长期趋势分析

长期趋势分析_统计学教程

第三节　长期趋势分析

一、时间序列模型

一个时间序列反映某一经济现象随时间的推移而发展变化的状况，影响这种变动的因素是多方面的，有经济的，有自然界的，有社会政治的，它们所起的推动和制约作用不同，彼此之间的关系也错综复杂。因此，每个时间序列所表现的变化趋势都各有特点，但在一个典型的时间序列中，通常包括四个方面的影响因素，即长期趋势、周期波动、季节变动和不规则变化。

长期趋势（Secular trend）是指客观现象在某一个相当长的时期内持续发展变化的趋势。一个经济体系受着多种因素的影响，其中有一些基本因素，它对于各个时期都起着普遍的、长期的、决定性的作用，使各时期的发展水平沿着一定方向持续发展，便形成长期趋势。这种趋势可以表现为直线型或曲线型如图8－1（a）所示。从个别年份看，变量值时高时低，而从长期来看，变量值呈直线上升趋势。所谓长期是指若干年以上的一段时期。

周期波动（Cyclical movement）是指变量值时而高于趋势值时而低于趋势值的循环起伏变动，如图8－1（b）所示。最常见的周期波动的例子就是商业周期，这里所讲的周期至少为两年，长的可达10年以上。显然，这里所说的周期不像数学中所讲的周期那么严格，有些现象的周期规律较明显，而有些则是很不稳定的。

季节变动（Seasonal fluctuation）与上述周期变动不同，它是相对短期的周期变动，一般反映一年以内由于季节的更替或是节日的变化所带来的季节性的变动。季节变动的规律性较明显，如图8－1（c）所示。如某些商品的销售量变化具有很强的季节性，夏季到来使电风扇的销量大增，新年临近对贺年片有很大的需求；又如医生可以预料冬天里感冒患者大幅度增加，因此感冒药必须准备充足，等等。这些现象都是随季节的变化而发生的有规律变化。

图8－1　时间序列模型

最后一种变化是不规则变化（Irregular variations），也可称为随机变化，比如，地震、洪水等的发生对某些现象的影响，这些是无规律可循的。

以上四种影响因素是以一定的方式综合在一起形成原序列的，而时间序列分析就是从时间序列中依次分离出每一个影响因素的变化，并分别进行分析，最后再将各因素重新结合起来，以达到对原序列的正确描述，同时作为对未来进行预测的依据。

对时间序列分析的模型有两种，其计算公式如下：

Y＝T＋C＋S＋I

与Y＝T·C·S·I

式中：Y表示所观察的变量；T表示长期趋势；C表示周期变动；S表示季节变动；I表示不规则变动。

前一个是加法模型，在这个模型中，假定各个影响因素是彼此独立的，并都具有与变量相同的计量单位。后一个是乘法模型，它表明各个影响因素是相乘的关系，其乘积就是原来的变量水平。在这个模型中，先是从长期趋势开始，假定掌握的变量资料具有线性增长趋势。周期变动的影响有的年份暂时地在趋势线之上，有的年份暂时地在趋势线之下，因此可以把周期变动的影响表示为长期趋势的百分比。季节变动是短期的变动，它的影响有时在由长期趋势和周期变动联合起来所表示的变量之上，有时在其之下，所以把它看做是变量长期水平的百分比。这三者之间的关系，如图8－1（d）所示。再考虑到不规则变动的影响，就会得到各个时期的原来的序列中各期的水平。

由上可以看出，在乘法模型中，只有长期趋势具有与原来变量相同的计量单位，其他影响因素如C和S只以一定的百分比出现在这一模型中。

在实际的研究工作中，为经济学家广泛应用的是乘法模型，所以我们将按照这个模型对时间序列的各个影响因素进行分析。一般说来，对不规则变动是不单独分析的。

二、长期趋势分析的意义

对时间序列进行长期趋势分析的意义表现在两方面：

首先，通过对长期趋势的研究可以揭示事物的发展变化规律，如果有理由认为影响这一长期趋势的因素会持续下去，就可以将其作为对未来进行预测的依据。比如，对世界人口增长率时间序列的研究，可以预测未来某一时刻的世界人口数量。

其次，研究时间序列的长期趋势可以将长期趋势因素从时间序列中分离出来，以便对其他变动因素进行研究。比如，我们想测定某商店电风扇销售数量的季节变动规律时，首先要研究销售量序列长期趋势，然后在消除序列中长期变动成分以后再来研究销售量的季节变动，以得到更准确的、不受长期趋势影响的季节变动。

三、长期趋势分析的方法

对时间序列进行长期趋势分析主要有两种方法：最小平方法和移动平均法。

（一）最小平方法

时间序列的趋势有直线趋势，也有曲线趋势，一般在对时间序列进行趋势分析时，首先应根据所给时间序列绘制散点图，然后根据散点图及事物变化的特点，判断是配合直线趋势还是配合曲线趋势。在此我们介绍几种常见的趋势。

1.利用最小平方法模拟直线趋势（Linear trend）。最小平方法在第七章中已叙述过，就是要求配合的趋势线与原序列的观察值离差的平方和为最小。即：

式中：Q表示离差平方和；Y表示观察值；表示趋势值。

对于直线趋势，我们设直线趋势方程为：

式中：表示时间序列的直线趋势值；a，b表示所模拟直线方程的参数；X表示时间变量。

将直线趋势方程代入Q有：

Q＝∑（Y－a－bX）²

求Q对a，b的导数并令其为0

整理得

根据此式即可求出直线方程。

例8－8：以表8－1我国1990～2002年钢产量资料为例，求长期趋势。

先做散点图（见图8－2），从图中可看出钢产量大体呈直线趋势变化，于是可以拟合一直线方程：，计算过程如表8－8所示。

表8－8　　　直线趋势方程计算表

于是得我国1990～2002年钢产量的直线趋势方程：

（原点为1989年7月1日，X的单位为年）

对求出的趋势线，应标明原点位置及时间的计量单位。通常，习惯上采取以一年的中点即7月1日作为该年数据的代表。

将X值代入直线方程，可求出相应的趋势值，见表8－8最末一栏并将趋势线描在图上（见图8－2）。

图8－2　1990～2002年我国钢产量发展变化图

为简化计算，对时间的编码，可取中间一年为原点，即为0，原点之后各年为正，原点之前各年为负，得∑X＝0，于是a，b的计算公式可简化为：

如果遇到时间数是偶数时，为使∑X＝0，应取序列中两个居中时间的中点为原点。此时由于原点位于两个年度中间，所以趋势线的时间单位为半年，原点之后各年的时间编码分别为＋0.5，＋1.5，＋2.5等，以前各年分别为－0.5，－1.5，－2.5等。为使计算简化，可对各项时间编码数字乘以2，使原点之后给以1，3，5等，原点之前给以－1，－3，－5等。

2.利用最小平方法模拟二次曲线趋势。二次曲线（Second degree curve）趋势是曲线趋势的一种，判定时间序列是否为二次曲线趋势的方法有两种：一种方法是根据散点图所描绘的时间序列有较明显的二次曲线（抛物线）趋势，另一种方法是时间序列二次差（二级增长量）大体相同。这时可应用最小平方法配合二次曲线趋势。设二次曲线趋势方程为：

式中：表示二次曲线趋势值；a，b，c表示二次曲线方程参数；X表示时间变量。

利用最小平方法原理，我们可得到计算参数a，b，c的三个标准方程式：

∑Y＝na＋b∑X＋c∑X²

∑XY＝a∑X＋b∑X²＋c∑X³

∑X²Y＝a∑X²＋b∑X³＋c∑X⁴

例8－9：现有某种产品销售量资料，试求二次曲线趋势。

表8－9　　　二次曲线趋势方程计算表

根据标准方程有：

103＝9a＋45b＋285c

565＝45a＋285b＋2025c

3627＝285a＋2025b＋15333c

解得：a＝－0.734

　　　b＝5.2033

　　　c＝－0.437

于是可得到二次曲线趋势方程为：

（原点为1994年7月1日，X的单位为年）

将原序列与趋势序列描绘在图8－3。

图8－3　某产品1995～2003年销售量变化图

按照直线趋势方程的简化计算方法，在时间序列中，以中间一年为原点，即为0，原点以前的年次为负，原点以后的年次为正，∑X＝0，则标准方程可简化为：

∑Y＝na＋c∑X²

∑XY＝b∑X²

∑X²Y＝a∑X²＋c∑X⁴

3.利用最小平方法模拟指数曲线（Exponential curve）趋势。当一个时间序列数值以某一相对稳定的速度递增或递减时，也就是各期环比速度基本一致时，这样的时间序列就具有指数趋势。设指数曲线方程为：

式中：表示指数曲线趋势值；a，b表示指数曲线方程参数；X表示时间变量。

将指数曲线方程两边取自然对数得到：

令　

于是上式可改写为

Y′＝a′＋b′X

下面我们可以按拟合直线趋势的方法来确定指数曲线方程。计算公式为：

求得a′，b′后再还原为a，b。

如果对时间编码时，不是从序列中第一个时间开始，而是从序列中居中项开始，则：

例8－10：某企业近年来利润额资料见表8－10，试求指数曲线趋势。

表8－10　　　指数曲线方程计算表

由　b′＝lgb＝0.0794207　　b＝1.2007

　　a′＝lga＝0.201320　　　a＝1.5897

因此，

（原点为1993年7月1日，X的单位为年），见图8－4。

图8－4　某企业1994～2003年利润发展变化图

借此趋势我们可预测该企业2004年利润额（亿元）为：

上面我们介绍了用最小平方法对几种常见的趋势进行趋势曲线拟合。这里有一点需要强调，当给时间序列拟合趋势线时，一定要通过做散点图，观察分析时间序列的具体特征，然后再进行趋势拟合。尤其在进行二次曲线和指数曲线趋势拟合时更要慎重，因为它们所拟合的时间序列都有各自的特殊性。

（二）移动平均法

移动平均法（Moving average method）就是利用计算时间序列中若干期的算术平均数作为这一段时期的中间时点的值，然后逐渐向后移动计算得到一个新的派生的时间序列。通常移动平均可以把原序列中某些不规则变动加以修匀，变动就更平滑了，趋势也就更明显。

移动平均所扩大时距的大小又称项数。项数的多少直接影响修匀的程度，一般说来，项数用的越多，修匀的作用就越大，而所得出移动平均数的数目也就越少；反之，项数越少，修匀的作用就越小，所得出的移动平均数的数目也就越多。在序列中如果存在着自然周期，则应以周期数作为移动平均的项数。例如，季度资料是一年内四季一个周期，用4项移动平均为宜，而月度资料则要用12项移动平均为宜。因每次移动平均值应对准所平均时期的正中间，所以如果序列没有自然周期，则宜取奇数项较简便；取偶数项会使移动平均值不能对准原时期，因而对计算出的移动平均数尚需再进行一次两项移动平均。

例8－11：根据表8－11所列我国1984～2002年钢产量资料，试用移动平均法求趋势值。

这里采用5项移动平均，先求出5年产量之和，然后再求平均，如1984～1988年产量之和为25817万吨，然后求平均25817/5＝5163.4，此移动平均数对应在5年的中间期，即1986年，其余类推。从图8－5中可以看到，移动平均序列是一个较原序列平滑的趋势线。

表8－11　　　1984～2002年我国钢产量序列移动平均计算表

资料来源：《中国统计年鉴》（1984），中国统计出版社，1985年；《中国统计年鉴》（2002），中国统计出版社，2003年。

图8－5　1984～2002年我国钢产量发展变化图

以上我们对时间序列的趋势问题进行了讨论，有了趋势，一方面可以使我们对事物的发展规律有较清楚的认识，同时对预测、决策都有帮助；另一方面，在认识了现象发展的趋势后，为下面研究其他因素提供了方便。

最后，关于长期趋势分析有几点说明：

1.无论用最小平方法进行趋势线拟合，还是移动平均法平滑序列，都可对周期因素、季节因素和不规则因素有消除作用，但是使用移动平均法不能较好的消除这些影响。

2.使用移动平均法最大的优点是既可处理线性趋势，也可处理非线性趋势。其主要的不足是，趋势序列的开始几项和最后几项数值出现空白，而实际上这些位置是有趋势值的。