数学学习的一般理论

本节主要阐述数学学习的特点和分类、数学学习的一般过程理论、数学学习与数学思维发展的关系等方面。同时给出了一些新课程理念下学生学习数学的特点及数学学习过程。

一、数学学习的概念，特点与新课标的要求

（一）数学学习的概念

数学学习是学生学习的一个十分重要的组成部分。它是指学生依据数学教学大纲，按照一定的目的、内容、要求，系统地掌握数学知识与技能的过程。并且在这一过程中，逐步地发展各种能力，尤其是数学能力，养成良好的数学心理品质。

数学知识与技能的学习一般都以外显形式反映行为变化，而数学情感学习所导致的行为变化则往往呈内隐形式。

（二）数学学习的特点

数学学习除了具有学生学习的一般特点外，还有以下三个显著特点：

1.学学习是一种科学的公共语言学习

由数学符号以及它们的各种有机组合所构成的数学，可以反映存在于现实世界中的一些关系和形式，因此它也是一种语言。

2.生学习数学必须具备较强的抽象概括能力

数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，因此，它完全脱离了具体的事实。同时数学的抽象性与概括性还表现在它使用的高度形式化的数学语言和它的逐次抽象概括过程。例如小学阶段学习了生活中的数字，抽象到纯粹的数字——数字的四则运算，到了初中就开始广泛地使用字母，学习多项式的运算，再进一步抽象到函数、集合之间的运算。（由抽象的符号化数字，到更抽象的字母；由抽象的数、式、函数的概念，到更抽象的集合的概念，都是一个逐次抽象概括的过程。）

3.学学习最有利于学生演绎推理能力的发展

数学是一门建立在公理体系基础上，一切结论都需要加以严格证明的科学。数学证明所采用的逻辑形式最基本、最主要的就是三段论。学生在整个中学阶段的数学学习中，反复学习使用三段论来解答各种数学问题，并且还要求他们能够达到熟练掌握的程度，这对于他们演绎推理能力的发展是有利的。

（三）新课程标准中对数学学习的要求

《全日制义务教育数学课程标准》（简记为新《课标》）在基本理念部分就明确提出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”

从这个基本理念可知：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学认识和了解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

二、数学学习的分类

（一）数学学习的等级分类

著名教育心理学家和学习实验心理学家加涅提出的八类型学习分类，是一从简单到复杂、从具体到抽象、从低级到高级的学习登记分类。数学学习也可据此分为：

1.号学习

信号学习是由单个事例或一个刺激的若干次重复所引起的一种无意识的行为变化，它属于情绪的反映。

2.激—反应学习

刺激—反应学习也是一种对信号作出反应的学习，但它有别于信号学习的是：信号学习是自发的、情绪的行为变化，而刺激—反应学习是自觉的、肌体的行为变化。

3.锁学习

连锁学习是指两个或两个以上非词语刺激—反应学习的一个有序结合，称为一条链。在数学学习中，某些技能的学习带有一定的操作性，它们也是一种连锁学习。例如，利用直尺、圆规、量角器等工具进行画图或作图，制作几何模型，都是连锁学习。

4.语联想学习

与连锁学习一样，词语联想学习也是一种刺激—反应学习链，只是这条链上的链环是词语刺激—反应，而不是运动刺激—反应。例如数学学习中的记忆三角公式。

5.别学习

辨别学习就是学会对不同的刺激，包括对那些貌似相同但实质不同的刺激作出不同的识别反应。辨别学习的困难主要在于以下两种情形：一是形式相同而实质不同的两个对象。例如：直角坐标系中方程x=3的曲线和极坐标系中方程ρ=3的曲线，形式相同但所表示的曲线却完全不同，前者是一条直线，而后者是半径为3的圆。

6.念学习

能够识别一类刺激的共性，并对词作出相同的反应，这一过程称为概念学习。概念学习的特点是抽取一类对象的共同特性，而辨别学习的特点则是识别一类对象的不同特性，这是两者的区别。在概念学习中，共性的抽取总需要有一定的区分能力，因此，辨别学习又是概念学习的前提。

7.则学习

法则学习是一列概念学习的有序连锁，表现为能以一类行动对一类条件作出反应，它是一种推理能力的学习。由于数学是一个演绎结构系统，它的所有结果几乎都是以命题的形式给出，而命题实际上是某种法则，因此，法则学习是数学学习的一种主要类型。

8.题解决的学习

问题解决的学习是加涅学习分类体系中层次最高的一类学习，它含有发明、创造的意思。所谓解决问题，就是以独特的方式去选择多组法则，综合运用它们，最终建立起一个或一组新的、更高级的、学习者先前未曾遇到过的法则。数学家所进行的研究工作一般来说都属于解决问题的学习之列。

在数学学习中，解答一般的常规性习题只能归入法则运用的范畴。只有当学生事先不知道，是自己独立地利用先前所掌握的规律推导得出，才算是解决问题的学习。

（二）数学学习的二维分类

1.械学习和有意义学习

机械学习即死记硬背式的学习。它是指学生仅能记住某些数学符号或语言文字符号的组合以及某些词句，而不理解它们所表示的内涵。例如对绝对值、相反数这个概念的理解，如果只是停留在表面上，仅记住公式

a=aa>0

0a=0

—aa0,而没有理解此公式的含义，理解当a0时，出现—a的原因；在解x2—2x+1（x1）时，仍会出现x—1这个答案，在化简a—1a时很可能出现—a这个答案。

有意义学习是指学生不仅能够记住所学数学知识的结论，而且能够理解它们的内在含义，掌握它们与有关旧知识之间的实质性联系。例如，反证法的有意义学习，具体表现为：不仅会利用反证法证明一个数学命题，知道用反证法证命题，实际上是证明原命题的逆否命题，而且能够将反证法与先前已经学过的直接证法进行比较，指出它们之间的异同点。有意义学习结果的外显形式表现为学生能够融会贯通地运用数学知识，它的内隐形式则是学生数学能力的提高和智力的发展。

2.受学习和发现学习

接受学习和发现学习是两种进行方式截然不同的学习。前者是指学生以最后结论的形式直接接受所学的数学知识，其间不涉及学生自己的任何独立发现。后者恰恰相反，学习的主要内容要由学生自己去独立发现，而不是由教师以定论的形式提供给学生。

数学中有大量的内容既可以采用接受学习形式，也可以采用发现学习形式。例如，学习三角形内角和定理、外角的性质，如果由教师直接给出定理，然后给出证明，那么对于学生来说，这一学习过程就是接受学习。如果利用画、剪、拼、凑、量的方法，让学生去发现关于三内角和、外角的性质，再给予几何证明的过程就是发现。

从数学教育心理学研究来看，对数学学习进行分类是非常必要的。因为不同类别的数学学习，在学习的条件、学习的过程、评价的标准等方面都会是不同的，对数学学习的尽量客观准确的分类有助于教师根据相应类别的数学学习特点，对学生的数学学习作出指导。

（三）数学学习也可以依据不同的标准进行分类

1.学习内容看数学学习分类

数学学习内容可以区分为：数学公理、定义、概念、符号；数学定理、性质、公式、法则；数学技能（包括运算、处理数据、推理、画图、绘制图表等）；数学思想、数学方法等。

相应的，数学学习可分为：

（1）数学概念的学习

从逻辑学角度看，数学概念的学习就是要认清概念的内涵和外延；从心理学角度看，就是学会对一类刺激作出同样的反应。例如，“整数”概念的学习，就是要知道整数内含正整数、0、负整数，其外延是：…，—2,—1,0,1,2,…当遇到具体的数时，会作出正确判断，如21、0、—4都是整数，12不是整数。

由于数学概念具有严密的系统性，后续概念一定是在先前概念的基础上定义的，因此数学概念的学习必须是循序渐进的。另外，对同一数学概念的学习也可以有不同层次，这是一个从粗糙到精确严谨、从表面认识到本质理解的过程。

（2）数学原理的学习

这是一种在数学概念学习的基础上，对概念与概念之间关系的学习。例如，“等腰三角形两底角相等”是一个数学定理，它的学习应当在掌握“等腰三角形”、“底角”（与等腰三角形的“顶角”相区别）等概念的基础上进行，而学习的重点则放在对“相等”关系的认识上（寻找为什么相等的理由）。再如，“均值不等式”的学习，应当在掌握“算术平均数”、“几何平均数”等概念的基础上进行，而学习的重点应在对两者关系的认识上，即什么时候是严格的不等、什么时候相等。数学原理学习的结果是使学生能够用某种适当类别的行为样例对某类刺激情景的任何样例作出反应。例如，学生以一类行为（2+72，4+122，8+12等）对一类刺激情景（2·7，4·12，8·1等）作出反应，其行为必然会因为“大于”这样一种关系而与刺激相联系。而支配这一行为的规则就是“算术平均数大于几何平均数”。

（3）数学思维过程的学习

数学思维过程的学习是以数学思想方法为载体，以数学思维技能、技巧和数学思维策略为手段而实现的学习。这里，数学思维策略是“动脑”的方法，是学生将已掌握的数学知识技能应用于问题情景的一些方法，而这些问题可能是学生以前没有遇到过的。

数学思维过程的学习主要包括以下内容：在阅读数学材料时如何使用“执行控制过程”引导自己的注意，有选择地知觉自己阅读的材料；如何发现和组织相关信息，如怎样使用观察、试验等去发现数学问题的特征和规律；怎样运用比较、类比、联想等发现不同数学对象之间的内在联系；如何整理、组织和记忆数学知识；在数学问题解决中，怎样寻找问题的关键信息，如何解释、转换问题的各种信息（如采用文字、符号、图表、图像等手段）；怎样将已经尝试过的方法保持在头脑中；怎样权衡其假设的可能性，如何将目标进行分解，如何将部分综合成整体，在遇到困难时如何及时转换思路；如何通过具体问题的解决而归纳概括出具有一般意义的思想方法，等等。

值得指出，数学思维过程的学习一定是在数学基础知识和基本技能的学习过程中体现出来的。使学生形成良好的数学头脑，养成“数学地思维”的习惯是数学教学的主要目的之一，但是学生必须具备构成他们数学思维内容的数学基础知识和基本技能的坚实基础：学生无法在无知的状态下进行思考。因此，数学学习中应当将主要的时间和精力用在基础知识和基本技能的学习上，这并不一定意味着就是忽视数学思维过程的学习。

（4）数学技能的学习

数学技能是一种通过学习而获得的自动性动作方式或操作系统。数学技能主要是一种智力技能，以运算、推理和作图等方式表现出来，它的学习是通过反复练习来完成。

这里要特别强调的是数学学习的自我控制和调节技能。

（5）数学态度的学习

数学态度，作为数学学习的一种心理和神经中枢的准备状态，是长期数学活动经验的结晶，对个体的数学活动产生直接的或动力的影响，其中包括兴趣、动机、性格等。数学态度的学习是一个长期的、潜移默化的过程，是一种内隐学习，主要通过在数学知识学习过程中渗透数学的精神、思想和方法来实现。因此，数学态度的学习主要依靠数学教学中数学精神的渗透力、感召力。

2.数学知识的来源看数学学习分类

（1）发现学习

发现学习是指学生所获得的数学知识来自于他自己的直接发现或创造，而不是由别人传授的。数学学习中的发现学习在性质和水平上是有区别的。

数学学习中的发现学习是客观存在的。例如，当学生通过对若干具体三角形各内角的度量（这在计算机上利用几何画板软件是非常容易做到的），发现“三角形内角和为180°”的规律，然后通过严格的几何推理论证，证实了这个规律的普遍性，这就是一个发现学习的过程。

（2）接受学习

接受学习是指学生所获得的数学知识来自于他人经验的传授，学生把人类社会已经获得的数学知识经过自己的占有和吸收，内化到自己的数学认知结构中去。

数学学习中，接受学习与发现学习的区分，主要依据了数学知识的来源。如上述关于“三角形内角和为180°”的学习，如果是事先给出了这一命题，学习的任务是以若干具体三角形的例证来检验其正确性或者通过几何推理证明命题的正确性，那么这一学习就是接受学习；如果学生事先没有被告知命题的内容，命题及其正确性都是通过学生自己的探索而发现和论证的，那么这一学习就是发现学习。总的来说，学生的学习过程是一个新旧知识相互作用的过程，同化和顺应是学习的内在机制。因此，发现学习与接受学习同时存在于数学学习过程中。

三、数学学习的一般过程

数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含一系列复杂的心理活动。这些心理活动中，一类是有关学习积极性的，如动机、兴趣、态度与意志；另一类是有关学习的认识过程本身的，如感觉、知觉、思维和记忆。数学学习正是借助于上述两类心理活动完成的。

数学学习的一般过程可分为三个阶段，即输入阶段、相互作用阶段和操作运用阶段。

（一）输入阶段

输入阶段就是给学生提供新的数学信息和新的学习内容，并创设数学学习的情境。在输入阶段，一方面要激发学生的学习动机和学习兴趣，另一方面要通过诸如必要的复习等手段强化与新知识有关的观念，使学生具备必要的认知准备。

（二）相互作用阶段

学生原有的数学认知结构与新学习的内容相互作用有同化和顺应两种基本方式。

同化，即主体将外界客体纳入自身已经形成或正在形成的认知结构中去；顺应，即当主体的认知结构不能有效地同化客体时，主动调节和改变原有认识结构以适应外界客体的过程。

（三）操作运用阶段

这一阶段是在第二阶段产生新的数学认知结构的基础上，通过练习等活动，使新学习的知识得到巩固，通过进一步解决数学问题，使新的数学认知结构日趋完善，并达到预期目标。通过这一阶段的学习，学生不仅掌握了一定技能，而且学生的能力也得到了进一步的发展。

上述数学学习的一般过程可表示。

数学学习的一般过程

四、数学学习的特殊过程

数学学习的特殊过程指的是数学知识、数学技能和数学问题解决的学习过程。

数学知识是人们对客观事物空间形式和数量关系的认识，是人们对客观世界量的侧面的经验概括，它包括数学概念、数学命题、数学思想和方法以及数学史知识等。

数学技能是通过训练而形成的一种动作或心智的活动方式，中学数学的基本技能是指按照一定的步骤与程序进行运算、简单推理，以及画图、绘制图表、处理数据等。

数学问题解决是在具备了一定数学知识、形成了一定数学技能的基础上，综合地应用数学能力解决问题的活动。