流体运动的几个基本概念

人们对流体力学的研究同人类对客观世界的认识规律一样，由简到繁，由易到难，是随着生产力的发展而向前发展的。纵观流体力学的发展历史和目前流体力学的研究现状，可以看到研究具体流体力学问题的过程，就是在分析各种复杂因素的基础上，在保证精度的范围内忽略次要因素，抓住主要因素，使问题简化求解的过程。根据不同的问题，有着不同的分类，也对应着不同的研究方法。一般来说，本书将要讨论的问题，可以分为如下几种类型:

(1)根据流体的性质，按照粘滞性可以分为理想流体流动和粘性流体流动，按照压缩性可以分为可压缩流体流动和不可压缩流体流动等。

(2)根据运动状态，可以分为定常流动和非定常流动;均匀流流动和非均匀流流动;层流流动和紊流流动;有旋流动和无旋流动;亚音速流动和超音速流动等。

(3)根据坐标数量，可以分为一维流动、二维流动和三维流动，还有元流流动和总流流动等。

上述流体流动类型，有些已在第1章中进行了讨论，有些将在以后的章节叙述，本节将叙述一些流动类型和一些相关的基本概念。

4．2．1　定常流动和非定常流动

用欧拉法描述流体运动时，对于流场中通过每一空间点的各流体质点的运动要素，在不同的时间都保持不变，也就是与时间无关，这样的流动称为定常流或恒定流。定常流的数学表达式为

式中φ表示任一运动要素，如u、p、T、ρ等。在这种情况下，运动要素φ仅仅是空间位置坐标的函数，与时间t无关。从随体导数式(4-7)～式(4-12)来说，与本地加速度有关的项为零，与迁移加速度有关的项不为零。

4．2．2　一维流动、二维流动和三维流动

根据欧拉法，描述流体流动的流速、压强等运动要素都是空间坐标x，y，z的函数。如果描述某种流动的运动要素只是一个坐标的函数，则称为一维流动。以此类推，如果运动要素是两个坐标的函数，则称为二维流动;如果运动要素是三个坐标的函数，则称为三维流动。一般来说，所有的流体流动过程，都是三维流动。然而在实际工程中，全部按三维流动分析求解，则费工费力，有时也可能有非常大的困难。因此为了求解方便，并在保证一定的精度情况下，可以将实际的三维流动简化为一维流动、二维流动来求近似解。

例如，分析管道、明渠内的流体流动，若将每个有效截面上的运动要素取为平均值，则该平均值只是自然坐标s(即沿轴程距离或沿流程距离)的函数，这时流动可以作为一维流动来分析，如图4-1所示。这种方法称为一维流动分析法。后面将介绍的元流和总流都属于一维流动分析法。

图4-1　一维流动

4．2．3　迹线与流线

迹线就是流体质点在空间运动时留下的轨迹所连成的曲线。迹线是与拉格朗日法相联系的，可以通过拉格朗日法给出迹线方程。注意到，迹线是针对具体流体质点的，从分析推导欧拉法加速度时，给出的流体质点在Δt时段内沿其运动轨迹的微小位移与速度的关系式(4-6)，就是可表示迹线的迹线微分方程式。即

或

应注意，坐标x，y，z是时间t的函数，对式(4-14)或式(4-15)积分时，是以时间t为自变量，以坐标x，y，z为参量进行的。积分后在所得的表达式中消去时间t后即得迹线方程。

流线是指在某一瞬时空间的一条曲线，在该曲线上任一点的流速方向和该点的曲线切线方向重合。或者说流线是同一时刻由不同流体质点所组成的空间曲线，这个曲线给出了该时刻不同流体质点的运动方向。流线是与欧拉法相联系的。

现讨论流线方程。在流场中任一流线上某点沿流线取一微小线段ds，显然ds的方向就是流线的切线方向，又设该点的流速为u。根据流线的定义，有流速u的方向与微小线段ds的方向重合，即

写成直角坐标表达式为

式中，i，j，k分别为坐标x，y，z轴向的单位矢量。展开后可得流线微分方程

流线微分方程(4-18)由两个独立方程式组成，式中流速u为坐标(x，y，z)和时间t的函数。由于流线是针对同一瞬时的，则以坐标(x，y，z)为自变量进行积分可以求得流线方程，时间t则看做为参量。

流线有下列基本特性。

(1)在定常流中，流线的形状和位置不随时间而改变，流线与流体质点的迹线相重合。

这是因为在定常流中，各空间点流速不随时间而变化，则流线的形状和所处的位置也不随时间而变化。也就意味着流线就像一个通道，许多流体质点沿着这个通道不停的向前运动。这时，针对具体的流体质点则为迹线;针对众多的流体质点则为流线。

对非定常流，由于流速随时间变化，那么流线的形状和所处的位置也随时间变化。

(2)对同一时刻，流线不可能相交，也不可能分叉或转折，流线是光滑的曲线。

用反证法，如果某时刻，有两条流线在某点相交，这时在该相交点处，沿两条流线有两个切线方向，而该点只有一个流速方向，按照流线定义，这是矛盾的和不可能的。故在同一瞬时，流线不可能相交。同理也可证得，流线不可能分叉或转折，是光滑的曲线。

例4-1已知定常流场中的流速分布为ux=ay，uy=－ax，uz=0，其中常数a≠0，试求该流场的流线。

解由于uz=0，并且ux和uy与坐标z无关，则法线与Oz轴平行的所有平面上的流速分布是相同的。因此可以任取一个法线与Oz轴平行的平面作为xOy平面，并在该平面上进行流场分析。现将已知的流速分布代入流线微分方程(4-18)，即

积分该流线微分方程，得流线方程

x2+y2=C

可见在xOy平面上，流线为一簇圆心位于坐标原点的同心圆，圆的半径由积分常数C给出。由于流动同时为定常流，该同心圆也是迹线，即流体质点绕原点作圆周运动。

4．2．4　流管、元流、总流

1．流管

在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，在同一瞬时，过该封闭曲线上的每一点作流线，由这些流线所构成的管状封闭曲面称为流管，如图4-2所示。若所取的封闭曲线为微小的封闭曲线，这时所构成的流管为微元流管。根据流线的定义，尽管由流线构成的流管壁面在流场中是虚构的，但在流动中好像是真正的管壁，流体质点只能在流管内部或沿流管壁面流动，不能穿越管壁流进流管或流出流管。

图4-2　流管、流束示意图

2．元流

充满流管内的流动流体称为元流或微小流束。当元流直径趋于零时，元流则达到其极限——流线。在一般的情况下，元流和流线的概念是相通的。定常流时元流的形状和位置是不随时间而变化的。由于元流的横截面面积很小，可以认为横截面上各点的流速、压强均相等。

3．总流

总流就是实际流体在具有一定尺寸的有限规模边界内的流动。总流也可以看做是无数元流的总和。如自然界的管道流动和河渠流动都可以看做为总流流动问题。

将流动问题看做元流和总流，就是按照一维流动分析法的思路解决实际流动问题。

4．2．5　有效截面、流量、断面平均流速

1．有效截面

与元流或总流中的流线相垂直的横截面称为有效截面，或者说有效截面上各点的流速方向与该截面的法线方向相同。注意，有效截面不一定为平面。如图4-3所示，当流场内所有的流线相互平行时，有效截面则为平面，否则有效截面为曲面。元流或总流的横截面也称为断面，有效截面也称为过水断面。

图4-3　不同流动的有效截面示意图

2．流量

单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量Q，一般简称为流量，其单位为m3/s。对于元流，由于有效截面面积dA非常小，可以近似认为该截面上各点的流速在同一时刻是相同的，因此元流流量dQ为

式中:dA——元流有效截面面积;

u——元流有效截面上各点的流速。

对于总流流量则可以通过将经过总流有效截面的所有元流流量相加求得，即

式中:A——总流有效截面面积;

u——总流有效截面上各点的流速。

对于通过流场中某横截面或某表面的流体的流量，这时横截面或表面的法线n方向与流速u方向不相同，这时流量为

式中:cos(u，n)——流速矢量与该有效截面法向方向的方向余弦;

un——流速矢量向该有效截面法向方向的投影分量。

若单位时间内通过有效截面的流体数量为质量或重量，则称为质量流量QM(单位:kg/s)和重量流量QG(单位:N/s)。其计算公式为:

质量流量

重量流量

实际应用中，在不产生错误理解的情况下，仍可以用Q表示质量流量QM和重量流量QG。

3．平均流速

由于流体的粘性和流动边界的影响，总流有效截面上各点的流速是不相同的，整个截面的流速分布是不均匀的，为方便计算，引入平均流速的概念。即认为总流有效截面上各点的流速大小都是相同的，并且都等于平均流速v，如图4-4所示。按照这个概念，平均流速v与有效截面面积相乘所获得的流量，应等于按实际点流速u分布沿面积积分所得的流量，即

整理得平均流速v与实际点流速u的关系为

图4-4　截面流速分布与平均流速示意图

4．2．6　均匀流与非均匀流

1．均匀流

流体流动的流线均为相互平行的直线，这种流动称为均匀流。例如流体在直径不变的长直管道内的定常流动就是均匀流(进口段和出口段不算)。基于均匀流的定义，均匀流有下列特性:

(1)均匀流的有效截面为平面，并且有效截面的形状和尺寸沿流程不变;

(2)均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布相同、平均流速相同;

(3)均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中的流体静压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点的测压管水头等于一常数的特性，即

根据这个特性，均匀流有效截面上的流体动压强分布可以按流体静压强的规律计算。

2．非均匀流

流体流动的流线如果不是相互平行的直线，例如流线平行但不是直线、或流线是直线但不平行，这样的流动称为非均匀流。如图4-5所示，流体在收缩管和扩散管中的流动，或流体在一管道系统中的流动，都为非均匀流。非均匀流有效截面上流体动压强分布不满足流体静压强规律，如图4-6所示。

图4-5　非均匀流流动示意图

图4-6　非均匀流有效截面上的压强分布示意图

根据非均匀流中流线平行和弯曲的急剧程度，又可以分为渐变流和急变流。

如果某流动的流线曲率很小可以近似为直线，或流线之间的夹角很小，这种流动称为渐变流，也称为缓变流，如图4-5中(a)、(b)、(c)等。渐变流的极限情况为均匀流，或者说渐变流就是近似均匀流。由于渐变流流线的曲率和夹角都很小，则在其有效截面上流体动压强分布可以近似满足流体静压强的分布规律，即式(2-25)近似成立。

如果某流动的流线曲率很大完全不为直线，或流线之间的夹角很大，这种流动称为急变流。急变流因为其流线弯曲程度很大，沿垂直于流线的方向存在离心惯性力，使得有效截面上的流体动压强分布复杂，完全不满足流体静压强的分布规律，如图4-6所示。

4．2．7湿周、水力半径

总流的有效截面上，流体与固体边界接触部分的周长称为湿周，以χ表示，如图4-7所示。总流的有效截面面积A与湿周χ之比称为水力半径，以R表示，即

由式(4-26)可知，水力半径是具有长度量纲的量，但必须注意水力半径与一般的圆截面的半径是完全不同的概念，不能混淆。例如以半径为r、直径为d并充满流动流体的圆管，其水力半径为

可见圆管半径r不等于水力半径R。

湿周和水力半径反映了总流有效截面的综合形状特性，特别是在非圆截面管道和渠道的水力计算中经常用到。

图4-7　湿周及计算方式示意图