资产组合预期收益与风险的衡量

资产组合是指由一种以上资产构成的集合。如果资产组合中的资产均为有价证券，则该资产组合称为证券组合。证券组合是本章重点讨论的资产组合类型。

1.资产组合的预期收益率

资产组合的预期收益率是指组成资产组合的各种资产的预期收益率的加权平均数，其权数是各种资产在整个资产组合总额中所占的价值比例。计算公式为：

公式（2－22）中，E（rp）表示资产组合的预期收益率；E（ri）表示第i项资产的预期收益率；Wi表示第i项资产在整个资产组合中所占的比例。

【例2－23】 2016年1月，一位股票分析专家预测4家上市公司股票的预期收益率如表2－6所示。

表2－6 A、B、C、D4家上年公司股票的预期收益率 ％

如果用10万元资金投资这4家上市公司，每一只股票的投入金额为25000元，计算该证券组合的预期收益率是多少：

解：

E（rp）＝0.25×12％＋0.25×30％＋0.25×15％＋0.25×8％＝16.25％

2.两项资产组合的风险度量

资产组合的预期收益率是资产组合中单项资产预期收益率的简单加权平均。但是，与预期收益率不同，资产组合的风险，即标准差σp，通常不是组合中单项资产标准差σ的加权平均，而是通常小于单项资产标准差的加权平均。前面已经分析，方差和标准差两个指标可以度量单项资产收益的变动性，而两项资产或多项资产收益之间的相互关系，通常用协方差和相关系数这两个统计指标来描述。

1）协方差

协方差 （Cov）度量的是，当一项资产的收益率上升或下降时，另外一项资产的收益率是上升还是下降，其上升与下降的幅度有多大。协方差的计算公式是：

公式（2－23）中，Cov（r1，r2）表示1和2两项资产之间的协方差；r1i－E（r1i）为第i种情况下第1项资产收益率偏离其预期收益率的离差；r2i－E（r2i）为第i种情况下第2项资产收益率偏离其预期收益率的离差；Pi为第i种情况出现的概率。公式（2－23）中1和2两项资产的前后顺序并不重要，也就是说Cov（r1，r2）等价于Cov（r2，r1）。

在协方差的分析中，协方差的正负显示了两项资产之间收益率的变动关系。

（1）协方差为正，表示两项资产的收益率呈相同方向变动，即在任何一种可能情况下都同时上升或同时下降。

（2）协方差为负值，表示两项资产的收益率呈相反方向变化，即在任何一种可能情况下都一升一降或一降一升。

（3）协方差为零，有两种可能：

①两项风险资产的收益率之间没有任何关系，因为这种情况下，两项风险资产收益率离差的乘积有正有负，相互抵消，所以协方差为零。

②两项资产中至少有一项为无风险资产，因为无风险资产的离差始终为0，所以，两个离差与概率的乘积肯定为0。

【例2－24】 表2－7中列示了4只证券收益率的概率分布。试计算证券B分别同其他3只证券组合后的协方差。

表2－7 证券A、B、C、D的收益率概率分布 ％

解：

分析：

证券BC组合的协方差为－0.00048，表示两只证券的收益率呈相反方向变化。例如，在第2种结果出现的情况下，证券B的收益率相对于结果1上升至8％，而证券C的收益率相对于结果1下降至12％。

分析：

证券BD组合的协方差为＋0.00108，表示两只证券的收益率是同方向变动。

分析：

证券BA组合的协方差为0，原因是证券A属于无风险资产。证券A与任何资产的协方差均为0。

2）相关系数

尽管协方差的正负很好地反映了两项资产收益变动的关系，但是协方差数值的大小似乎难以理解。

例如，B和D两只证券的协方差为＋0.00108，如果有另外两项资产的协方差为0.0008，那么两个协方差相比能说明什么问题呢？能否说明B和D之间收益变动更相关吗？为了使概念更易于理解，可将协方差标准化。将协方差除以两项资产标准差之积，人们称之为相关系数，使得资产之间相互变动的程度在一个相同的基础上比较。相关系数ρ的计算公式为：

公式（2－24）中σ1、σ2分别为两项资产各自预期收益率的标准差；ρ1，2表示1、2两项资产收益率的相关程度。

在理论上，相关系数ρ1，2介于区间［－1，1］内。因为标准差总是正值，所以相关系数的符号就取决于协方差的符号。前面已经提到，协方差为正，表示两项资产的收益率呈相同方向变动，此时相关系数也为正，表明两项资产正相关；反之，相关系数若为负，表明两项资产负相关；两项资产的相关性越强，则它们的相关系数越趋于两个极值－1.0和＋1.0；如果相关系数为0，表明两项资产的收益率没有任何关系，它们没有一起变动的趋势。

【例2－25】 根据例2－24的资料，计算证券BC、BD、BA组合的相关系数。

解：

证券B和D之间存在很强的正相关关系。

B A证券B和A之间不存在相关关系。

3）两项资产组合的方差和标准差

资产组合的总风险由资产组合收益率的方差和标准差来衡量。如资产组合中只包含两项资产1和2，那么这两项资产形成的资产组合的方差满足下列关系：

假设市场上存在一家名为西盛的公司：当经济衰退时，会给投资者带来80％的收益；经济处于繁荣时期，投资者将遭受－70％的损失；经济处于正常发展时期，投资者将获得15％的投资收益。你若对前面提到的东盛公司股票和这家西盛公司股票各投资5万元，我们来计算一下这个证券组合的预期收益率和风险。证券组合中西盛公司股票预期收益率和标准差的计算如表2－8所示。

表2－8 西盛公司的标准差与方差计算

组合东盛公司的详细数据，见表2－3。由两家公司股票组成的证券组合的预期收益率为：

设定东盛公司股票为资产1，西盛公司股票为资产2，资产1、2组成的组合的协方差和相关系数计算如表2－9所示。

表2－9 该资产组合中两只股票的协方差与相关系数的计算

该资产组合的方差：

整理得到：

本例中，由于东盛公司股票与西盛公司股票的收益呈反方向变动，东盛公司股票上涨时，西盛公司股票则下跌，反之亦然。两家公司股票高度负相关，此时，该证券组合的风险（7.1％）远低于单只股票的风险，具有显著的风险分散效应。如果两只股票的收益率不是高度负相关，而是其他情况，那么该资产组合的风险会如何变化呢？见表2－10。

表2－10 该资产组合的方差与相关系数的关系

根据表2－10的计算结果可知，当该组合中两只股票的预期收益率之间完全呈正相关时，即ρ1，2＝＋1.0，则该组合不会产生任何风险分散效应，组合后的标准差为两只股票各自标准差的加权平均数；而它们之间的正相关程度越小，则组合可产生的风险分散效应就越大。当该组合中两只股票的预期收益率之间呈完全负相关时，即ρ1，2＝－1.0，此时该组合的方差近似等于0，也就是说，这一组合的总体风险趋近于0。可见，资产之间的关系对组合整体的风险大小有着非常重要的作用。

为了说明资产组合可以分散风险这一效应，我们举了东盛公司和西盛公司这种极端的例子，而事实上，大部分证券都是正相关的，但不是完全正相关。大部分股票在经济繁荣时都表现良好，在经济衰退时表现较差。因此，人们可以通过资产组合分散风险，但不能消除风险。

4）两项资产组合的有效边界

东盛公司股票与西盛公司股票组成的资产组合中，仅仅考察了投资比例为11的情况，如果考察各种投资比例，就可获得各种具有不同风险的资产组合。因此，在给定的任意两种资产的预期收益率和方差的条件下，通过改变该两种资产各自在组合中所占的比例，就可以获得各种新的具有不同风险性的资产组合。表2－11给出了相关系数为－0.5时，两家公司股票不同投资比例对应的收益率和标准差。所有的计算结果如图2－13所示，图2－13描绘出随着两种股票投资比例的变化，组合的预期收益率和风险之间的关系。

由图2－13可见，位于图2－13最左端的D点是组合中方差最小的点，因此也被称为最小方差组合。整条曲线ADG上的点都代表可行的投资组合，称为组合的可行集，但作为一个理性的投资者，绝不会选择虚线部分的组合进行投资。因为投资者总能在实线部分找到和虚线部分标准差相同，但预期收益更高的另外一点。因此，真正有效的投资仅仅是AD段的实曲线，被称为组合的有效集或有效边界。而DG段虚曲线则被称为非有效组合。在有效边界上，在由D点向A点移动的过程中，组合的收益随着风险的增加而增加。对于只关心风险最小化的极端保守投资者，会选择风险最小的D组合；激进的投资者可能会选择将全部资金投资于东盛公司股票 （A组合），尽管更冒风险，但可能会获得更高的收益率。

表2－11 两家公司股票的不同比例投资组合的预期收益率和风险

图2－13 两项资产组合的有效边界

如果两只股票的相关系数取不同的数值，则图2－13中的风险和收益率组合将随之变动。相关系数不影响投资组合的预期收益率，但投资组合的风险却因相关系数而改变，如表2－12。

将表2－12中基于不同相关系数的投资组合预期收益率与标准差之间的对应关系反映到直角坐标图上，如图2－14所示。

表2－12 两家公司股票的不同比例、不同相关系数的组合风险

图2－14 不同相关系数下投资组合的有效边界

当相关系数为－1时，投资组合的可行集为AD－1G线段，投资的有效边界为AD－1直线段，任何一个理性的投资者都会选择AD－1直线段上的投资组合，因为在风险相同的条件下，在AD－1直线段上投资，收益率高于D－1G直线段上的投资收益率。沿着点D－1向点A移动，投资组合的收益随着风险的增加而增加。当相关系数为－0.5时，我们在前面已经分析过，投资的可行集为AD－0.5G，投资的有效边界为AD－0.5曲线段。当相关系数为＋1时，证券组合的标准差就等于这两种证券各自的标准差的加权平均数，投资组合的风险没有得到分散。如图2－14所示，A点表明全部投资于东盛公司，G点表明全部投资于西盛公司，两点的连线AG所形成的直线就是证券组合相关系数为＋1时的可行集，有效边界也就是直线AG。

图2－14表明，基于不同的相关系数，投资组合预期收益率与标准差之间存在着如下对应关系：

基于相同的风险水平，相关系数越小，可取得的预期收益率越大；基于相同的预期收益率，相关系数越小，投资组合总体的风险也越小，表示投资组合的曲线将越发向左弯曲，弯曲的程度越大，则风险分散的效应就越强。

例如，在投资东盛和西盛公司的比例各为50％的情况下，D＋1、D－0.5、D－1三点的预期收益率相同，都是11.5％，但随着相关系数的变小，组合的标准差减小，投资风险随之降低，风险分散效应越来越显著。

3.多项资产组合的风险度量

1）多项资产组合的方差

当更多的资产包括在资产组合中时，计算组合方差的公式就变得越来越复杂，因为必须考虑每项新加入的资产同原来每项资产之间的协方差。在这种情况下，我们用矩阵的形式列出每种资产的方差以及每两种资产的协方差。在有n项资产的情况下，我们用W1、W2、W3…Wn表示每一项资产的比例，表示每一种资产的方差，Cov（i，j）表示任意两种资产之间的协方差，用矩阵表示的组合方差的计算如表2－13所示。

表2－13 多项资产组合方差的矩阵计算

由于横向和纵向都是n项，从表2－13中可以直接得出n项资产组成的投资组合，其方差一共有n2项组成。

例如，当投资组合包含3种资产时，组合总体的方差由9项组成：3个方差和6个协方差；当投资组合包含100种资产时，组合总体的方差由10000项组成：100个方差和9900个协方差。随着投资组合中包含资产个数的增加，单个资产的方差对投资组合总体方差形成的影响越来越小；而资产与资产之间的协方差形成的影响将越来越大。当投资组合中包含的资产数目达到非常大时，单个资产的方差对投资组合总体方差形成的影响几乎可以略而不计。对于n项资产投资组合的方差可用如下公式表示：

公式 （2－27）中的第一项为各项资产的方差，即矩阵的对角线上的n项方差，反映了每项资产各自的风险状况；第二项为各项资产之间的协方差，即矩阵对角线两侧的协方差，反映了两项资产之间的相互关系和共同风险。在矩阵中，对角线两侧对称的两项协方差是完全相等的，因为在计算协方差时资产的先后顺序是无关的，如Cov（r1，r2）和Cov（r2， r1）相等，所以不必对每一项都进行计算。如果是两项资产方差，则需要计算3项的乘积；如果是3项资产方差，则需要计算6项乘积；如果是n项资产方差，则需要计算n（n＋1）／2项，其中只有n项是代表方差，而其余各项都是资产两两之间的协方差。当资产个数增加时，公式 （2－27）中的第一项将逐渐消失；而协方差在资产个数增加时不会完全消失，而是趋于平均值。这个平均值是所有投资活动的共同运动趋势，反映了系统风险。

2）系统风险与非系统风险

无论证券之间的相关系数如何，证券组合的收益都不低于单个证券的最低收益，同时，证券组合的风险却不高于单个证券的最高风险。在一个资产组合中减少风险的办法就是加入另一种新的资产，扩大组合规模，但这种风险分散效应随着加入资产数目的增多，呈递减趋势，如图2－15所示。这表明，多项资产的组合虽然可在一定程度上降低风险，但却不能将风险完全消除。这使得人们能够明确区分不可分散风险和可分散风险。

图2－15 证券组合的规模对证券组合风险的影响

3）市场组合与市场收益率

市场组合是指由市场上所有资产组成的组合，组合中每种资产均是以其在全部资产总市场价值中所占比重参与组合。市场组合所有资产的加权平均收益率就是市场收益率。但在实务中，不可能找到一个包含所有资产在内的投资组合，就证券投资而言，通常以一些具有代表性的证券指数作为市场投资组合，如用标准普尔500种股票的综合指数、上海证券综合指数来代替。再根据证券指数中个别证券的收益率来估计市场收益率。由于市场组合包含了所有的资产，因此市场组合中的非系统风险已经被消除，所以市场组合的风险就是系统风险。

4）系统风险的度量

（1）β系数的含义。

尽管绝大部分企业和资产都不可避免地受到系统风险的影响，但这并不意味着系统风险对所有资产或所有企业有相同的影响。有些资产受系统风险的影响大一些，而有些资产受系统风险的影响则较小。单项资产或资产组合受系统风险影响的程度，可以通过系统风险系数（β系数）来度量。

β系数是度量一种证券对于市场组合变动的反映程度的指标。与市场收益水平同步波动的股票，可定义为平均风险股票，此类股票的β系数为1。如果市场收益上升了10％，通常此类股票也将上升10％；如果市场收益下跌了10％，此类股票也将同样下跌10％。据此，如果某种股票β系数大于1，说明其风险程度大于整个市场风险；如果某种股票β系数小于1，说明其风险程度小于整个市场风险。绝大多数股票的β系数介于0.5和2之间，它们的收益率变化与市场平均收益率的变化方向一致，只是变化幅度不同而导致β系数的不同。只有极个别的资产β系数小于零。

（2）β系数的计算。

相对于市场组合的平均风险，β系数可以反映某种证券或证券组合所含的系统风险的大小。第i项资产β系数的计算公式如下：

公式（2－28）中，rm表示市场收益率；Cov（ri，rm）表示第i种证券的收益率与市场收益率之间的协方差；表示市场组合的方差。

资产组合的系统风险系数βp，是所有单项资产β系数的加权平均数，权数为各种资产在资产组合中所占的价值比例。计算公式为：

公式（2－29）中，Wi为第i项资产在组合中所占的比重；βi表示第i项资产的β系数。由于单项资产的β系数不尽相同，因此通过替换资产组合中的资产或改变资产在组合中的比例，可以改变资产组合的风险特性。

【例2－26】 某公司持有A、B、C三种股票组成的投资组合，权重分别为20％、30％和50％，三种股票的β系数分别为2.5、1.2、0.5。市场平均收益率为10％。请计算该投资组合的β系数。

解：

投资组合的β系数i＝1

在实际中，要想利用公式去计算β系数是非常困难的，β系数的计算常常利用历史数据，采用线性回归的方法取得。在实务中，并不需要企业财务人员或投资者自己去计算证券的β系数，一些证券咨询机构会定期公布大量已交易过的证券的β系数。

表2－14列示了2008年10月22日巨灵信息 （提供中国金融信息服务的专业机构）公布的沪市部分上市公司的β系数。

表2－14 沪市部分上市公司的β系数

不同公司的β系数有所不同，即便是同一家公司，在不同时期其β系数也会有所差异。以表2－14中的中体产业为例，2009年4月公布的数据表明，该股票的β系数已由2008年的1.38升至1.42。一般而言，影响β系数的因素主要有公司的业务类型、经营杠杆水平和财务杠杆水平等。

5）多项资产组合的有效边界

前面已作分析，在两项资产组合的情况下，投资的可行集是一条直线或曲线，当资产数量增多时，投资的可行集变为一个平面区域。图2－16所示的封闭区域是四种资产的可行区域。它反映了投资者所有可能的投资组合，该区域的任何一点都代表一种特定的投资组合。那么，投资者应该如何在这个可行集中选择适合自己的有效投资组合呢？在给定的投资组合可行区域里，有效资产组合应该是在同一风险程度下获得最高可能的预期收益，或在同一预期收益下承担最低风险的一种投资组合。

图2－16中，点P为最小方差组合，从点P到点A之间曲线上的各点为有效投资组合的集合，即有效边界。例如，组合E1和E2的标准差是相等的，但是位于曲线PA上的E2点的预期收益率要大于点E1；同样，组合E1和E3的预期收益率是相等的，但是位于曲线PA上的E3点的标准差要小于E1点。因此，理性的投资者不会选择曲线PA以下的任何一点，曲线PA以下区域称为非有效组合。

图2－16 多项资产组合的投资有效区域

有效边界上包括无数个可能的投资组合，其范围从最小风险、最小预期收益率的投资组合P到最大风险、最大预期收益的投资组合A。每点都代表一种不同的风险与收益的选择：预期收益率越高，必须承担的风险也越大。最佳投资组合的选择对于每个投资者都不一样，取决于投资者对待风险的态度。激进的投资者追求投资收益最大，愿意承担更多风险，将选择接近A点的投资组合；保守的投资者厌恶风险，追求投资风险最小，将选择更接近P点的投资组合；若投资者属于风险中立者，就应选择P点和A点之间的某一点所代表的组合进行投资。

6）无风险资产和风险资产的组合

投资有效边界将所有有效率的风险投资组合包含在内，供投资者选择适合自己的最优投资组合。除此之外，还有一种全新的组合类型：将一些无风险资产加入组合当中，形成新的资产组合有效边界。

无风险资产是指未来收益完全确定的资产，其标准差为0，如1年期国库券。如果风险资产的投资比例为W，而将其余的 （1－W）投资于无风险资产，那么风险资产和无风险资产组成的资产组合的预期收益率为：

E（rfp）＝（1－W）×Rf＋W×E（rp）

E（rfp）＝Rf＋W×［E（rp）－Rf］（2－30）

公式（2－30）中，Rf表示无风险资产的收益率；E（rp）表示风险资产组合的预期收益率。

无风险资产的标准差为0，无风险资产与风险资产之间的协方差也为0，因此，风险资产和无风险资产组成的资产组合的标准差为：

由公式（2－31）可以看出，包括无风险资产和风险资产的资产组合的标准差σfp等于风险组合的标准差σp与所占比例的乘积，该组合的风险是风险资产的简单线性函数。因此，无论风险资产的风险有多大，由无风险资产和风险资产构成的投资组合的风险与收益对应的集合，总会形成一条直线，从无风险资产伸向所选定的风险资产组合。如图2－17所示。

图2－17 资本市场线

投资者可以根据他们对待风险的态度，用无风险资产和有效边界上的风险资产构成新的投资组合。人们发现，无论投资者的投资目标和风险偏好如何，都会选择M点作为其风险资产的组合，M点是由Rf发出的射线与有效边界的切点。假设投资者不选择M点代表的投资组合，而是选择P点，从图2－17中可以看出，位于RfP上的点与RfM上的点所代表的投资组合相比，在相同的风险条件下收益较小，而在相同收益条件下风险较大，所以理性的投资者均会选择M点。这时，投资组合的有效边界就不再是PA段了，而是曲线Rf MA段。

假设投资者是用自己的资本进行投资。如果市场是完善的，以相同的利率自由借入或贷出资本 （不考虑借贷交易成本），则投资者可通过无风险利率借入资本，再加上他自有的资本，增加对M点这个组合的投资。这时，所有可能的投资组合的连线会超过M，并以相同的斜率继续上升，因此投资组合的有效边界不再是曲线RfMA，而是Rf M射线了。

射线RfM是投资者的有效边界，通常称为资本市场线（CML），它表明资产组合收益率是其标准差的线性函数。不同风险偏好的投资者会在CML上选择不同的投资组合点。保守的投资者会选择靠近Rf的点，将一部分资金投资于无风险资产，剩余部分资金投资于风险资产；激进的投资者会选择M点右侧的点所代表的投资组合，不仅将其全部资金都投资于风险资产，而且按无风险利率借入资金投资于风险资产。