数学理论的发展
桑乔·潘萨是唐·吉诃德的仆人，他跑到一个小岛上，成了这个岛上的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”
来的人如果回答对了，就允许他在岛上游玩；而如果答错了，就会被绞死。
对于每一个想来岛上的人来说，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。谁还敢冒死到这岛上去玩呢？
有一天，一个胆子很大的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：
“我到这里来是要被绞死的。”
这样的回答让桑乔·潘萨感到有点为难，是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？
如果让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说的“要被绞死”的回答是错话。既然他说错了，就应该被处绞刑。
但如果桑乔·潘萨把他绞死呢？这时客人说的“要被绞死”的回答就与事实相符，从而就是对的。既然客人答对了，就不该被绞死，而应该让其在岛上玩。
面对这样的回答，桑乔·潘萨发现，他的法律无法执行，因为不管他怎么执行，都会使法律受到破坏。他想了很久，最后不得不让卫兵把这个人放了，并且宣布这条法律作废。
下面再介绍一条悖论，与著名数学家伯特兰·罗素提出的悖论相似：
在某个城市里有一位理发师，他的广告词是这样写的：
“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”
来找这位理发师刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。德国著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己研究了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
对悖论的不断研究，促进了数学理论基础的研究，使数学得到了进一步的发展，并坚实地建立在牢固的基础之上。
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