战后纯粹数学的发展

第二节　战后纯粹数学的发展

第二次世界大战之后，纯粹数学取得了令人瞩目的进展，它主要表现在以流形的整体性质为中心的代数拓扑学及微分拓扑学、大范围微分几何学、大范围分析的研究。在这些研究的基础上，对经典的代数几何学、复变函数论逐步由低维扩张到高维乃至一般维。在代数几何学的成果基础上，数论的核心——丢番图分析取得重大进展。与线性问题迥然不同的非线性问题也有所突破。

一、代数拓扑学及微分拓扑学

1939年底波兰数学家爱伦堡到达美国，开始了他同麦克莱因及斯廷洛德的合作，为代数拓扑学奠定了基础。特别是他1944年定义了奇异（上）同调群并和斯廷洛德在1945年把同调论公理化，结束了战前那种多种同调论并存的局面。1939年英国数学家怀特海引进了CW复形并对同伦等价条件进行代数刻画，使代数拓扑学有了相当合理的对象。1947年斯廷洛德发展了障碍理论，定义了第一个同调运算Sq，成为代数拓扑学的重要工具。

但是战后代数拓扑学的大发展得力于法国学派的兴起。特别是1948年H·嘉当讨论班，对代数拓扑学产生重大突破。早在30年代末，产生纤维丛的概念，这时扩展成纤维空间的概念，成为拓扑不变量的有力工具。1951年塞尔引入1945年勒瑞发明的谱序列方法首先对球面同伦群的计算得出一系列成果。1952年道姆得出道姆基本定理，直接导向配边理论的发展。1956年美国数学家鲍特对于李群的稳定同伦群得出周期性定理，这一结果是K理论的重要组成部分。1970年外斯特及钱普曼证明任何CW复形的同胚都是单同伦等价。

由于代数拓扑学工具的发展，促进了微分拓扑学的大跃进。微分拓扑学主要研究流形的拓扑学，随着流形上拓扑结构、分段线性（组合）结构及微分结构的不同，流形分成三大范畴TOP，PL，DIFF。早在20世纪30年代，美国数学家凯恩斯等就证明，凡是微分流形都可以加以剖分产生与其微分结构相协调的组合结构。但是组合流形反过来并不一定有相应的微分结构，这首先由瑞士数学家克外尔在1959年举出反例。更令人震惊的是美国数学家米尔诺在1956年证明七维球面上有多种不同的微分结构。其后他们还定出球面上到底有多少种不同的微分结构。1960年美国数学家斯梅尔证明了广义庞加莱猜想，即五维及五维以上的同伦球面（具有与球面相同的同伦群）都与球面同胚。对于拓扑流形何时存在PL结构，以及其PL结构是否唯一的问题（去猜想），为美国数学家克拜及基奔曼在1969年完全解决，他们得出了不存在的“障碍”。他们的方法用到无限维的分类空间。

20世纪70年代最困难的三维拓扑学开始取得突破，虽然原来的庞加菜猜想还没有得到证明，但美国数学家色斯顿证明，除了三维球面情形之外，其他三维流形可以得到完全的分类。更令人惊异的是，最为困难的是四维流形情形，1981年美国数学家弗里德曼证明拓扑的庞加莱猜想，而且利用英国数学家唐纳森的结果，可以证明，四维球面上有无穷多种微分结构。低维流形最有兴趣的扭结问题长期以来没有取得新突破：1984年琼斯得到新的多项式，1988年高尔登等证明了蒂茨猜想。

二、微分流形的几何学

微分流形的微分结构可以通过切丛给予一定的刻画。一般丛的理论在40年代初由施蒂费尔、惠特尼定义了施蒂费尔——惠特尼示性类，吴文俊1949年证明其拓扑不变性。邦特里亚金引进邦特里亚金示性类。1957年托姆证明有理系数的邦特里亚金示性类是组合不变量。1965年诺维科夫证明其拓扑不变性。关于微分流形的粗分类，托姆在1952年提出“配边”理论，配边理论是微分流形理论的重大成就，藉助它德国数学家赫采布鲁赫证明高维代数簇的黎曼——洛赫定理，米尔诺证明七维球面上存在不同的微分结构。这个理论为米尔诺等人推广到一般配边理论，如复配边理论，它同K理论一样是一种广义同调理论，即满足同调论七条公理中的前六个，因此给拓扑学引进了新的工具。K理论的产生使一些经典问题得到解决，特别是球面上独立向量场的数目。

微分流形上的向量场。在微分流形M上，使r阶可微（Cr，（r≥1））类向量场x为零的临界点在研究向量场的积分曲线中起着重要的作用，这些临界点就是向量场的奇点。庞加莱第一个发现曲面上向量场的临界点与曲面的拓扑不变量之间的关系，而这个关系的一般形式是由浩普夫给出的。假设M是紧的，且x的临界点只有有限多个，那么对于每个临界点可以内在地对应一个整数，称为该点的指数，则所有指数之和（称为x的指数）等于M的欧拉——庞加莱示性数。如果x₁，…x_k是M上k个向量场，这个向量场组的奇点就是这样的点x∈M，在其上向量x₁（x），…x_k（x）是线性相关的；指数的概念也能推广到这样的向量场组上，当k＝2时，也有它与M的同调之间关系的结果。一个曾进行许多研究的问题是：决定最大的整数k，使存在k个向量场x1，…，xk不具有奇点。如k＝n＝dim（M），流形M就称为可平行的。对于球面S_n的情形，这问题由亚当斯在1962年完全解决。

嘉当的一段联络理论被法国数学家埃雷斯曼等人发展成为一般的纤维丛观念。纤维丛是一种以空间为基，基上每点又长出另一空间为其纤维，所有这些纤维合在一起成为纤维丛。利用纤维丛的观念可以自然地定义外微分形式及外微分。嘉当的联络概念使得我们能够比较在两个无穷近点的两个切空间的向量，同时可以定义一个向量场关于另一向量场的导数，这正好是协变导数的推广。嘉当这一套概念和方法不仅对于微分几何产生深远的影响，而且对微分拓扑乃至物理学中的规范场理论都提供了重要工具。而陈省身则是现代微分几何学奠基人。

三、大范围分析

“大范围”也可以译为整体、全局，它的原意是全球。它的对立面是局部。流形的局部是欧几里得空间，在它上面有着丰富的结构，更有着各种坐标系，使我们很容易在上面开展数学分析，因此，长期以来，数学分析基本上是局部分析。局部n维欧几里得空间，经过拼接之后，可以成为各种各样的n维流形，所以，大范围分析也可以说是流形上的数学分析。它包括流形上的微积分，流形上的微分方程，流形上的变分法，流形上的函数论及泛函分析等等。

虽然大范围分析这个名词在1965年才开始出现，可是它的内容至少已有100多年的历史了。在微分流形上考虑微分算子的思想至少可追溯到黎曼与贝尔特拉米。到19世纪80年代，大数学家庞加莱，已经在常微分方程论中引进几何方法，开创了微分方程定性理论的新方向。他一反过去具体局部求解的方法，而着重研究大范围内解曲线的分布状况。他发现，微分方程的奇点起着关键的作用，通过奇点的分类，对于解的性态有深入的了解，特别是提出了稳定性问题。后来的发展围绕着稳定性，周期解及极限环等问题展开，而且很快在电路问题中找到应用。庞加莱去世之前，对狭义三体问题（即其中一体的质量远远比其他二体为小）证明定理：运动方程的解除了已知的雅可比积分之外，不存在其他的解，并提出存在无穷多周期解。他没能证明这点，只是把它归结成一个拓扑定理，这就是所谓“庞加莱最后问题”。没有料到，他去世不到半年，这问题就被美国数学家柏克霍夫解决。他还用拓扑方法研究回归问题（如一个星体经过一段时期后是否还回到原来位置附近），并用极小极大方法来推动动力系统的研究，这可以说是大范围分析的第一个分支。大约同时，有人对环面上的微分方程进行充分的研究。

20世纪20年代中期，柏克霍夫的学生莫尔斯开创大范围变分法，也即莫尔斯理论。莫尔斯理论把流形上的函数的临界点与流形的拓扑性质联系在一起。莫尔斯理论促进了微分拓扑学的大发展，特别是证明了广义庞加莱猜想。

20年代中期，美国数学家惠特尼开创了大范围分析的第三个分支——微分映射奇点理论，到50年代中期取得突破性进展，其后成为托姆的突变理论的基础。

大约同时，英国数学家浩治应用流形上的微分算子来研究微分流形的拓扑性质，即所谓调和积分理论或浩治理论。

微分映射的奇点，如f是微分流形V上的实值无穷可微函数，所谓f的临界点就是使微分df在该点等于零的那些点x∈V，这实际上是函数取极大值或极小值的点的推广。f的临界点集可以是V中任意闭集，因此，企图根据其临界点的性质来对C∞函数进行分类似乎是不现实的。临界点称为非退化的，如果f在这点的某一邻域中的泰勒展开的二次项所构成的多项式是一个非退化二次型；根据定义这个二次型的指数就是临界点的指数。只有非退化临界点并且在这些点（它们必定是孤立的）取不同的值的函数是一些非常特殊的函数，与V的拓扑密切相关。

奇点理论的主要问题是通过某种等价关系来分类无穷可微映射f：M→N，f与f′看成等价，如果f′＝h·f·g，其中g和h分别是M和N的微分同胚，或者g和h分别是M和N的同胚。1955年，惠特尼和托姆开创了研究奇点理论的大规模纲领。他们的新思想主要是集中注意于一般的映射。这个纲领主要由麦泽尔在60年代初的工作而大大推进了。他证明，拓扑稳定的映射总构成ε（M，N）中的稠密开子集，但是对于微分稳定的映射，同样的论断只对某些明显走出的维数对（m，n）（“好维数”）才成立。一般的映射总是拓扑稳定的，而在好维数下，一般的映射恒同于微分稳定映射。这里证明的技术在于把微分稳定性的问题归结为所考虑映射的导网的相应问题，然后，由于一个关键的结果，即拉格朗日把魏尔斯特拉斯的“预备定理”推广到C∞函数，从而可以运用交换局部环理论这个工具。

四、多复变函数论

多复变解析函数论是单复变解析函数论的自然推广。早在19世纪末，就已经把单复变最简单的结果平行地推广到多复变，而且尝试把一些一般定理，如魏尔斯特拉斯定理（整函数的表示问题）及米塔格——列夫勒定理（亚纯函数的有理分式表示）推广到多复变情形。1895年，法国数学家库辛提出库辛第一问题和第二问题，即给定零点、极点作出相应亚纯函数问题。库辛对函数定义域G是整个n元复空间C∞的情形（以及一些特殊情形）肯定地解决第一、第二问题，但一般情形一直到1935年才由日本数学家冈洁解决。他证明当G是全纯域时，库辛第一问题永远可解。而第二问题即使对全纯域也还需要满足一定条件。这显示出全纯域的重要。但是多复变解析函数的定义域远比单复变复杂，而且多复变解析函数还具有不同于单复变函数的独特性质，这就是1906年由德国数学家哈托格斯发现的向内可解析开拓性：设C_n中的域G内有一个紧集K，只要G——K是连通的，任何在G——K上全纯函数都可开拓到整个G上。这个性质对n＝1是决不成立的，由此多复变函数走上自己独立的发展道路。对向外开拓，多复变情形也不同于单复变情形，即总有开拓不出去的全纯函数，一般来讲，所有全纯函数都可以开拓到更大的域中去。而不具有这种性质的域则称为全纯域。20世纪前半叶，多复变函数论的主要问题是研究全纯域的刻画问题。为此哈托格斯及意大利数学家列维引进伪凸性（也译拟凸性）的概念，1910年列维提出列维问题：伪凸域是否全纯域？在这方面第一个重要结果是H·嘉当及德国数学家图仑在1932年给出的：他们证明可以用全纯凸性来刻画全纯域。但由全纯凸性过渡到伪凸性又经历了二十年。冈洁在1942年证明n＝2的情形，到1953年才证明一般情形，1954年诺盖及布列莫曼也独立证明同样结果，至此列维问题完全解决。

另外有一些沿着不同道路关于多复变解析函数的研究：德国数学家莱因哈特于1921年开创的解析自同构的研究，博赫纳及伯格曼从1922年开始的核函数的研究。对单复变整函数及亚纯函数论的推广也并非易事，法图等还引出皮卡定理的反例：解析映射f：C₂→C₂的函数行列式处处不为零，但f的象f（C₂）在C₂中的余集却具有非空开集。1930年，H·嘉当证明解析映射的唯一性定理，但1926年，儒利雅把正规族理论推广到多复变。在几何函数论方面，庞加莱早就知道C₂中圆盘与双圆柱不双全纯等价。关于自守函数的推广有两个方向：一个方向是由希尔伯特及他的学生布鲁门塔尔在20世纪初的工作开拓的，另一个方向是西格尔从1935年到1950年的工作开拓的，这些工作与代数数论、李群的无穷维表示与代数几何学联系在一起，形成当前十分活跃的领域。

最早的多复变函数论的综述是奥斯古德1914年的书及1924年《函数论》第二卷第一版，但较全面的总结则是1929年《函数论》第二卷第二版。其后的成就见于贝恩克及图仑的《多复变函数论》1934年版及1948年出版的博赫纳及马丁《多复变》两书中。对于1950年以前的多复变，外尔在“半世纪的数学”一文中说“多复变解析函数论，虽有一些深刻的结果，仍然还处于它的草创阶段”。实际上，从1951年起，在拓扑学、微分几何学、抽象代数学、李群理论以及分析学的发展的共同作用下多复变函数论迎来一个崭新的时期。

首先，研究对象已由多元复数空间C_n中的域推广到复解析流形及解析空间。1951年德国数学家施泰因把全纯域的性质抽象出来，定义了后来以他命名的施泰因流形。它具有许多好的性质，特别是在1951年H·嘉当及塞尔在其上引进层系数上同调及凝聚层的概念，用层上同调来表述分析成果，特别是库辛第一、第二问题。这样一举解决定理A、B，反过来，用层上同调刻画施泰因流形。德国数学家格劳尔特在1958年证明：复解析流形的相对紧域，如是强伪凸，则是施泰因流形。1953年塞尔猜想：底及纤维均为施泰因空间，丛空间是否也是施泰因空间？这个问题刺激了多复变特别是施泰因空间理论的发展。到1977年斯科达举出一个反例。

复解析流形虽然是单复变解析函数的定义域——黎曼面（一维复流形）的自然推广，但是许多自然定义的集合，最简单的像解析函数的零点集，一般并不是一个复解析流形。因为不是每一点都有一个邻域与Cn双全纯等价。显然这是因为有奇点的缘故。为此，必须把研究对象由复流形大大推广，这就是复空间或解析空间的概念。它们首先是由贝恩克和施泰因在1951年引进的。20世纪50年代中期起，运用层上同调理论，格劳尔特、雷姆尔特及施泰因等人得出一系列基本结果。

解析空间之间的映射中，重要的一类是正常映射（紧集的原象是紧的）。关于正常映射的基本结果是1960年格劳尔特证明的直接象定理：f：X→Y是正常映射，则X上的凝聚层的各次直接象都是Y的凝聚层。特别地f（X）是Y的解析子空间。另外，广中平祐还把奇点解消定理推广到解析空间。

与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价（存在一对一的保角或共形映射）。庞加莱早就指出二维复数空间C₂中球体丨Z₁丨²＋丨Z₂丨²＜1与双柱丨Z₁丨＜1，丨Z₂丨＜1之间不存在双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出。也知道Cn中存在单连通的全纯域，它没有非平凡的自同构。一般的解析空间的自同构群，只有个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只有费弗曼在1974年证明的扩张定理：如果C_n中两个严格伪凸域D₁，D₂之间存在映上同构，则该同构可扩张或包含边界的微分同胚。1980年以后，有人给出简短的证明。

与施泰因流形对立的另一极端是紧复流形，其概念可追溯到1913年外尔的《黎曼面的概念》一书。由于紧黎曼面与光滑代数曲线是同一事情的不同说法，紧复流形理论也可看成是代数几何学的推广，但在方法上却有微分几何学及分析上的好处。最重要的一类复流形是凯勒流形，特别是所有非异射影代数流形都是凯勒流形，反过来不成立，1954年小平邦彦证明只有约束型凯勒度量的复流形（浩治流形）才是代数流形。凯勒流形上重要的工具是调和积分论，这是由浩治在1941年发展起来的，它可看成黎曼面上调和函数论在复流形上的推广。调和积分理论把拓扑的关系通过具体的调和积分表示出来，由此可以得出一系列深刻的结果，例如1954年小平邦彦证明的致零定理，由此把曲率与拓扑性质联系起来。

特别是强伪凸流形，解决σ——纽曼问题，开创了一个新时期，利用这种方法不仅解决了许多函数论问题，而且把浩治——小平邦彦关于紧复流形的结果推广到非紧、带边缘复流形上。

五、抽象代数几何学和丢番图方程

古典代数几何学主要研究三维复射影空间Pn（C）中的代数曲面和代数曲线，实际上与复分析不可分。但是无论从理论上还是从应用上讲，都要求对代数几何学作推广。例如把基本定理——黎曼——洛赫定理推广到代数曲面及高维代数簇上，多个代数簇的交截问题，舒伯特的计数几何的严密基础问题（这是希尔伯特第十五问题）等，尤其是许多数论问题更要求有限域的求解。这些都促使代数几何学的抽象化。从20世纪30年代起，抽象代数学、代数拓扑学、微分几何学的发展为代数几何学的抽象化提供了许多新工具，尤其是四五十年代层论中层的上同调及纤维丛的思想及同调代数方法更导致代数几何学基础的两次革新，并在不定方程上取得两次大突破，这是抽象代数几何学的突出成就。

第一次革新是抽象代数几何学的基础的建立，它反映在魏伊1946年出版的《代数几何学基础》一书中。虽然从20世纪30年代起，范·德·瓦尔登在十几篇论文中已经为代数几何学一些概念（如“一般点”）给了严密的定义，但“交截重数”的概念仍然成问题。魏伊解决了这个问题，他还把定义域由复数扩充到一般的代数封闭域（特别是特征不等于0的域，从而为数论问题的解决打通道路）。他还第一次把代数簇的概念由射影空间中解放出来，也就是给出一个“内在的”定义。相应地对于代数簇的其他概念也作了推广。1949年魏伊又把纤维空间概念引进理论当中。运用新的代数几何学工具，他于1948年成功地证明有限域上曲线的黎曼猜想，1949年提出更一般代数簇上的黎曼猜想，并证明一些特殊情形。这个所谓“魏伊猜想”推动了其后二三十年的代数几何学再一次更新。

第二次革新主要是格罗登迪克所建立的“概型”的庞大理论。概型理论把所有交换代数学都包括进去。它来源于1955年塞尔的工作。塞尔把多复变函数论中层的语言引到抽象代数簇上，把抽象代数簇定义为环式空间，这样代数簇成为具有查瑞斯基拓扑的拓扑空间，从而可以建立上同调理论，这样可以给出算术亏格等古典不变量一个上同调解释。1958年，格罗登迪克定义了比代数簇远为一般的概型概念，在其后十多年里，运用上同调理论，不仅推广了一系列古典定理，如查瑞斯基的主要定理，而且得出了一系列辉煌的新成就。

1．黎曼——洛赫定理的推广

1951年小平邦彦把代数曲线的黎曼——洛赫定理推广到代数曲面情形，把原来意大利数学家的不等式变成等式。照这样推广下去到高维存在许多困难，德国数学家希策布鲁赫当时在普林斯顿高等研究院同小平邦彦的讨论得知塞尔了解如何把黎曼——洛赫定理中的不变量用上同调来表示，从而得出一般代数簇的黎曼——洛赫定理的表达式，1953年底又知道托姆的配边理论，于是在1954年一举证明一般情形的黎曼——洛赫定理。1958年格罗登迪克又推广到更一般情形，最后纳入阿拉雅——辛格指标定理。

2．奇点解消

奇点解消是通过坐标变换把奇点消去或化简。19世纪已知代数曲线的奇点可以通过双有理变换消去，而代数曲面则一直到1935年才由沃克及查瑞斯基用不同方法给出证明。三维代数簇一直到1944年时查瑞斯基给出证明。高维代数簇的奇点解消越来越复杂，正由于一般理论的建立，1964年日本数学家广平中祐一举证明特征为0的情形，但特征为P的情形还未解决。

3．代数曲线的参模空间结构

1965年，美国数学家曼福德证明，任意代数闭域亏格为g的代数曲线的参模空间Mg具有抽象代数簇（概型）结构。1969年德林及曼福德证明Mg是不可约拟射影代数簇。塞梵利曾猜想它们是有理的，并证明g≤0时是有理簇的象，但曼福德等人证明g≥23非但不成立，而且还是一般型的。

与参模空间结构有关的变形理论于1955年由小平邦彦及斯宾塞系统给出。

4．高维代数簇的系统分类

高维代数簇要比代数曲线和曲面复杂得多。单有理代数曲线是有理的，也即同射影曲线双有理等价。但是对于三维及三维以上代数簇，长期以来并不知道，1970年左右，三组数学家用不同方法举出反例，由此可以看出高维问题极为困难。

但1972年左右，日本年轻一代数学家饭高茂仿照代数曲面的分类，引进小平维数对n维代数簇分成四类。其后其他日本数学家也对高维代数簇进行更细微的探讨，其中突出的结果有1978年森重文对光滑完全不可约n维代数簇是有理簇给出充分必要条件，即具有丰富的切丛，而且对特征大于0的代数闭域也成立。1987年森重文等完成三维代数簇的分类工作。

代数几何学在数论上取得两项突破：

第一个突破是德林在1973年证明的魏伊猜想。魏伊猜想是关于有限域上代数簇的同余ζ函数的黎曼猜想，对于代数曲线惰形，阿廷在1924年仿照黎曼ζ函数对于特殊情形定义了同余ζ函数。1931年施密特把它推广到一般情形。1934年哈塞证明椭圆曲线的同余ζ函数的黎曼猜想。对于亏格≥2的曲线，魏伊用他的抽象代数几何学工具于1940年给出了证明，1948年全文发表。1949年他对于一般的代数簇，定义类似的同余ζ函数并提出类似的黎曼猜想即所谓魏伊猜想。他还对一些特殊情形作了证明。以证明魏伊猜想为目标，格罗登迪克学派发展一系列新工具，特别是平展上同调使德林走完最后一步。魏伊猜想对许多数论问题的解决有极大的促进，特别是证明拉曼努詹猜想以及三角和的估计。

第二个大突破是法尔廷斯关于莫德尔猜想的证明。莫德尔猜想是说：如果K是任何数域，x是K上定义的亏格大于1的任何曲线，则x只有有限多个K有理点。它的最简单的情形是指如果n次多项式方程f（x，y）＝0的系数是有理数，且n≥s，则这方程的有理数解的个数只有有限多个。如果方程系数是代数数，类似的结果也成立。1928年魏伊证明解构成的点群是有限生成的。1929年西格尔用丢番图逼近的方法证明多项式方程的整数解是有限的。其后30年间这问题进展不大。代数几何学的进展有助于得到一些结果，特别是1963年到1965年许多数学家独立证明，如果把代数数域换成代数函数域则答案是肯定的。1962年沙法列维奇提出一个猜想，1968年证明了由沙法列维奇猜想可以推出莫德尔猜想。而沙法列维奇猜想又与1963年发表的泰特猜想有关。这样利用代数几何学的工具在这些猜想之间来回穿梭，终于在1983年完成了莫德尔猜想的证明。