粗糙集理论的数学表达

4.1.2　粗糙集理论的数学表达

4.1.2.1　粗糙集的数学表达

在粗糙集理论中［80］，认为知识具有对对象进行分类的能力，对象用其属性集合（称为论域U）表示，论域U上的划分可以用表征这些划分的等价关系集合R来形式化地分类。这样，知识就可理解为：使用等价关系集R对论域U进行划分，划分的结果或导出的规则就是知识，用U/R表示。由此，在U与R的意义下引出知识库的定义：属于R中所有可能的关系对U 的划分，记为K=（U，R）。知识库表达了论域U上的一种基本分类方式。

在论域U的划分中，如果一个等价关系集合对某些数据的划分存在矛盾，将导致不确定划分。为了描述知识的确定程度，粗糙集理论引入了“上近似”、“下近似”的概念。设对于每个子集X∈U和一个等价关系R对U的划分为U/R，那么称

R_（X ）=∪{Y ∈UR∶Y∶X }（4-1）

R- （X ）=∪{Y∈U/R∶Y∩X≠ }（4-2）

为X 的下近似和上近似；称posR（X）=R_（X）为X的R正域，negR（X）=U-R_（X）为X的R负域，bnR（X）=R-（X）-R_（X）为X的R边界域。显而易见，正域就是那些对于知识R、U中能完全确定地归入集合X 对象的集合；负域是那些对于知识R、U中能完全确定不属于集合X 对象的集合；边界域是论域U上的不确定域。

4.1.2.2　知识的约简

知识约简是粗糙集理论的核心内容之一。众所周知，知识库中知识（属性）并不是同等重要的，甚至其中某些知识是冗余的。所谓知识约简，就是在保持知识库分类能力不变的条件下，删除其中不相关或不重要的知识［81］。知识约简中有两个基本概念：约简（reduct）和核（core）。

设有一等价关系族R={P、Q }，则交集P∩Q也是一等价关系，并且是R上不可分辨的等价关系，记为ind（R）。而Q的P正域记为

posP（Q）=∪X∈U/QP_（X）（4-3）

另设一等价关系S ，其划分为U/S ，如果pos（R-P）（S）≠posR（S），那么称P是R中S 不可省略的，否则称P是R中S可省略的；称R中S不可省略的等价关系的集合为R中的S约简。

4.1.2.3　知识的依赖性及其度量

设K=（U，R）为论域U上的知识库，P、Q∈R，如果ind（P）∈ind（Q），就称知识Q依赖于知识P，其依赖的程度可表示为

rP（Q）=card（posP（Q））/card（U）（4-4）

式中：rP（Q）为知识Q依赖于知识P的度量，card为求集合基数的运算符号。

当rP（Q）=1时，Q完全由P导出，也即完全依赖于P；当0＜rP（Q）＜1时，Q可由P部分导出；当rP（Q）=0 时，Q完全不依赖于P。

4.1.2.4　知识的重要程度

为了确定某些知识或属性（知识往往与论域的特征属性相对应）的重要程度，需要考察去掉这些属性后论域U上的划分会如何变化。如果去掉这些属性会相应地改变划分，则说明这些属性强度大，重要性高；反之，强度小，重要性低。属性的重要程度可用

e（B′）=rB（C）-r（B-B′）（C）（4-5）

来衡量。其中B′B是属性集C导出的划分的属性子集。e值越大，说明B′对C的划分影响程度越高，B′的重要性越大；如果e=0，则说明该属性子集（或属性）的去掉不会改变原有的划分，因此它可以从知识库中的属性集中去掉。