流体力学的两个基本概念,弧线原理的分析介绍

弧线原理

1．吹纸条

要解释为什么卡洛斯踢出的球能在空中划出一条弧线，需要用到流体力学中中压强和流速的关系。

你肯定记得小时候经常玩的一个游戏——吹纸条：取一片小纸条，让它自然下垂，在纸条的上方沿水平方向吹气，纸条就会飘起，这是由于流动气体的压强小造成的（见图6－2）。

一般人认为吹气只能使纸条更加下垂，怎么会向上飘动呢？这就是流动着的空气的特性。哪里气体的流速大，哪里的压强就小。当我们用力吹气的时候，在纸条上方出现一股流速很快的气流，这里气体压强变小，相比之下，下面的空气压强就大，向上压去，于是对纸条产生了举力，也就是升力。

风筝飞上天空的道理也是这样：当风吹过风筝的时候，气流分成两股，分别从风筝的上、下方流过，然后在风筝后面汇合。从图中可以看出，两股气流走过的路程不一样长。比较风筝上面和下面流过的气流，上面的气流需要绕过风筝，所以多走了一段路，因此上部气流相对跑得快一些，也就是说风筝上方的气流比下方的气流跑得快一些。这跟吹纸条的实验道理一样，下面的空气会向上压，托起了风筝。

图6－2　生活中的流动气体压强

试想，只要将各种物理条件的方向转过90°，则上升下降的运动就会转换成水平方向的侧向运动，也就说明足球前进中有可能发生侧向的转变方向的运动。

2．理想流体

拿一块木板斜着迎风放置，当风吹过来时，木板就会受到一定的上升力量。改变一下木板的形状，使之成为上凸下平或上凸下凹的形状，如机翼一样，则受到的向上的力量（所谓升力）就会更大（见图6－3）。

这种流动气体压强所表现出来的现象，可以用伯努利方程或伯努利定理来解释。为了推导伯努利方程，先了解流体力学的两个基本概念：理想流体和定常流动。

什么是理想流体呢？在通常的物理环境中，液体不容易被压缩，因而在不需要十分精确计量的研究过程中，可以认为液体是不可压缩的。气体相对比较容易被压缩，但在研究流动的气体过程中，如果气体的密度没有发生显著的改变，也可以认为气体是不可压缩的。气体和液体都是流体，流体流动时，速度不同的各层流体之间也有摩擦力（黏滞性）。不同的流体，摩擦力（黏滞性）也不同。在液体中，油类的黏滞性较大，水、酒精的黏滞性较小；相对于液体而言，气体的黏滞性更小。研究黏滞性小的流体，在有些情况下可以认为流体没有黏滞性。

不可压缩的、没有黏滞性的流体，称为理想流体。

图6－3　在流动气体中机翼获得升力

什么是定常流动呢？观察河水在河道中的流动，可以解释什么是液体的定常流动。读者可以寻觅河水流淌比较平静的河段来观察，隔一段时间再观察，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有显著的变化。在这样的河段上，河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变。这就是河水的定常流动现象。自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以视为定常流动。

流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动。

3．伯努利方程

能形象地表述流体特性的伯努利方程就建立在上面这两个物理概念的基础上。现在就来讨论理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。

图6－4　推导伯努利方程辅助图（一）

图6－4中有一段细管，其中流体由左向右流动。在管的a₁处和a₂处用横截面截出一段流体（图中标为深色），即a₁处和a₂处之间的流体，作为研究对象。

a₁处的横截面积为S₁，流速为v₁，高度为h₁。a₁处左边的流体对研究对象的压强为p₁，方向垂直于S₁向右。a₂处的横截面积为S₂，流速为v₂，高度为h₂。a₂处右边的流体对研究对象的压强为p₂，方向垂直于S₂向左（见图6－5）。

经过很短的时间间隔Δt，这段流体的左端S₁由a₁移到b₁，右端S₂由a₂移到b₂。两端移动的距离分别为Δl₁和Δl₂。左端流入的流体体积为ΔV₁＝S₁Δl₁，右端流出的流体体积为ΔV₂＝S₂Δl₂。理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，因此ΔV₁＝ΔV₂，记为ΔV，即ΔV＝ΔV1＝ΔV2。

图6－5　推导伯努利方程辅助图（二）

现在考虑左、右两端的力对这段流体所做的功。作用在左端的力F₁＝p₁S₁，所做的功是

W₁＝F₁Δl₁＝p₁S₁Δl₁＝p₁ΔV

作用在右端的力F₂＝p₂S₂，所做的功是

W₂＝－F₂Δl₂＝－p₂S₂Δl₂＝－p₂ΔV

外力所做的总功是

W＝W₁＋W₂＝（p₁－p₂）ΔV（1）

外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是a₁到a₂这段流体的机械能E₁，末状态的机械能是b₁到b₂这段流体的机械能E₂。由b₁到a₂这一段，经过时间Δt，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变。这样，机械能的改变（E₂－E₁）就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。

由于m＝ρΔV，流入的那部分流体的动能为

重力势能为

mgh₁＝ρgh₁ΔV

同时，流出流体的动能为

重力势能为

mgh₂＝ρgh₂ΔV

总机械能的改变为

理想流体没有黏滞性，流体的机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受力所做总功W等于机械能的改变（E₂－E1），即

将（1）式和（2）式代入（3）式，得

整理后得

因为a₁和a₂是在液体中任意取的，所以，对管中任意处的液体，均有

为常量。

（4）式和（5）式称为伯努利方程。

液体水平流动或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为

从（6）式可知：在流动的液体中，压强跟流速有关，流速v大的地方压强p小，流速v小的地方压强p大。这是流体中压强和流速的关系。