证券组合收益和风险的统计测定

（一）单一证券收益和风险的测定

依照马柯维茨的证券组合理论，证券投资者在一定时期内投资于某一证券的收益率测定公式为：

式中，R代表收益率；W0代表期初证券市价；W1代表期末证券市价及投资期内投资者所获收益的总和，包括股息和红利。

风险是指投资者投资于某种证券的不确定性，风险不仅包括负面效应的不确定性，还包括正面效应的不确定性。它是以预期收益率的标准差来表示的。预期收益率是指持有股票所可能得到的预期收益。如果收益率Ri为离散型随机变量，其概率密度为Pi，则预期收益率公式为：

标准差是指其收益率对其预期收益率的可能偏离。在统计学中，证券收益率的方差可表示为：

而标准差则是方差的平方根，用公式可表示为：

式中，σ代表风险；Ri代表所观察到的收益率；代表收益率的期望值，即预期收益率；Pi代表各个收益率Ri出现的概率。

【例7-1】 某投资者投资某种股票的投资收益率Ri和出现的概率Pi如表7.1所示。

表7.1 某种股票的投资收益率和相应的概率

根据表7.1，可以计算该股票的预期收益率为：

可计算其标准差为：

计算结果表明，该种股票的平均收益率为11%，风险为1.45%，其收益率在11%±1.45%的范围内变动。

风险可分为系统风险和非系统风险。系统风险强调的是对整个证券市场所有证券的影响，而且这种风险通常难以回避和消除；而非系统风险强调的是对某一证券个别的影响，投资者可以通过证券组合理论来规避风险。

（二）证券组合的收益和风险的测定

1.证券组合预期收益率的计算

某一投资组合的预期收益率就是这一投资组合中各种证券预期收益的加权平均。其计算公式为：

式中，Rp代表证券组合的预期收益率，即证券组合收益的期望值；Xi代表对于第i种证券的投资比例（Xi≥0，且∑Xi＝1，还假设所有的资本都投在证券组合上）；Ri代表第i种证券的预期收益率。

表7.2给出了两种证券的有关资料。

表7.2　国库券和股票收益率等资料

根据表7.2，并假定某投资者的投资比例是国库券和股票各占二分之一，则计算两种证券组合收益率的期望值为：

计算结果表明，两种证券组合的期望收益率同国库券的期望收益率和股票的期望收益率是一样的，三者均为10%。但是，投资者在这里不仅关心期望值，而且要知道其风险的大小，以便做出相应的决策。

2.证券组合风险的测定

为了测定证券组合的风险，需要引进统计学中的一些概念，即协方差和相关系数。

协方差是统计学上表示两个随机变量之间关系的变量，它是用来确定有价证券组合收益率方差的一个关键性指标。以A、B两种证券的组合为例，则其协方差为：

式中，RA代表证券A的收益率；RB代表证券B的收益率；E（RA）代表证券A收益率的期望值；E（RB）代表证券B收益率的期望值；m代表证券收益率的个数；cov（RA，RB）代表A、B两种证券收益率的协方差。

cov（RA，RB）在此处的含义在于：如果cov（RA，RB）得到的是正值，则表明证券A和证券B的收益有相互一致的变动趋向。即若一种证券的收益高于预期收益，则另一种证券的收益也高于预期收益；一种证券的收益低于预期收益，则另一种证券的收益也低于预期收益。如果cov（RA，RB）得到的是负值，则表明证券A和证券B的收益有相互抵消的趋向，即一种证券的收益高于预期收益，则另一种证券的收益低于预期的收益；反之亦然。

然而，协方差作为一个固有的参数，它并不能完全描述其联合概率分布的性质或者存在于两种投资之间的关系。但是，如果把协方差标准化，可得到一个更好的描述参数，这个参数就是相关系数。协方差是无界的，理论上它的值可以从负无穷大到正无穷大。不过，我们可以使它有界，通过把它除以两种投资收益率的标准差来实现。其公式为：

（7-7）式称为相关系数，并且它的值在－1到＋1之间。它表示两种证券的相互影响程度。以下就A、B两种证券所构成的投资组合在这两种证券的相关系数分别为＋1、0和－1三种情况时进行讨论。

（1）完全正相关（rAB＝＋1）。

假设σA＝3%，σB＝5%，投资于这两种证券的比例为XA＝XB＝50%，证券组合的方差V可由如下推导得到：

可得证券组合的标准差为：

将（7-8）式代入（7-9）式可得：

又因为此时rAB＝＋1，σp＝XAσA＋XBσB＝50%×3%＋50%×5%＝4%。

由此可得出投资组合的标准差是每一种证券风险的加权平均，组合风险是介于最大风险和最小风险之间的。

（2）完全负相关（rAB＝－1）。

同理，在完全负相关的情况下可得出：

将上述数字代入（7-11）式，则得出σp＝1%，由此可以看出，在完全负相关的情况下，风险可以大大降低，甚至可以通过改变XA和XB值，使风险达到最小为0。在本例中，当XA＝62.5%、XB＝37.5%时，σp＝0。

（3）完全不相关（rAB＝0）。

根据（7-9）式，将rAB＝0代入，可得：

同样将σA＝3%、σB＝5%和XA＝X B＝50%代入（7-12）式，则σp≈2.9%。

因此可以看出在证券组合中，证券间的相关系数为0，投资组合的风险也可因此而降低。同样，如果调整证券A和证券B所占的比重，其风险会进一步降低。

下面利用表7.2资料来计算两种证券组合的风险。其具体步骤如下。

（1）单证券标准差σ国库券和σ股票。

（2）两证券组合标准差σp。

要计算两证券组合的标准差σp，首先计算以下几个统计量：

①协方差cov（RA，RB）。

②相关系数。

计算结果表明，此例中国库券的收益率与股票的收益率之间存在着完全的负相关关系，即国库券收益率降低，股票的收益率就上升。

③两证券组合的标准差。

我们从这个公式中发现，证券组合风险的大小由以下三个因素决定：

第一，每种证券所占的比例。如何从量上确定其最佳的比例呢？当r AB＝－1时，证券A的最佳结构公式为：

此例中，国库券的投资比例应为：

将代入两个证券组合标准差的公式得：

在这种比例的配置下，这两种证券组合的风险为0，即完全消除了风险。

第二，证券收益率的相关性。当证券组合所含证券的收益是完全相关的，即r AB＝＋1时，这时的证券组合并未达到组合效应的目的；当证券组合所含证券的收益是完全负相关的，即r AB＝－1，这时证券组合通过合理的结构可以完全消除风险。上述两种不同的相关系数的经济含义是十分明确的。当你购买电子业一个行业的多种证券时，此时所选证券的数量和品种虽多，但它们之间具有正的相关关系，即该行业不景气的话，那么，这些股票的收益状况是“一面倒”的。因此，这种组合还是不能避免风险。只有当各种股票的收益之间没有过大的正相关关系或不相关以及负相关时，才能分散风险，达到避免风险的组合效应。

第三，每种证券的标准差。各种证券收益的标准差都大，那么组合后的风险相应也要大一些。但组合后的风险若还是等同于各种证券风险的话，那么，就没有达到组合效应的目的。一般来说，组合后的证券风险不会大于单个证券的风险，至少是持平。

下面我们根据表7.2求出当证券比例各为1／2的条件下，两种证券组合的风险情况。表7.3所示的有关数据是根据表7.2求得的。

表7.3　各占二分之一的一揽子证券风险情况

表7.3中数据表明，当rAB＝－1时，其总风险最小，为1%；当rAB＝＋1时，总风险最大，为3%。对收益率为10%的国库券的风险为2%和股票的风险为4%来说，组合风险为3%的话，就不能说有什么好的组合效应。

上述实例证明，当rAB＝－1时，其组合效应最佳。

从对每种证券比例的考察中，我们已经发现，当国库券占三分之二、股票占三分之一时，其总风险为0。各种比例的测算如表7.4所示。

表7.4　最佳比例测算表

表7.4的数据表明，当国库券为100%时，就等于其单独风险的2%；当股票为100%时，就等于其单独风险的4%。这里，在证券流通市场上买卖国库券的风险当然要比买卖股票小得多，这是不言而喻的，其数量分析结果也一样。而只有当国库券为三分之二、股票为三分之一时，证券的组合完全避免了风险，即其总风险为0。而其收益率的期望值却同购买单个证券是一样的均为10%。如前分析，购买国库券投资要承担2%的风险，购买股票投资要承担4%的风险，而一揽子证券的最佳组合则没有风险。这就是统计研究给投资者带来的好处。

事实上，证券组合往往是由多种证券甚至数十种证券组合成的，但其基本原理同两种证券组合一样，只是对风险的计算更加烦琐一些。然而如果借助计算机，这种证券组合收益和风险的分析就成为一件轻而易举的事情了。

上述给出的两个证券组合的标准差为：

在两种以上的证券组合中，证券组合的方差为：

式中，Xi、Xj代表第i种、第j种证券在证券组合中所占的比重；covij代表第i种证券和第j种证券的协方差，代表第i种证券和第j种证券的相关系数。

现在我们来研究一下三种证券组合的收益和风险的计算问题。

（1）证券组合收益率的期望值公式为：

（2）证券组合的标准差公式为：

式中，XA、XB、XC分别为证券甲、乙、丙所占的比例；rAB、rBC、rAC分别为甲和乙、乙和丙、甲和丙的相关系数；σA、σB、σC分别为甲、乙、丙的标准差。

【例7-2】 三种股票组合的有关数据如表7.5所示。

表7.5　三种股票组合分析数据

根据表7.5中的数据，三种股票组合的收益和风险计算步骤如下：

（1）求收益率的期望值Ep。

（2）求三个证券组合的标准差σp。

计算结果表明，由甲、乙、丙组成的组合股票的收益率为9.6%，其总风险为7.3%，小于三种单个证券风险的期望值9.6%（0.3×10%＋0.3×14%＋0.4×6%）。具体应用时我们还可以借助计算机进行运算，找到最佳的股票配置比例，达到风险最小的最佳组合的目的。

（三）证券组合效应的图示分析

1.两种股票组合效应图示及其分析

两种股票组合效应如图7.1所示。

图7.1　两种股票组合效应图

A点表示证券甲的比例为100%，B点表示证券乙的比例为100%，这里的三条直线AB、AG、GB分别表示相关系数为＋1和－1时，证券甲和证券乙分别在组合证券中所占的比例，曲线AB是一条双曲线，表示＝0时的证券甲和证券乙所占的比例。现在，我们对各线段做如下分析：

（1）线段AB表明，在相关系数为＋1时，证券甲的比例愈大风险愈小，随着股票甲所占比例的减少，风险也逐步加大，当达到证券乙为100%即B点时，风险最大，而相关系数为＋1时，一揽子证券未产生组合效应。

（2）当一揽子股票内两种股票的相关系数为零时，股票甲的比例变化，即图7.1的A点沿着曲线AB变化时，组合证券产生组合效应，随着证券甲比例的变化，风险程度均比单独购买一种股票为好，但是由图7.1可以看出，A点从A→N→P运动时，没有POB这一段线段上的大部分线段运动时那样好，以P点为转折点，在ANP和POB上，出现了具有相同风险但是收益的期望值不同的两个点，如在ANP线段上的N点，和POB线段上的O点，它们的σp是相同的，但是N点的期望值低于O点，P点表示rAB＝0时组合证券的风险比原来单独购买一种证券有所降低，但是不能降低到σp＝0。

（3）相交于G点的两条直线AG和GB，表明证券甲的比例变化，即图7.1上的A点沿着相关关系为－1的线段上进行运动，当运动至G点时，σp＝0，即此时的证券甲的比例应为σB／（σA＋σB），过了G点，风险又逐步回升。同时，由图7.1可知，AG和GB同样存在着一系列风险系统，但是存在着期望值不同的对应的两个点，如L点和M点，这也表明A点沿着GB运动比AG为优。

综合上述分析，我们可以得出如下的结论：组合证券沿着所有线段运动都是可以的，但存在着一些比其他效应为优的线段。这个结论说明组合证券可以选择任何种类的股票，不管它们的相关性如何，可以按任意的比例组成，就能取得好的和最好的组合效应。

2.多种股票组合效应的图示及其分析

事实上，由两种股票组成的组合证券是很少的，实践中一般是由多种甚至数十种股票组成的组合证券。然而，我们可以用两种股票的组合效应原理推广到分析多种股票组成的组合证券中去。现在我们把它推广到三种股票组合成的组合股票中去。三种股票的组合效应如图7.2所示。

图7.2　三种股票组合效应图

图7.2是由三种股票甲、乙、丙组成的组合股票的图形。图形中的A、B、C三点分别表示股票甲、乙、丙为100%时的收益和风险情况，曲线AB中的各点表示股票甲和乙的各种比例组成的组合股票，虚线AC则表示由股票甲和丙的各种比例组成的组合股票，BC则表示了股票乙和丙的各种比组成的组合股票。同时，为了分析组合效应，我们规定这些股票间的相关系数都比＋1小，这在图形上体现了出来，那么如何从图形上体现三种股票的组合呢？曲线GC就是表示三种股票的组合，点G表示某种比例的股票甲和股票乙的组合，所以GC上的各点就是表示股票甲、乙、丙按各种比例组合成的组合股票，由图7.2中也可以看出，GC某些线段的风险比原来的几根曲线都小，即产生了组合效应。同时必须指出，两种股票的组合只是图上的一个平面，因为类似GC的线段可以有许多根，其形状如图7.3所示。

图7.3　三种股票组合的各种曲线图

由图7.3可以看出P2的风险小于P1，因此，比较稳定的投资者乐于按P2的比例选择组合股票，甘冒风险以取得更大的收益的投资者则乐于按P1的比例选购；但是对于P3来说，应该是不可取的，因为其风险与P2一样，但收益的期望值却远较P2低。所以，从图形分析中可以得出这样的结论，即收益好的组合股票是：（1）风险相同，但是收益较其他为高的组合股票；或是（2）收益相同，但风险比其他要小的组合股票。

（四）投资分散化和证券组合的最佳规模分析

所谓投资分散化，就是指投资者在投资证券时，不只是购买一种证券，而是同时购买多种证券，并以适当的投资组合来尽量避免和减少风险。所谓投资组合，就是指投资者同时投资的多种证券中，既购买债券，又购买股票；既购买风险大而预期收益高的证券，也购买风险小而收益稳定的证券。这样通过选择不同对象，组成多样化的投资。

为了取得证券投资的最佳组合效应，选择时不仅仅要考虑证券的品种数，还必须考虑这些品种的行业分布。这些证券的品种数应该是跨行业的，既有工业的，如电子工业、化工工业、重工业、轻工业，也有商业的，使持有的组合证券相互间的正相关程度小，或者是根本不相关或负相关程度高。这样，当有的证券遇到大的风险时，会被别的证券所得到的较大的收益所抵消，起到此消彼长、此长彼消、相互抵消、相互补充的作用，以便稳定地得到一定的收益。如果购买的品种和数量虽多，但却是同行业的，那么其正相关的程度就大，如遇该行业不景气或经济效益不佳，这时会产生很大的风险。

同时，还必须十分强调每种证券在组合证券中所占的比例或结构。只有合理地配置比例，才能得到最佳的组合效应。

如果投资者所选用的证券组合全部选用普通股票，分散化必然能使风险显著地降低，但也可能仍存在着风险。这就提出了这样的一个问题，即在一项投资组合中应达到如何的规模，即应包括多少种股票才能使分散化的利益最大？这是投资者在对普通股票做投资组合时必须考虑的问题。

如前所述，系统风险属于不可分散的风险，而非系统风险则属于可分散的风险。可分散的风险可以通过合理的投资组合予以消除。伊文斯（Evans）和阿切尔（Archer）曾致力于证券组合最适合规模的研究。在研究中，他们以标准普尔500指数中选取的470种股票1958年1月至1967年7月间的半年收益率为研究对象。具体研究过程为：从这470种股票中以随机方式抽取60次，构成60个单一股票的投资组合，分别计算出这60个投资组合收益率和标准差，并对此进行平均，得到一个单一股票投资组合的平均标准差；然后从对这470种股票中随机抽取60次，每次抽取2种股票，构成60个两种股票的投资组合，再计算它们的收益率和标准差。以此类推，直至60个投资组合中的股票数目增至40种。他们的研究结果表明：投资组合的风险会伴随着所含股票数目的增加而减少，而且股票数目增加至8种以上时，非系统风险已经无法明显地下降了。他们利用数据得到了如下回归方程：

式中，σn代表n种证券组合下的标准差，xn代表投资组合所包含的证券数目。

由（7-15）式可知，证券组合的标准差与证券组合所含的证券数目呈反比例关系，在图形上呈双曲线或逆直线型。图7.4给出了（7-15）式的图示。由图7.4可知，当股票数目为16时，投资风险已经无法明显下降了，即趋近于极限。这时，即使再增加股票的数目也无法有效地消除风险。因此，按伊文斯和阿切尔的分析，证券组合的数目大约在8～16之间为最佳规模。

图7.4　投资风险分析图

上述分析告诉我们，通过证券组合对不同种类证券的选择，根据其相关程度的大小和所占比重的变化，可以有效地避免风险。同时，如果能确定一定的投资组合的证券数目，则可以获得证券组合的最适合的规模。