基于交易者数量的连续时间模型

假设市场中存在知情交易者和不知情交易者，知情交易者根据价格与真实价值之间的差来进行交易，而这里的不知情交易者主要指的是不知情的高频交易者，其根据市场状况来选择当前的交易策略。类似于Schmidt(2000)，买入交易者数量和卖出交易者数量的连续时间动态模型为:

其中，n+和n-分别为t时刻买入交易者数量和卖出交易者数量，ρ+和ρ-为随机项，R+1和R-1分别表示一部分交易者由于已经完成交易将停止交易，暂时离开市场，R+1和R-1的表达式为:

(83)R+1=R-1=-6n+n-，6＞0　(8-3)

其中，R+2和R-2分别表示一部分新的交易者被当前市场交易者的影响而介入交易，R+2和R-2的表达式为:

R+2=R-2=a(n++n-），a＞0 　(8-4)

其中， 分别表示当知情交易者观察到真实价格Pf与当前市场价格P存在价差，从而介入市场，我们假设市场是有摩擦的，价格变化越快交易成本越高， 的表达式为:

分别表示不知情的高频交易者根据当前的市场状况(n+和n-)来判断是否介入市场。设OI=n+-n-，高频交易者能够观察到指令流不平衡OI，并且根据OI动态调整策略。形如:

函数F(*)主要依据是在第8.1节中介绍的目前市场上较为主流的三大类交易系统。函数F(*)需要满足:①在观察到｜OI｜较小时(｜OI｜≤σ)，高频交易者主要采用的是“高抛低吸”的负反馈交易策略；②当｜OI｜超过σ后，羊群效应开始出现，高频交易者采用跟随趋势的正反馈交易策略；③当｜OI｜继续增大，超过某一数值后(OI＞λ)，不少交易者开始进行“反转交易”策略。我们使用如下函数形式来描述不知情交易者的交易行为，形式如下:

其中， 存在三个稳定平衡点，分别为OI=-λ，0，λ上，另有两个不稳定平衡点，分别为OI=-σ，σ；其次，在OI∈(-σ，+σ)上与OI负相关，且在存在极大值；在与OI正相关，且在OI3，4存在极大值；在OI∈(-∞，-λ]∪与OI负相关，且不存在极大值。容易得到｜F(OI1，2)｜＜｜F(OI3，4)｜，表明OI在较小区间内(-σ，+σ)波动时，高频交易者的负反馈交易效应较小，而在较大区间内(-λ，-σ]∪[+σ，+λ)波动时，高频交易者的正反馈交易效应较大。

图8-3 示意图

需要说明的是，有文献将不知情的交易者同时分为激进的不知情交易者和保守的不知情交易者。此类方法牵涉到报价单信息，理论认为，激进的交易者主要采用市单进行交易，主要扮演流动性的需求方，而保守的交易者主要采用限价单进行交易，主要扮演流动性的供给方。交易者的激进程度确实对市场流动性会造成很大的影响，而本书主要讨论的对象是高频交易者，有别于普通交易者和算法交易者，高频交易者的交易策略(在允许一定的滑点范围之内)往往采用市单进行交易，因此本书忽略报价单信息，只考虑当前市场交易者的交易方向，并且认为任何交易进入市场后都会立即成交。

最后，为闭合上述系统，必须给出价格P与OI的关系，假设价格的一阶导数和指令流不平衡呈线性关系，直观上，一定量的买入/卖出净指令流就会引起价格向上/向下一定的变化，函数形势如下:

综上，我们可以得到以下微分方程组:

通过对初始条件的设定，研究微分方程组的解形式就能研究在股市暴跌发生时从发生初期到结束的形成过程及其传导机制。