《绳法经》中的数学

第一节　《绳法经》中的数学

《绳法经》中最重要的内容是祭坛的建造问题，作者利用绳子和竹竿给出固定的测量法则。其中的数学知识比较零碎，但足以说明在成书年代印度数学家已有很出色的成就了。

祭坛的建造遵照一系列严格的指令，其方向必须要顾及东西南北，地基必须具有标准的形状，例如边长之比为已知的等边梯形。所有祭坛的地基分为两大类，一类是面积成整数比的正方形，另一类则是等积的各种多边形。这需要相应的几何作图知识——直角、正方形、整数边直角三角形和梯形的做法，以及从面积为a的正方形出发作面积为na的正方形，把直角三角形改为等积的正方形等等，在这里毕达哥拉斯定理得到广泛应用。

《绳法经》中利用了下列几种具整数边长的直角三角形及其相似形：

3　4　5

5　12　13

8　15　17

7　24　25

12　35　37

15　36　39

以及与这些三角形等积的梯形。《绳法经》中介绍了如何用线绳和竹竿拉出直角。

利用毕达哥拉斯定理可以由已知正方形作面积为其2倍、3倍以至n倍的正方形。进一步作面积等于两个不等积正方形面积之和＃a²＋b²的正方形。阿帕斯坦巴把作图法则叙述为：“拼合两个不等积正方形，在大正方形的边上截取等于小正方形边长的线段，经过此平面区域斜拉绳子，则两个正方形合在一起。”

《绳法经》中还有求面积等于两个已知正方形面积之差的正方形的问题。为此，以点A为中心，以大正方形边长为半径在底边CB上截取线段CD，则

CD²＝b²－a²

毕达哥拉斯定理还可用来把已知矩形改为等积的正方形。首先在边长AB＝a，AD＝b的矩形中分割出正方形ABFE，使其面积等于a²；用直线HG平分余下的部分EFCD；在BF上作矩形BIKF使与矩形EFGH全等，则原矩形ABCD与磬折形AIKFGHA等积，它的面积等于两个面积已知的正方形AILH与FKLG之差，这就完成了此问题的作图。

具有整数边直角三角形的做法引起后世印度学者的兴趣，婆罗摩笈多和马哈维拉建立了一般的法则。这在中国和希腊是早已知道的事实。在印度，这个问题始终与建筑学方法联系在一起。

在这个表达式中使用了单位分数，而分母只重复使用3和4两个数字，其数值在1．4142157和1．4142156之间。《绳法经》中没有说明如何得到这个独具匠心的表达式。这个表达式使我们联想到巴比伦人早就熟悉的迭代方法。由此推测，在《绳法经》时代印度学者和巴比伦学者之间可能已有某些联系。