必需品进行以物易物的物物交换，在这一过程中就必须进行计算。

由于利用手指和脚趾能使计算的过程变得容易，因此对原始人像小孩一样利用自己全部的手指和脚趾去核算所数的东西，也就不足为奇了。古代这种计数法的痕迹，已融会在今天的语言中。“digit”一词，不仅有数字1，2，3，…的含意，也代表手指和脚趾。手指的利用，无疑地解释了今天计数系统中采用十（位）、百（位）（十个十）、千（位）（百个十）等等的原因。

甚至原始文明也发明了表示数的特殊记号，因此，这些文明已显示出他们知道这样的事实：3只羊、3个苹果和3枚箭有很大的共同性，即数量3。这样，数字就被看作是一种抽象的思想，在抽象的意义上，数就与特殊的物质实体无关，这一点是思想史上重要的进步之一。我们每一个人在自己的学习过程中，都经历了这样一个将数与物质实体分离的智力过程。

原始文明也发明了算术的四则基本运算：加、减、乘、除。从对现代落后种族的一项研究中，我们可以明了，对人类来说，把握这些运算并不容易。通常，原始部落的牧民出售牲畜时，他们不是从总群中取出一小群来，而必定是一只只单独地分开卖。如果选择用羊的数目乘以每只羊的售价的方法，那么就会把这些牧民弄糊涂，以致他们怀疑自己被人欺骗了。

与数系的产生一样，在原始文明中，几何无疑也是为了满足人们的需要而产生的。基本的几何概念来源于对物质实体所形成图形的观察。例如，角的概念，很可能最初就来自对肘和膝所形成的角的观察。在许多语言中，包括近代德语中，表示角的边的词和表示腿的词一样。我们自己就将直角三角形的两边称为两臂⁽²⁾。

在孕育了现代文化和数学的近东文明中，最主要的是埃及和巴比伦文明。在这些文明最早期的记载中，我们发现了高度发达的计数系统（数系）、代数学和非常简单的几何学。对于从1到9的数字，埃及人曾利用过这样简单的记号来表示：等。对于10，他们引入了特别的符号，另外还有特殊记号代表100，1000和其他大数。对于中间的一些数字，他们就自然地采用将这些记号结合起来的方式，这样21就写作。

由于巴比伦人引入了以60作为基底的位值制（60进制），所以希腊人、欧洲人一直到16世纪都将这套系统运用于所有的数学计算和天文学计算中，而且现在这套系统仍被运用于将角度和小时转换成60分、60秒的计算中。印度人发明的以10为基底的10进制（十进制），直到中世纪才传入欧洲。

位值制很重要，在此应该讨论一下。采用十进制（以10作为基底），这样10个符号就足以表示无论多大的数。这种表示方法具有系统化的特点，而且与其他的如像埃及人的表示法相比较更为简洁。更为重要的是这样的事实：十进制使我们近代有效的计算方法的发展成为可能。

我们还应该注意到，并不是非采用十进制不可。在位值制中，任何一个整数都可作为基底。例如，以5作为基底，然后表示数就正好需要5个符号，记为1，2，3，4和0。表示数字5时就写成10，1在这里表示1乘以5，就如同在以10作为基底时，1表示1×10一样，在五进制中（以5作为基底），6就写成11，7就写成12，11就写成21，表示25时就写成100，即1乘以5²（＋）加上0乘以5（＋）再加上0乘以1个单位。当然，为了系统地利用五进制进行计算，必须记住相应的加法、乘法表。这样3＋4为12；13＋14，这两个数在5进制中表示的就分别是8和9，因此相应的和写成5进制数就应是32；等等。人们一直在考虑这样一个问题：到底采用哪一种进位制最好。以12为基底的12进制有许多优点。但是，鉴于人们通常使用的情况，习惯上仍倾向于采用十进制。

为了最有效地利用位值制，零是必须的。因为必须设法将503与53区别开来。巴比伦人利用了一个特殊的记号，以便将前一种情形中的5和3分开，但是他们却没有认识到，这个记号也能当作一个数来看待；也就是说，他们没有认识到，零代表一个数，能像其他数一样使用，能进行加、减运算。必须仔细小心将数零与无的概念区别开来。如果一个学生从来没有修某一门数学课程，那么他就没有这门功课的成绩；但是，如果这个学生的确选修了这门课程，而他所作的论文被判定为毫无价值，那么他的成绩就是零。

在古代巴比伦和埃及的文明中，算术已经超出了利用整数和分数的范围。我们知道，他们能够解决一些含有未知量的问题，尽管他们所利用的方法比我们在中学里所学得的显得粗糙、缺少一般性。实际上，欧几里得体系中的代数知识部分地源于巴比伦文明。

如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学，那么在另一方面，人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。至于为什么会出现这样的情形，人们曾有许多推测。历史学家们提出的一个理由是，埃及人从未发展出处理数字的合适方法，特别是处理分数的简便方法，因而阻碍了他们在代数学领域中更进一步的发展。相反地他们注重几何学。另一种观点认为，几何学是“尼罗河的恩赐”，希罗多德（Herodotus）曾记叙，在公元前14世纪，塞索斯特里斯王（Sesostris）将土地分封给所有的埃及人，使他们每个人都得到一块同样大小的长方形土地，然后据此而纳税。如果一年一度的尼罗河洪水冲毁了某个人的土地，那么这个人就必须向法老报告所受的损失，然后法老派遣监工来测量所失去的土地，再按相应的比例减税。这样，从埃及的土地丈量中，几何学（geometry）——geo意指土地，metron表示测量——就产生并兴盛起来了。希罗多德可能正确地找出了几何学在埃及受重视的原因，但是他却忽视了这样的事实，在公元前14世纪以前1000多年几何学就已经存在了。

埃及人和巴比伦人的几何学是经验的法则，或者说是实际技艺。直线只不过是拉紧了的一段绳子；希腊语中的“hypotenuse”（斜边、弦）实际意思是“拉紧”，可以假定为将一个直角的两臂拉紧后的联线。一个平面只不过是一片平地的表面。他们求谷仓体积、土地面积的公式是经过反复试验得到的，因此许多公式难免有错。例如，埃及人求圆面积的公式是3.16乘以半径的平方。这是错误的，尽管这对于埃及人运用它进行计算来说已足够精确了。

埃及人和巴比伦人将数学大量地应用于实际生活中。他们的纸草、陶书上记载着期票、信用卡、抵押契约、待发款项，以及分配商业利润等事项。算术、代数被用于商业交易，几何公式则用来推算土地面积，计算贮存在圆形仓或锥形包中的粮食。除此之外，巴比伦人和埃及人还是锲而不舍的建筑师，即使在今天的摩天大楼时代，在我们看来，他们的庙宇和金字塔依然是令人钦佩的伟大工程成就。巴比伦人也是心灵手巧的水利工程师，底格里斯河（Tigris）和幼发拉底河（Euphrates）沿岸人民的生命之河，两条河流的水流过精心挖掘的沟渠，使其流域的土壤变得肥沃，即使在干旱的炎热季节里，它们也能使巴比伦城和乌尔（Ur）城繁荣昌盛，呈现出人丁兴旺的景象。

但是，这一说法是错误的——不论它被重复多少次——即认为埃及和巴比伦的数学只是局限于解决实际问题，不论是在以往的任何时代，还是在我们这个时代，这种观点都是错误的。相反，通过更仔细的研究后我们发现，人类思想和激情的优秀成果，无论是艺术、宗教和科学的成果，还是哲学成果，都如同我们今天一样，与一定的数学内容相关。在巴比伦和埃及，数学与绘画、建筑、宗教以及对自然界的探究之间的联系，在密切性和重要性方面丝毫不比数学应用于商业、农业和建筑方面逊色。

那些坚信数学仅仅具有实用价值的学者，经常自以为是地认为，历史上的数学活动靠实际需要的推动，不可能存在什么来自逻辑的推动（理论的推动）。他们的论据如下，数学被应用于计算历法和航海，因此数学创造就是靠大量的实际问题而激发推动的，正如计算的需要导致了数的产生一样，这种因为这样所以这样（post hoc ergo propter hoc）的论证方式，缺乏历史根据，因而很难使人相信。在大海中迷航了的水手，绝不会突然意识到观察星星可以解决他的航海问题；同样，并非直到尼罗河每年泛滥时，埃及农民才会关心起日期来，认为他应该去看看太阳的方位。

在天文学和数学用于计算历法和航海之前，人类本能的好奇心和对自然的恐惧必已有了若干世纪，那时人类受不可抑止的哲学精神的驱使，耐心地观察太阳、月亮和星星的运行。这些先知们通过对神奇的自然界的观察，克服了缺乏仪器和数学知识的重重困难，终于从他们的观察中画出了天体运行的图像。在很早的埃及文明中，已经有人知道太阳年约为365天，并且知道每年的季节。

他们坚持不懈的努力，取得了更为广泛的成就。他们观察到，每年当天狼星出现在黎明的天空时，就表明尼罗河的洪水到达开罗了。在为预测洪水而绘出天狼星在天空中的运动轨迹之前，这种观察必定已经进行许多年了。更为重要的是，由于以365天为一年的历法比真正的太阳历少天，这样在若干年以后，这个历法就不再能够指出天狼星将在什么时候出现在黎明的天空了。只有在1460年以后，也就是在4×365年以后，这个历法才会与天狼星在天空中出现的位置相吻合。这个1460年的周期，称为索特周期（Sothic cycle），埃及天文学家们也知道这个周期。天空中这种规律的存在，必定在任何人想运用它之前就已被人认识到了。

一旦天文学和数学的研究揭示了那些规律，巴比伦人和埃及人就学会利用它们去观察天象。按照天象所显示的时间，他们从事打猎、捕鱼、播种、收获、跳舞和举行宗教仪式。不久，某些特殊的星座就按照它们出现时所对应的传统的风俗活动而被命名。对应猎人的射手座，对应渔夫的双鱼宫⁽³⁾，至今仍在天空。

万物兴衰，皆归于天。如此铁的规律，按照秩序，分秒不差地运行着。靠耕作每年洪水泛滥后尼罗河上所覆盖的肥沃土壤为生的埃及人，必须对洪水做好充分的准备。他们的房子、家产、牛畜必须暂时从居住的地方搬开，然后为随之而来的播种作好准备。因此，他们必须预测洪水到来的时间。不仅在埃及，而且在所有的地方，预先知道播种的季节、节日的时间和祭祀的日子，都十分必要。

但是，仅仅依据计算过去的日子而进行预测是不可能的。这是由于365天的历法年不久就与真实的季节全然对应不上了，因为这种历法每年亏损天。即使提前几天预测节气和尼罗河汛期，也需要有精确的天体运行和数学方面的知识，然而只有僧侣们才具有这种知识。这些僧侣们懂得，历法对日常生活的安排和为将来的事件做准备具有重大意义，因而他们利用这种知识获得了统治那些无知民众的权利。事实上，可以肯定，埃及僧侣们知道太阳年在时间上是365天，但却故意不让一般民众知道这种知识。僧侣们知道洪水是按期到来的，但他们却佯称，因为他们举行了宗教仪式而带来了洪水，并使水按期退下去，这样，就迫使可怜的农民为僧侣们的仪式支付报酬。数学和科学知识在当时也和在今天一样，是某种权力。

尽管对天空的冥想导出了数学，当然，在这一过程中还借助了与它有着相当重要关系的天文学、宗教神秘主义，但是这种冥想也包括对生、死、风、雨和自然界各种奇异现象的沉思。不久，这种冥想还通过现在看来是声名狼藉的占星术与数学纠缠在一起了。当然，我们不能因为它在今天臭名昭著，而抹煞占星术在古代宗教中的重要性。几乎在所有的宗教中，天体特别是太阳，都是主宰地球上万事万物的神。通过研究这些神的活动，它们来去的行踪，还有不期而至、转瞬即逝的流星，以及偶尔出现的日食和月食，人们可能领悟到神的意志和计划。对于古代的僧侣们来说，以行星和恒星的运动为基础，发展出一套占卜术是十分自然的，就如同现代科学家利用自己熟练的训练和才能，研究和把握自然界一样。

即使天体不被当作神，处于科学蒙昧时代的人们，还是有足够的理由将太阳、月亮和星星的位置，与人类的事务联系起来。一般说来，谷物的收成依赖于太阳和气候，动物在一定的季节里交配，甚至亚里士多德（Aristotle）和盖伦（Galen）相信，妇女的经期由月亮的活动控制。许多诸如此类的现象，使得人们愈发相信占星术。特别是对于埃及人来说，当天狼星于黎明时分出现在天空时，尼罗河的洪水就到来了，那么这就意味着：天狼星引来了洪水。

宗教神秘主义本身在几何上更为直接的表现是，建筑漂亮的神殿、金字塔，以及在巴比伦的每个大城市的适当地方建造一座亚述古庙塔（ziggurat）——一座塔形的神殿。这种神殿是将一幢大厦立在拾级而上的台阶的顶端，可以通过楼梯上去，而且方圆数里都清晰可见。当然，埃及人的金字塔和神殿也举世闻名。而且，金字塔的建造更是精益求精，因为它们是王陵。埃及人坚信，按照精确的数学规则去建造陵墓，对于将来死后的生活是非常重要的。这些宗教建筑的方位与天体有关，这一点可以通过卡纳克（Karnak）著名的太阳神神庙、埃及主神亚蒙神（Amon-Ra）神庙得到很好的证明。这些建筑物在夏至那天正面对着太阳，在这一天，阳光直接投射到庙宇中，甚至照亮了大殿的后墙。

宗教神秘主义也不乏对数的性质的好奇心，而且将数作为表达神秘主义思想的媒介（测字术）。其中，数字3和7引起了特别的注意。既然宇宙明显地是在有限的时间内被创造出来的，那么为什么不利用像7那样的数字去描述呢？在上帝的威力和复杂的自然界之间，找到一种似乎是恰当的和解办法，这应该是几天就可办到的事情。希伯来神秘主义学说解释了，宗教主义者究竟在多大范围内用数来解释宇宙的神秘性。一般认为，巴比伦祭司发明了这种有关数的神秘的、迷魔般的学说，后来又为希伯来人加以发展了。这种伪科学是以下面的思想为基础的，字母表中的每一个字母都与一个数相关联。事实上，希腊人和希伯来人曾利用字母表中的字母作为他们的数字符号。每个单词对应于一个数，这个数是所有拼成这个单词的字母所代表的数之和。两个单词表示同一个数，则可以认为两者相关，这种相关性就被用来做预言。这样，人的死亡也有可能事先预测到，因为一个人计划要做的某事的名称所对应的数，与死亡一词所对应的数可能会相同。

人类的艺术兴趣与其宗教情感之间的抵触，导致了数学知识的发现和利用。当建筑师研究和利用几何学去设计、建造漂亮的公共建筑、庙宇、皇宫时，画家们却被他们所构造的几何图形的美的意境所吸收。6000多年前，波斯苏萨（Susa）城的艺术家，就曾使用了几何图形，就传统艺术的风格而言，它与现代的抽象艺术一样的深奥微妙。山羊的前后两部分分别被画成三角形，山羊角却延展成一个半圆形。鹳的身体和头部也被分别画成是大三角形和小三角形，这些艺术品被用来作为波斯人陶器的装饰。几何学，并不像希罗多德所宣称的那样，仅仅是尼罗河的恩赐。艺术家也为文明奉献了这份礼物。

埃及和巴比伦文明表明，人类众多的需要和兴趣激发了人类数学活动的灵感。然而，埃及人和巴比伦人在对数学的理解，以及对这门学科的实际贡献方面却未能达到应有的水平。他们只不过积累了简单的公式、大量基本的规则和技巧。所有这些解决了在一些特殊情形下产生的问题。但是，这门学科既没有得到全面的发展，也没被清楚地表述成普遍原理。从阿梅斯（Ahmes）纸草书中，我们得到了埃及人绝大部分数学知识，但上面仅仅解决了一些特殊问题；对于所得到的运算结果，既没有解释也没有说明理由。有人认为，巴比伦和埃及祭司可能掌握了普遍的数学原理，但他们对这些知识秘而不宣。这是一个大胆的猜测，它部分地起因于阿梅斯纸草中的一个标题：《求知指南》（《获知一切奥秘的指南》，Directions for Obtaining Knowledge of All Dark Things），同时这一猜测也是因为考虑到埃及全面而强有力的神权统治，僧侣们利用口头的方式传授这方面的知识，从而进一步在人民中加剧了对统治阶级的敬畏。

没有建立起一个居主导地位的科学知识体系，或使该体系包含具有广泛综合性的细节，这种状况在埃及和巴比伦天文学中也很明显。经过长达数千年的观察，天文学竟然没有发展出与之相适应的理论，以便对这些观察进行系统的详细阐述。

在建造金字塔和神殿过程中大量运用数学知识的事实，一直被作为古代数学具有精深内容的证据。有些学者指出，金字塔底边每条边的长度几乎完全相等，而每个基底直角都非常接近90°。不过，要得到这样的结果需要的并不一定是数学家，更需要的是细心和耐心。高超的计算大师不一定是伟大的数学家，金字塔建造者同样也不一定是伟大的数学家。他们的工作令我们惊奇的是，如此大规模杰出工程的组织和管理。

从现代观点来看，埃及和巴比伦数学还有一个重要的缺陷：结论都由经验来确定。如果考察一下埃及人和巴比伦人获得公式的方法，我们就会对这一缺陷理解得更为深刻。

现在这位农民陷入了困境。如果他了解一些算术知识的话，他可能会试试面积为100平方英尺的地块的各种各样的尺寸，然后从中选出具有最小周长的那一块来。但是由于所有可能的情形是无穷的，因此他不可能全部都拿来试试；因此他不可能做出最好的选择。一个聪敏的农民可能注意到，长、宽两者越接近相等时，则所需要的周长越小。然后他可能假设，长、宽均为10英尺×10英尺的那块地具有最小的周长。虽然他不能肯定这一点，但是，通过反复试验，他都得出了相应的结论，即所有给定面积的长方形中，正方形具有最小周长。

无疑，这个农民将会利用这一猜想，而且由于算术知识和接连不断的关于长方形的经验支持了这一结论，因此这一结论将会作为一种可靠的数学知识记载下来，并传授给后代。当然，这绝不意味着这一结论被人接受了，而且任何学习数学的现代学生都不会按这种方式去“证明”它。对于这种古代获得数学知识的方法，最好的结论只能是：耐心代替了聪颖。

古代数学的另一方面也应该引起我们注意。为了利用学问达到自己的目的，祭司们垄断了所有的学问，包括数学。知识给予他们以权力，通过垄断知识，他们减少了其他任何人向他们的权力挑战的可能性。而且，无知是恐惧的根源，人们都因恐惧而求助于统治者来教育并庇护他们。这样，祭司们巩固了自己的地位，而且能够维持他们对人民的统治。巴比伦和埃及的祭司统治，与没有僧侣阶级统治的文明比较起来，显得非常不利于文化发展。我们将看到，在希腊人兴起的几百年里以及近现代的几百年时间内所获得的知识与进步，比起这两个古代文明数千年内所获得的成就，多得无法估量。

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(1) 环地中海东部的国家，包括土耳其和北非，与远东、中东有区别。——译者注

(2) 中国古代则称为勾和股，亦与腿有关。——译者注

(3) 射手座（Sagittarius），黄道带第九宫，11月22日－12月20日，双鱼宫（Pisces），黄道带第十二宫，2月20日－3月20日。——译者注

(4) 1平方英尺＝9.290304×10^-2平方米。——译者注

(5) 1英尺＝0.3048米。——译者注