基于成本视角的模型

在分析风险投资与在位企业之间的成本关系时，将其分为3种情况进行探讨，分别是成本函数相同、固定成本函数不同和可变成本函数不同。在可变成本函数相异时，还进一步区分了寡头市场和完全竞争市场对均衡的影响。本章使用逆推法求解模型均衡，接下来的部分首先分析成本函数相同时的模型。

假定个体是风险中性的，生活两期，消费对象为最终商品。个体的收入依赖于所从事的职业，如果作为一个工人，则会拥有一个确定的收入，作为一个创业家，收入就是不确定的，此时收入将会依赖企业的成功与否。给定第1期的收入，储蓄将由个体i按照第1期和第2期生命周期的消费水平来确定。对t期出生的人来说，c1，t代表年轻时候的消费，c2，t＋1代表老年时的消费，R＝1＋r代表储蓄的收益率，r代表利率。因此可以得到时间t对应的总消费为：Ct＝Nt－1c2，t＋Ntc1，t，N为人口数；时间t的总收入可表示为：Yt＝Nt－1s2，t＋Nty1，t。

最优化求解可得

　（4-1）

假设产品市场的利润函数有以下特征：

假定

假定1表明收购企业的产品市场利润是创新投入资本的严格增函数，而其竞争对手则是创新投入资本的严格减函数。

假设拍卖实行一级密封价格拍卖，I个在位企业同时出价，风险投资接受或者拒绝。假设每个在位企业出价bi，i∈I，均衡收购价格为PD*，则在位企业获得成熟创新的价值为

DVⅱ＝ΠA（K）－ΠNA（K）　　　　　　（4-2）

DVⅱ下标的第1个字母指一个在位企业的购买者，第2个下标表示备选的另一个在位企业购买者。ΠA（K）是指一个在位企业拥有创新时的利润，ΠNA（K）指如果被竞争对手获得创新时该在位企业可以获得的利润。

因为在位企业事前是对称的，它们获得成熟创新的价值因而也是一样的，据此可得出如下命题：

命题1：在成熟创新拍卖阶段，成熟创新由一个在位企业以价格PD*获得，购买价格等于在位企业获得成熟创新的价值，即PD*＝DVⅱ。

证明：假设均衡时在位企业im获得成熟创新的出价为bim，如果出价bim＞DVⅱ，则在位企业im将获得成熟创新，但此时出价高于创新价值，企业的净收益为负，因此这个价格是一个占劣策略，因为没有人会出价高于获取创新的最大值。如果出价bim＝DVⅱ－ε，在位企业in将会从出价bin＝bim＋0.5ε中受益，因为这时它获得创新的净收益为DVⅱ－bin＝DVⅱ－（DVⅱ－ε＋0.5ε）＝0.5ε＞0，此时其他在位企业仍然可以通过偏离bin来获取收益，直到最后一个在位企业出价＝DVⅱ，这时将没有人有激励偏离该价格，因此是一个纳什均衡。

由于创业家基础创新的拍卖对象为在位企业和风险投资，所以基础创新的开发相应地存在在位企业和风险投资两种可能性，接下来将分别探讨。

（1）在位企业获得基础创新时。假设在位企业的成本函数C（K）是严格凸的，满足C′（K）＞0，C″（K）＞0，此时在位企业面临的最优化问题为

（ΠA（K）－C（K））　　　　　　　　（4-3）

假定ΠA（K）－C（K）是K的严格凹函数，在位企业的最优选择为

　　　　　　　　　（4-4）

（2）风险投资获得基础创新时。在发展基础创新时，风险投资支持的企业将会最大化发展创新的净销售价格PD*（K）－C（K）。假定风险投资支持的企业和在位企业在发展创新投资时，都面临同样的投资成本函数C（K），此时最优化问题可表述为

（PD*（K）－C（K）），PD*（K）＝DVⅱ＝ΠA（K）－ΠNA（K）　（4-5）

一阶条件

　　　　　（4-6）

假定ΠA（K）－ΠNA（K）－C（K）在K上是一个严格凹的函数，最优的K表示为。由假定1，＞0，＜0，所以－＞。由图4-2可以看出，风险投资进行投资的边际收益曲线要高于在位企业进行投资的边际收益曲线。由于假定风险投资和在位企业的成本函数是同样的，所以边际成本曲线C′（K）相同。据此可得出均衡时风险投资的投资规模将大于在位企业的投资规模，即有。导致该结果的原因在于，风险投资进行投资时，考虑的是成熟创新的并购价格，而并购价格不仅取决于在位企业获得的利润，而且还包含了对非并购企业的负外部性，从而使得风险投资与在位企业相比，有更大的激励发展基础创新。

图4-2　发展基础创新的最优投资规模

命题2：当在位企业和风险投资发展基础创新的成本函数一样时，则风险投资支持的企业在发展基础创新时的最优投资规模要高于在位企业发展的最优规模，即。

将基础创新的价值表示为BV。首先，BVⅱ是在位企业获得基础创新，否则将被竞争对手的在位企业获得所包含的价值，可以表示为

因此，BVⅱ是并购者的净利润和非并购者利润的差额，其值可由并购者最优投资估算得到。

其次，令风险投资评价的基础创新价值为BVV，其值等于成熟创新的卖价减去投资成本。根据命题1有PD*＝DVⅱ。因此，基础创新为风险投资获得时的价值为：

因为风险投资最大化在位企业创新价值的净值ΠA－ΠNA，否则在位企业的竞争对手将会获得创新，因此BVV＞BVⅱ。

在这种情况下，为了获得基础创新，在位企业将会比风险投资愿意支付的价格更高，目的是为了避免当风险投资获得基础创新之后，进行的过度投资（相比于在位企业）。

BViv＞BVv之所以成立，是因为最大化了并购者的净利润ΠA（K）－C（K），而，所以。因此，可以建立起以下的基础创新价值顺序：

BViv ＞ BVv ＞ BVⅱ

使用这个顺序关系可以得出基础创新的均衡所有权。

命题3：在基础创新拍卖阶段，基础创新会由一个在位企业以等于风险投资购买基础创新价值的价格获得，即PB*＝BVv。

命题3成立是因为在对称的风险投资家之中进行竞价，暗示着均衡价格不可能低于BVv；另一方面，也没有风险投资家有激励出高于BVv的价格。因此，在均衡时，可以认为一个在位企业出价BVv，第2高价格为一个风险投资家的出价BVv－ε，ε为一个无穷小的值。此时，在位并购企业也没有激励偏离到一个更低的价格。

说明直接收购基础创新比在后面收购成熟创新对在位企业有利。因此，基础创新将为在位企业所购得，并且在其后的阶段投资发展为成熟创新。

这里将创业家E所拥有的新颖的创新规划设想，甚至是已经有了初步的创新成果如专利，统称为基础创新。同时假定基础创新不能直接使用，必须将其发展为成熟创新之后才能进入产品市场。

在基础创新诞生阶段，创业家E必须花费努力e才可能得到基础创新，这种努力可能成功也可能失败，但基础创新成功的概率Pr（e）是努力e的增函数，e∈［0，1］，假设Pr（e）∈［0，1］，Pr′（e）＞0，Pr″（e）＜0。另外，创业家的努力也是需要成本的，假设创业家面临一个递增和凸的成本函数x（e），x′（e）＞0，x″（e）＞0，此时创业家面临的最大化问题为

一阶条件

二阶条件

因为Pr″（e）＞0，x″（e）＜0，所以，因此满足一阶条件的e*就是创业家最优的努力水平。根据一阶条件可以表述以下命题。

命题4：在基础创新诞生阶段，创业家的均衡努力水平e*决定了基础创新成功的概率，这个概率随着基础创新的并购价的提高而相应增加，即。

证明：由一阶条件可以推出，Pr′（e*）PB*－x′（e*）＝0，e*是PB*的函数，所以e*可表示为e*（PB* ），代入一阶条件得

Pr′（e*（PB* ））PB*－x′（e*（PB*））＝0

两边对PB*求导，整理可得

可以看出，在位企业会抢占基础创新，因为对在位企业来说，风险投资发展基础创新的投资过多。但是在有风险投资存在时，在位企业为了获得基础创新时付出的代价更高。根据之前的分析，当没有风险投资时，在位企业愿意支付的基础创新价格为BVⅱ，有风险投资时，支付的基础创新价格变为BVv，因为BVv＞ BVⅱ，表明风险投资的存在提高了基础创新的卖价。

命题5：虽然风险投资没有获得基础创新，但风险投资的存在增加了基础创新的卖价，因为，所以基础创新价格的提高会增加创业家的努力程度，提高基础创新的成功率，最终带来更多的创新。

假设个体是风险中性的，个体可以在创业或者工人之间进行职业选择，如果成为工人，可以获得稳定的收入ω，为了简便，将工人的努力成本标准化为0。如果成为创业家，收入就是不确定的，如果基础创新成功，则可以将基础创新以PB*的价格进行销售；如果基础创新研发失败，则收益为0，并且开发基础创新时需要付出成本x（e），成本函数是递增和严格凸的x′（e）＞0，x″（e）＞0，假定基础创新研发成功的概率为Pr（e）。根据这些条件，个体成为创业家时的净收益为

Pr（e）［PB* －x（e）］＋（1－Pr（e））［0－x（e）］＝Pr（e）PB*－x（e）

因此，个体进行职业选择时，即是要比较创业和工人的净收益关系，具体而言：

Pr（e）PB*－x（e）＞ω，创业家

Pr（e）PB*－x（e）＝ω，创业家或工人

Pr（e）PB*－x（e）＜ω，工人

进一步，在成为创业家时，努力的边际收益MR（e）＝Pr′（e）PB*，努力的边际成本MC（e）＝x′（e）（见图4-3）。当基础创新的销售价格上升时，努力所获得的边际收益相应增加，在图形上就表现为MR1向上移动到MR2。此时，最优的努力水平也相应的从e1增加为e2，进一步可以推出努力水平为e2时的利润水平Pr（e2）PB*－x（e2）＞e1时的利润水平Pr（e1）PB*－x（e1），再由之前个体职业选择的条件，在维持工人工资水平不变的情况下，创业家收益Pr（e）PB*－x（e）的提高，将会使个体选择创业的人数增加，进而使得创新的数量增加。

图4-3　创业家的最优努力程度

综合以上内容，当风险投资市场存在时，会使得基础创新的价格提高，价格提高会反过来促进创业家的努力程度，从而使得基础创新成功的概率增加。不仅如此，基础创新价格的提高，使得创业更加有利可图，从而增加了总体人口中选择创业的人口数量，并最终促进创新增长。

经验研究（如Hellmann和Puri，2002）显示，风险投资擅长专业技术知识，在人力资源管理、市场开拓规划、社会关系网络等方面具有优势，并且风险投资往往是行业和管理专家。与在位企业相比，风险投资对新企业的了解更多，监控企业的能力更强。但在其他情况下，在位企业也可能会更具有成本优势。为了捕捉在位企业和风险投资之间的成本差异，假定在将基础创新发展为成熟创新时，在位企业和风险投资资本投资成本存在差异，这种差异可以是固定成本的差异，也可以是可变成本的差异。首先分析固定成本存在差异的情形，然后分析可变成本存在差异的情形。

令在位企业的固定成本为Fi，风险投资的固定成本为Fv，同时假定可变成本C（K）是一样的。此时基础创新的价值为

当在位企业获得基础创新时，面临的最优化问题为：C（K）－Fi），在位企业的最优选择为。

当风险投资获得基础创新时，最优化问题可表述为

一阶条件

由假定1，＞0，＜0，所以。由图4-4可以看出，风险投资进行投资的边际收益曲线要高于在位企业投资的边际收益曲线，由于假定风险投资和在位企业的成本函数相同，所以边际成本曲线C′（K）相同。在这种情况下，均衡时风险投资的投资规模将大于在位企业的投资规模，即有。因此，固定成本的差异不会影响在位企业和风险投资发展基础创新的最优投资规模，风险投资将会投入更多的资本发展基础创新。

图4-4　发展基础创新的最优投资规模

接下来分析基础创新的所有权归属。在位企业获得基础创新再发展为成熟创新的利润为，由风险投资将基础创新发展为成熟创新之后卖给在位企业时在位企业的利润为，两者相减得

是在位企业的最优投资，所以。如果风险投资的固定成本不低于在位企业Fv≥Fi，则，此时在位企业将会购得基础创新。如果风险投资拥有更低的固定成本Fi＞Fv，将存在一个F*＝Fi－Fv，使得在位者购买基础创新和成熟创新之间无差异，即

那么，当两者固定成本的差F＝Fi－Fv＞F*时，在位企业购买成熟创新的收益更大。此时，基础创新将为风险投资所购得。概括起来，有以下3种情况：

在位企业购得基础创新

在位企业或风险投资购得基础创新

风险投资购得基础创新

（4-7）

命题6：如果均衡时风险投资获得基础创新，则说明风险投资与在位企业相比，存在一个更低的固定成本。

与成本函数完全相同的情况相比，在位企业和风险投资之间固定成本的差异使得风险投资可以存在于基础创新的融资当中。当没有风险投资存在时，在位企业以价格PB＝BVⅱ获得基础创新，并投资将基础创新发展为成熟创新。当一个有效的风险投资市场出现后，情况就发生了变化。此时，风险投资以价格PB＝BVV获得基础创新，并投资将基础创新发展为成熟创新。此时，风险投资从3方面激励了创新：第一，BVV＞BVⅱ，风险投资的存在使得基础创新的价格更高；反过来使得创业家投入更多的努力，进而带来了更多的基础创新；第二，当基础创新的价格提高时，创业相比于工人更加有吸引力，社会中选择创业的人数增加，进而导致更多的创新诞生；第三，，将基础创新发展为成熟创新的投资更多，导致了更多的成熟创新。

在可变成本假定下，讨论两种市场结构：一是寡头市场，即＞0，＜0；二是完全竞争市场，即＞0，＝0。

为了区分在位企业和风险投资可变成本的差异，令在位企业的可变成本函数为Ci（K），风险投资的可变成本函数为Cv（K）。此时基础创新的价值为

当在位企业获得基础创新时，面临的最优化问题为Ci（K）），在位企业的最优选择为。

当风险投资获得基础创新时，最优化问题可表述为

一阶条件

由假定＞0，＜0，所以。由图4-5可以看出，风险投资进行投资的边际收益曲线要高于在位企业投资的边际收益曲线，由于假定风险投资和在位企业的可变成本函数是不同的，所以边际成本曲线C′（K）也不相同。假设风险投资的可变成本更低时，则风险投资的边际成本曲线将位于在位企业边际成本曲线的下方（K）。这种情况下，均衡时风险投资的投资规模将大于在位企业的投资规模，即有。但是如果假定风险投资可变成本函数更高时，则风险投资的边际成本曲线将位于在位企业边际成本曲线的上方，如果足够高的话，比如图中的（K），此时的风险投资的投资数量将会低于在位企业，即。

图4-5　发展基础创新的最优投资规模

接下来分析基础创新的所有权归属。在位企业获得基础创新再发展为成熟创新的利润为，由风险投资将基础创新发展为成熟创新之后再卖给在位企业，对应的在位企业利润为，两者相减得

因为是使达到最大化的投资数量，因此只要，就能保证0。如果风险投资的可变成本不低于在位企业Cv≥Ci，则，此时在位企业将会购得基础创新。

当风险投资拥有更低的可变成本Ci＞Cv，将存在一个C*＝Ci－Cv，使得在位企业购买基础创新和成熟创新之间无差异，即

那么，当两者可变成本的差C＝Ci－Cv ＞C*时，在位企业购买成熟创新的收益更大。此时，基础创新将为风险投资所购得。概括起来，有以下3种情况：

在位企业购得基础创新

在位企业或风险投资购得基础创新

风险投资购得基础创新

（4-8）

命题7：如果均衡时风险投资获得基础创新，则说明风险投资与在位企业相比，存在一个更低的可变成本。

可以看到，虽然，但因为当Cv≥Ci成立时，在位企业将会购得基础创新。因此，的投资规模在均衡时不会出现。当风险投资获得基础创新，意味着风险投资发展基础创新的成本更低，此时整个社会的投资规模为，会大于在位企业的投资规模。

当没有风险投资存在时，在位企业以PB＝BVⅱ获得基础创新，并投资将基础创新发展为成熟创新。当一个有效的风险投资市场出现后，情况相应发生变化。此时，风险投资以PB＝BVV获得基础创新，并投资将基础创新发展为成熟创新。此时，风险投资从3方面激励了创新：第一，BVV＞BVⅱ，风险投资的存在使得基础创新的价格更高，反过来使得创业家投入更多的努力，进而带来了更多的基础创新；第二，当基础创新的价格提高时，创业相比于成为工人更有吸引力，社会中选择创业的人数增加，进而导致更多的创新诞生；第三，＞，将基础创新发展为成熟创新的投资更多，导致了更多的成熟创新。

如果在位企业的数量足够多，以至于每个企业的投资对其他企业产生的影响可以忽略，此时可以认为假设2：＞0，＝0成立。

在这种假设下，成熟创新的价格为

PD*＝DVⅱ＝ΠA（K）

当在位企业获得基础创新时，面临的最优化问题为：Ci（K）），在位企业的最优选择为。

当风险投资获得基础创新时，最优化问题可表述为

（PD* （K）－Cv（K）），PD*（K）＝DVⅱ＝ΠA（K）

一阶条件

由图4-6可以看出，风险投资和在位企业的边际收益曲线一样，由于假定风险投资和在位企业的可变成本函数是不同的，所以边际成本曲线C′（K）不相同。假设风险投资的可变成本更低时，则风险投资的边际成本曲线将位于在位企业边际成本曲线的下方，如。此时均衡所对应的风险投资的投资规模将大于在位企业的投资规模，即有＞。但是如果假定风险投资的可变成本函数更高时，则风险投资的边际成本曲线将位于在位企业边际成本曲线的上方，如图中的（K），此时的风险投资会产生一个更低的投资，。

图4-6　发展基础创新的最优投资规模

满足假定条件2时基础创新的价值为：

价值顺序为BViv＝BVⅱ＞BVv，此时基础创新的价格为PB*＝BVV。

接下来分析基础创新的所有权归属。在位企业获得基础创新再发展为成熟创新的利润为，由风险投资将基础创新发展为成熟创新之后卖给在位企业时在位企业的利润为，两者相减得

因为是使达到最大化的投资数量，因此只要，就能保证。如果风险投资的可变成本不低于在位企业Cv≥Ci，则，此时在位企业将会购得基础创新。

当风险投资拥有更低的可变成本Ci＞Cv，将存在一个C*＝Ci－Cv，使得在位企业购买基础创新和成熟创新之间无差异，即

那么，当两者可变成本的差C＝Ci－Cv＞C*时，在位企业购买成熟创新的收益更大，此时，基础创新将为风险投资所购得。概括起来，有以下3种情况：

在位企业或风险投资购得基础创新

风险投资购得基础创新

（4-9）

当没有风险投资存在时，在位企业以PB＝BVⅱ获得基础创新，并投资将基础创新发展为成熟创新。当一个有效的风险投资市场出现后，情况就发生了变化。此时，风险投资以PB＝BVv获得基础创新，并投资将基础创新发展为成熟创新。在＞0，＝0的假设条件下，风险投资对创新的作用将变得模糊起来。第一，BVv＜BVⅱ，风险投资的存在降低了基础创新的价格，抑制了创业家的创业努力，不利于基础创新的诞生；第二，当基础创新为风险投资获得时，将会投入更多的资本来发展基础创新，这会对创新产生正向作用。对社会产生的创新总效应将取决于这两者作用的强弱。

通过构建7阶段模型，使用逆推法求解均衡，分析了风险投资对创新的影响，得出了以下结论：

（1）当在位企业和风险投资成本函数相同时，风险投资的存在提高了基础创新的价格，价格提高会反过来增加创业家的努力程度，从而使基础创新成功的概率增加。不仅如此，基础创新价格的提高，使创业变得更加有利可图，从而增加了总体人口中选择创业的人口数量，并最终促进创新增长。但此时风险投资不会获得基础创新。

（2）当在位企业和风险投资的固定成本存在差异时。首先，成本函数相同时对创新的作用在这里都成立；其次，与成本函数相同的结果不同，风险投资在这种条件下可能购买到基础创新，并且在将基础创新发展为成熟创新的时候，与在位企业相比，风险投资将会投资更多，这会导致创新数量的进一步增加。

（3）当在位企业和风险投资的可变成本存在差异，且假设＞0，＜0成立。此时和固定成本存在差异时的结果完全一样。

（4）当在位企业和风险投资的可变成本存在差异，且假设＞0，＝0成立。这种情形下，风险投资对创新的作用变得模糊起来。首先，因为BVv＜BVⅱ，所以风险投资的存在降低了基础创新的价格，抑制了创业家的创业努力，这将不利于基础创新的诞生。另外，，意味着当基础创新为风险投资获得时，将会投入更多的资本来发展基础创新，这会对创新产生正向作用。因此，此时风险投资对创新的总效应变得不确定，最终的效应将取决于这两者作用的强弱。