图及其连续模型

4.1　Lexis图及其连续模型

Lexis图是用于分析人口演变的一种很简便的方法（见图4.1），它的特点是：

图4.1　Lexis图

①一个固定的时间点由一条垂线表示，在该时点的人口总数等于与该垂线相交的平行直线段（每条代表一个个体）的条数。

②一个固定的年龄由一条水平线表示，如果与某个个体相联系的直线段与处于x₀岁的水平线相交，那么，该个体在x₀岁时是群体的一个成员。

③由于每经过一个时间单位，所有人的年龄也增长相同的单位，所以，他们沿着向右下的45°路线移动。在t时间达到年龄x的成员的出生时间为u＝t－x，在Lexis图中用x与t作为坐标，而以后将经常使用变量x与u。

图4.1描述的是劳动人口随时间演变的过程。图中，个体加入劳动大军的进入点（以进入时间与进入年龄为坐标）是与该个体相联系的直线的一个端点，另一端是退出点（以退出时间与退出年龄为坐标），表示该个体退出劳动大军。此时图中表示的是，在相对于现在（t＝0）的过去时间t＝－25，有3个在职劳动人口。现在（t＝0）有2个在职劳动人口。图中的虚线段就表示现在的2个在职劳动人口的预期寿命。

假定群体人口的增加源于出生，而减少则由于死亡。在时间u的出生密度函数记为b（u），即b（u）du是时间u与u＋du之间的出生数。在时间u出生者的生存函数记为s（x，u），称为世代生存函数。定义

称为人口密度函数。对函数l（x，u）的解释可借助于连续形式的Lexis图（见图4.2）。

图4.2　l（x，u）的解释

在l（0，u）du＝b（u）du个于时间u与u＋du之间出生的新生儿中，l（x，u）du个活到x岁。令t＝x＋u，则dt＝du，前一表达式可解释为：

于是在时间t₀与t₁之间达到x岁的人数为

设x₀＜x₁为两个年龄，t₀是给定的时间。现在考虑另一个问题：在时间t₀有多少个年龄介于x₀与x₁岁之间的活着的生命。这些生命必定在时间t₀－（x₁－x₀）与t₀之间已达到x₀岁，并且活到时间t₀（见图4.3）。

图4.3　在时间t₀介于x₀与x₁岁的人口数

其中，在时间t与t＋dt之间达到x₀岁的人数为l（x₀，t－x₀）dt，这些人中活到时间t₀的人数为

于是所求人数为

作变量代换x＝x₀＋t₀－t，积分可写成

由此可得以下解释：

l（x，t₀－x）dx＝在时间t₀年龄介于x与x＋dx之间的人数。

在时间u出生的生命在x岁时死亡效力为

这一定义可以理解为图4.4所作的三种解释。

①l（t－u，u）μ（t－u，u）dudt＝在u与u＋du之间出生的那些人中死于时间t与t＋dt之间的人数。

②作代换x＝t－u，我们有l（x，t－x）μ（x，t－x）dtdx＝在时间t与t＋dt之间死于年龄x与x＋dx之间的人数。

③作代换x＝t－u，我们有l（x，u）μ（x，u）dudx＝在时间u与u＋du之间出生的那些人中死于年龄x与x＋dx之间的人数。

图4.4　人口密度乘以死亡效力的解释