双区域交易模型

4.3　双区域交易模型

从现在开始,模型开始引入第二个农村地区,实现模型假定1的情况。与单区域模型相比,双区域模型会得出更多有价值的结论。一旦考虑农村地区1和2之间的交易成本,问题就显得较为复杂了。交易成本使得地区之间的每种产品的价格各不相同,假定产品A在农村地区1、农村地区2和城市的价格分别为P_A1、P_A2和P_A3;产品B在这三个地区的价格分别为P_B1、P_B2和P_B3。正是因为各地价格有高有低,才会促使各地农民分别去满足不同地区的需求。因此,地区1的农户可以分为六类,第一类农户生产产品A并供应本地,第二类农户生产产品A并供应对方,第三类农户生产产品A并供应城市,第四类农户生产产品B并供应本地,第五类农户生产产品B并供应对方,第六类农户生产产品B并供应城市,这六类农户所占的比重分别为s₁、s₂、s₃、s₄、s₅、s₆。同样,地区2的农户也相应地划分为这六类,各类的比重分别为r₁、r₂、r₃、r₄、r₅、r₆。因为涉及的参数多达12个,每个参数都有取零和不等于零两种,所以角点解的数量为2¹²=4096,好像无法沿袭原来的思路进行分析和比较。为此,先证明以下两个命题,以简化局面。

命题1:在地区1和2,同一种产品不可能同时在对方地区销售,即:s₂和r₂必有一个为零,s₅和r₅必有一个为零。

该命题的证明很简单:作出反设,以产品A为例,从地区1的角度而言,在本地的价格为P_A1,到地区2销售的价格上升为P_A2=t₁P_A1;从地区2的角度而言,本地销售价格为P_A2,到地区1销售的价格上升为P_A1=t₁P_A2。所有等式不可能同时成立,因而命题得证。

命题2:在均衡条件下,任意一个地区,不可能在从其他地区进口某种产品的同时又向城市出口同一种产品,即:s₃和r₂必须有一个为零;r₃和s₂必须有一个为零。

这个结论显而易见。地区i向城市供应产品A,按照前文的假定,P_A3= tP_Ai;而它又从对方进口产品,所以又有P_Ai=t₁P_Aj。对于地区j生产A产品的农户而言,在同样产量的情况下,他们直接供应城市获得的收益为P_A3-C₂(X₂);供应地区i获得的收益为P_Ai-C₂(X₂),后者更小,农户会不断地向前者移动,直到最后剩下的全部是供应城市的农户,地区i不能得到对方的供应。

在证明以上两个命题之后,再分三种情形来分析两地区模型的情况。

4.3.1　农村地区内部无交易成本的情形

模型首先放松假定3,考虑一种简单的情形,假定农村地区1和地区2之间的交易是无成本的。那么,问题其实非常简单,在这种情况下,两个地区相当于出现了一个人口规模达到n₁+n₂的地区而已。最后的结果仍然如(4.7)式所示,只不过把式中的n₁替换为n₁+n₂即可。至于这种替换会造成何种影响,其实已经在前文关于n₁的比较静态分析部分给出。最后的结果仍然是,一半的农户专业生产农产品A,另一半的农户专业生产农产品B,所有兼业化的农户全部淘汰。由于地区之间无交易成本,所以,这些专业化的农户在地理上如何分布并不重要。可以说,如果n₁=n₂,地区1完全生产产品A,地区2完全生产产品B也是均衡的可能之一。

4.3.2　农村地区相互隔绝的情形

此情形相当于农村地区1和2之间的交易成本无穷大,在现实生活中,大体上相当于两个地区在空间上相距较远的情形。由于相互隔绝,所以每个地区都必须实现A、B两种产品的自给自足,在此基础上,两个地区再去满足城市中的需求。此种情形又可以按照专业化程度细分为三种:第一种是每个地区为城市提供一种产品;第二种是某个地区只为城市提供一种产品,另外一个地区提供两种产品;第三种情况是每个地区都为城市提供两种产品,相互之间在城市展开竞争。三种情形的专业化程度依次递减,我们的思路是试图给出第一种情况下的均衡结果,并证明后两种均衡是非稳定的。

不失一般性,可以把第一种情形设定如下:地区1为城市供应产品A,地区2供应产品B。因此,地区1有三类农户:生产产品A供应本地,生产产品A供应城市,以及生产产品B供应本地,三类农户所占比重假定为(1-α)s₁、αs₁和s₂,自然有s₁+s₂=1。地区2也有三类农户:生产产品A供应本地,生产产品B供应本地,以及生产产品B供应城市,三类农户所占的比重假定为r₁、(1-β) r₂、βr₂,当然也自然有r₁+r₂=1。产品A在地区1、地区2和城市的价格分别为P_A1、P_A2、P_A3,产品B在三个地区的价格相应为P_B1、P_B2、P_B3。

在城市地区,产品A供给等于需求的表达式为:αs₁n₁=μn₃I₃/P_A3;　　　　　(4.8)

在城市地区,产品B供给等于需求的表达式为:βr₂n₂=μn₃I₃/P_B3;　　　　　(4.9)

在地区1,产品A供给等于需求的表达式为:(1-α)s₁n₁=μs₂n₁I₁/P_A1;　　　(4.10)

在地区1,产品B供给等于需求的表达式为:s₂n₁=μs₁n₁I₁/P_B1;　　　　　　(4.11)

在地区2,产品A供给等于需求的表达式为:s₂n₁=μs₁n₁I₁/P_B1;　　　　　　(4.12)

在地区2,产品B供给等于需求的表达式为:r₁n₂=μr₂n₂I₂/P_A2。　　　　　　(4.13)

在地区1,三类农户的收益分别为: R₁₁=P_A1;R₁₂=R_A3-C₂(αs₁n₁);R₁₃=P_B1。在均衡时,有:R₁₁=R₁₂=R₁₃,即,

在地区2,三类农户的收益分别为:

R₂₁=P_A2;R₂₂=P_B2;R₂₃=P_B3-C₂(βr₂n₂)。在均衡时,同样有:R₂₁=R₂₂= R₂₃,即,

把式(4.8)～(4.15)联立起来,共有10个方程,因为式(4.14)和(4.15)中各有两个等式,另外再加上s₁+s₂=1和r₁+r₂=1两个等式,共有12个方程,解12个未知数,包括产品A在三地的价格(P_A3、P_A2、P_A1)、产品B在三地的价格(P_B3、P_B2、P_B1)、地区1三类农户所占的比重(s₂、s₁、α)和地区2三类农户所占的比重(r₂、r₁、β)。变量个数等于方程个数,可以解出这12个变量的具体数值⁽⁸⁾。

现在来考虑第二种情形。假设在第一种情形的基础上,地区2同时向城市供应产品A和B,那么,地区2的农户分为了四类:生产产品A供应本地,生产产品A供应城市,生产产品B供应本地,以及生产产品B供应城市,四类农户所占的比重假定为(1-λ)r₁、λr₁、(1-β)r₂、β_r2(r₁+r₂=1)。地区1各类农户的划分不变。

与第一种情形相比,城市中产品A的供求方程发生了变化,它修改为:

与修改前的等式(4.8)相比,因为有竞争者的加入,P_A3出现了下降。利用均衡条件下地区1各类农户收益相等的条件,即式(4.14),可以肯定P_A1、P_B1均会下降,这表明各类农户的收益均递减。

在地区2,产品A供给等于需求的表达式改变为:

与式(4.12)比较,P_A2下降;再根据均衡条件下地区2各类农户收益相等的条件,即式(4.15),可以得出P_B2和P_B3也会下降。

目前的推导已经看出,由于地区2在原来只向城市供应产品B的基础上再供应了产品A,导致所有市场上的所有产品的价格水平出现了下降,根据前面分析的两个农村地区各类农户收益水平的等式,可以看出,两个地区各类农户的收益水平也纷纷下降。我们把这个逻辑起点颠倒过来,即:如果在第二种情形之下,地区2原来向城市供应产品A的农户只要有少数(哪怕是一个非常小的比例)转向生产产品B,那么,两个地区所有农户的收益水平都会不断提高。这个过程一直要到地区2放弃向城市供应产品A为止,即重新回到了第一种情形。这就意味着,第二种情形下的均衡是不稳定的,它会逐渐向第一种情形过渡。

类似的逻辑可以用来分析如果地区1在原来的基础上向城市供应产品B的情形,以及地区1、地区2同时向城市供应产品A和产品B的情形。结论是完全一致的,即:这种变化使得两个地区各类农户的收益全部下降,从而决定了这些变化后形成的均衡不可能是稳定的。由于第一种情形是专业化分工水平最高的,所以,我们也就证明了可以实现专业化对兼业化的替代,从而推进两个地区的水平分工,保证分工地区只是向城市供应一种产品,在一个更大的空间范围上实现水平的分工,这为农业产业区的形成奠定了基础。

4.3.3　农村地区之间存在着一定的交易成本

与两个地区完全没有交易成本和完全隔绝的情况相比,地区之间存在着一定的交易成本是一种更加一般的情形。这在现实生活中对应着两个比邻的农村地区如何实现分工的问题。

由于命题1和命题2成立,所以现在能够构成均衡的只有两种情形。第一种情形是:特定的农村地区只生产特定的一种产品,然后供应其他地区。第二种情形是:某个地区生产两种产品,并向其他地区供应某种产品(可能是产品A,也可能是产品B。换言之,它其实可以再具体分为两种情形);而另外一个地区生产另外一种产品并供应其他地区。毫无疑问,第一种情形的专业化程度更高。我们分析的思路和上一部分相似,先是解出第一种均衡的情况,再证明第二种情形的均衡是不稳定的。

不失一般性,假定第一种情形为:地区1生产产品A供应其他地区,注意到前文所做的假定,因为地区1所有农户都生产产品A,每个农户都没有对产品A的需求,所有地区1的农户只分为两类:供应地区2和供应城市,假定两类农户的比重为s₂和s₃;地区2生产产品B供应其他地区,同样是存在着供应地区1和城市的两类农户,它们所占比重分别为r₂和r₃。由于没有P_A1和P_B2,原来存在着的P_A3、P_A2和P_A1,以及P_B3、P_B2和P_B1之间的关系不复存在。

地区1产品B供给等于需求的表达式为:r₂n₂=μn₁I₁/P_B1(4.18)

地区2产品A供给等于需求的表达式为:s₂n₁=μn₂I₂/P_A2(4.19)

城市地区产品A供给等于需求的表达式为:s₃n₁=μn₃I₃/P_A3(4.20)

城市地区产品B供给等于需求的表达式为:r₃n₂=μn₃I₃/P_B3(4.21)

均衡时地区1两类农户收益相等的表达式为:

均衡时地区2两类农户收益相等的表达式为:

成本函数的形式如前之假定,即:C₂(X)=F/X。

上述(4.18)到(4.23)式,外加s₂+s₃=1,r₂+r₃=1两个等式,共8个等式,联立成方程组,求解8个未知数(P_A3、P_A2、P_B3、P_B1、s₂、s₃、r₂、r₃)。最后解得:

在此基础上,可以整理得到均衡条件下的收益情况:

现在来分析第二种情形。先假定在上述分析的基础上,地区1内部极小部分(边际意义上的极小)原来生产A供应地区2的农户转向了产品B的生产,并且把产品B留在当地销售。这意味着s₂减小,而其他数不变。从式(4.25)可以看出,R₁₂会上升(其背后的道理是:地区1产品A的供给减少,而需求却为此不变);相反,R₁₃却没有发生变化,从而在两类农户之间出现了收入的差距。根据前面的假定,会有一部分农户从生产产品A供应城市转向供应地区2,s₂又会重新回到原来的数值,从而说明这种偏离是不稳定的⁽⁹⁾。

同样的道理,如果出现其他偏离的情况,比如地区1偏离的农户生产产品B供给城市,地区2出现了生产A的农户等,最后都不能构成新的均衡。如果把逻辑倒过来,原来是在某个地区生产两种产品而另外一个地区生产一种产品,或者是两个地区都生产两种产品,但是它们都不足以构成均衡,最后的均衡结果只能是每个地区都只生产一种产品。这个过程,也就是专业化分工的过程,它代表了水平分工的深化。

4.3.4　比较静态分析

农村两个地区之间存在着一定的交易成本是一种更为一般的情形,故而,我们准备以它的结果来进行比较静态分析。

4.3.4.1　城市因素的影响

在本章构筑的模型中,城市因素主要用了两个方面加以刻画:人口规模n₃和城市居民收入水平I₃。现在以农村地区之间存在一定交易成本的一般情形来进行分析,n₃和I₃在模型分析结果中处于相同的位置,对结果的影响也是一样的。从(4.24)式中可以看出,如果n₃或(和)I₃增加,那么,s₃和r₃相应增加,即,两个地区为城市供应产品的农户数量增加。当然,这也意味着供应本地的农户数量、产品数量减少,即s₂和r₂下降,从式(4.18)、(4.19)可以看出,当地农户消费的农产品价格因为供给的减少而上升。至于城市产品的价格,其变化情况较为复杂,把(4.23)式中的s₃代入式(4.20),得到:,把P_A3对(n₃I₃)求导数,可以发现,其是否大于零是不确定的,这也就意味着它的变化是不确定的。再根据式(4.22)和(4.23),可以得出,n₃和I₃增大后,各类农户收入是否增加也是不确定的。

4.3.4.2　农村因素的影响

农村地区因素主要用人口规模和居民收入水平刻画,同样以农村地区之间存在一定交易成本的一般情形来进行分析,先分析农村地区1中n₁和I₁的影响。n₁和I₁在模型分析结果中处于相同的位置,对结果的影响也是也一样的。如果n₁和(或)I₁增加,从式(4.24)可以看出,为地区2生产产品的农户所占的比重r₃减小,会有一部分农户转向生产产品B供应城市,由于城市供给的增加,使得地区2生产的产品B价格下跌,地区1两类农户的收入均出现下降。另一方面,从式(4.19)和(4.20)看到,如果地区1人口数量出现下降,意味着无论是对城市还是对地区2的产品A的供给均会出现下降,这使得两地的产品价格均出现上升,从而使得地区1两类农户的收益均得到扩大。由此再一次看出,人口相对较少的地区反而更容易从专业化分工中受益。

4.3.4.3　开放因素的影响

可以从两地之间交易费用的大小来分析开放因素的影响。如果F值很大,说明城市和农村之间、农村地区1和地区2之间交往起来并不是太方便;反之则反是。从(4.25)和(4.26)式可以轻易地发现,F值的降低会使得两个地区的各类农户收益得到提高。至于对于各类农户所占比重的影响却是不确定的,这可以从式(4.24)中看出。