《空间向量与立体几何》教材分析及教学建议

《空间向量与立体几何》教材分析及教学建议

毛文灿

一、内容安排与教学目标

1．内容。本章是选修2－1的第二章，包括以下内容:

(1)从平面向量到空间向量。

(2)空间向量的运算。

(3)向量的坐标表示和空间向量基本定理。

(4)用向量讨论垂直与平行。

(5)夹角的计算。

(6)距离的计算。

2．目标，通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力。具体达到以下目标:

(1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

(2)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

(3)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

(4)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

(5)理解直线的方向向量与平面的法向量。

(6)能运用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。

(7)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理。

(8)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二、本章的重点与难点

1．重点。空间向量的运算(线性运算、数量积)、空间向量的几何形式、坐标形式、应用空间向量证明空间线、面的位置关系、应用空间向量求空间线、面距离、角。

2．难点。

(1)共线向量、共面向量定理——用于证明空间线、面平行。

(2)空间向量基本定理——用于引进向量的坐标表示。

(3)空间向量的数量积——用于研究距离、角的计算。

(4)直线的方向向量与平面的法向量——研究线、面所成的角。

三、本章的主要特点

1．强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法。充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生自己将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、推广、特殊化、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的。在空间向量运算中，还注意了与数的运算的对比。另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行了比较，引导学生对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行认识。

2．突出用空间向量解决立体几何问题的基本思想。根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系;然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系(距离和夹角等问题);最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体图形的问题。

3．与传统的人教版教材不同，新教材《必修2》对于立体几何中垂直、平行的判定和性质只作了形象的描述，对空间的距离、角只介绍了有关概念。并在选修2－1中利用向量的方法对其进行证明、运用。这种处理方法操作性较强，大大降低了学生的学习难度。

4．用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。使用了大量的“思考交流”等，引导学生对相应的数学内容进行深入研讨。例如，在从平面向量到空间向量中，由学生仿照平面向量的有关概念给出单位向量，零向量，相等向量，相反向量，平行向量的定义、空间向量基本定理中实数、、的唯一性、如何用向量证明面面垂直的判定定理、如何用向量计算直线与平面的夹角、计算平面间夹角的不同方式等，都用“思考交流”的方式提出问题，帮助学生形成积极主动的学习态度，转变学生的学习方式。

四、地位和作用

用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。

向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度。《普通高中数学课程标准》对立体几何的定位主要作了三个方面的调整:强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养。

五、教学建议

1．重视运用类比的方法进行空间向量的教学。空间向量概念虽多，但它是平面向量在空间的推广与拓宽，所涉及内容多数与平面向量相似。因此，在教法上，宜多用类比法，在引导学生复习平面向量的相关知识的基础上，通过类比，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。找出空间向量与平面向量的联系与区别。如空间向量的加法，由于任何两个空间向量经平移可以共起点，则可以将两个空间向量的加法转化为平面向量的加法。同时，空间首尾相接的两个向量也可采用三角形法则。在3个以上空间向量相加时，与平面向量不同，这些向量可能不共面，但仍可通过平移逐个相加。又如向量基本定理，对于平面向量，它的基底是不共线的两个非零向量，而对于空间向量，它的基底则是不共面的三个非零向量。在学习空间向量的过程中，必须注意维数增加所带来的影响。

2．重视探究过程。注重用方向向量和法向量对线面垂直判定定理和面面平行判定定理的证明思路的探究，并引导学生用向量的方法对《必修2》立体几何章节中垂直与平行其他二个判定定理和四个性质定理予以证明，让学生体会用向量解决立体几何问题的思想方法以及它所带来的学习的乐趣。

3．引导学生归纳以向量方法解决立体几何问题的规律。培养学生在研究立体几何问题上的向量意识，掌握以向量解题的基本方法成为空间向量与立体几何的重中之重。为此，教学时要引导学生依以下步骤思考:

(1)如何设置空间直角坐标系把已知的几何条件(如角或线段)转换为向量表示。

(2)考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示。

(3)如何对已经表示出来的向量进行运算，获得需要的结论。

总之，在这章教学中:重视空间向量的概念、运算方法及其应用，而不必过多追求理论上的严谨性，侧重于掌握向量这一工具的性质和用途。空间向量是平面向量的推广，内容和结构都与平面向量基本一致，因此，宜用类比法。由于学生的空间观念还比较薄弱，教学中宜多采用教具演示，尽量使学生能够形象直观地掌握本节内容。