数学背景的发展

数学背景

19世纪70年代，德国数学家康托尔（G. F. P. Cantor，1845—1918）建立了集合论，在此之后，数学家戴德金（J. W. R. Dedekind）和弗雷格（G. Frege）利用集合的概念来定义自然数，从而数学各分支的研究都可以通过对集合的研究来进行，至此，集合论成为整个现代数学的基础，数学也有了可靠的基础。彭加勒在1900年国际数学大会声称数学已经达到绝对严格的地步了。

然而，人们很快就发现集合论这一可靠的基础存在着悖论。先是1897年意大利数学家布拉里—福尔蒂（C. Burali-Forti，1861—1931）发现“所有序数的集合”悖论。之后，1899年康托尔本人发现“所有基数组成的集合”悖论。引起数学家重视和恐慌的是1902年罗素（B. A. W. Russell，1872—1970）提出的悖论，即所谓的“理发师悖论”：理发师不给那些给自己理发的人理发，而只给那些不给自己理发的人理发，那么他该不该给自己理发呢？如果给的话，则与前半句话矛盾，如果不给的话，又与后半句话冲突，因而他会陷入两难境地。罗素悖论触及了数学的基础，引起了数学史上的第三次危机，弗雷格和布劳威尔（L. E. J. Brouwer，1881—1966）等数学家都因之认为自己开展研究工作赖以存在的基础倒塌了。

围绕着第三次数学危机的求解，在20世纪初形成了数学基础的三大学派——逻辑主义、形式主义和直觉主义。以罗素为奠基人和代表的逻辑主义学派认为，全部数学可以从逻辑推出，数学是逻辑学的延伸。在弗雷格关于数所作的纯粹逻辑的定义基础之上，罗素认为全部数学都是符号逻辑，而数学原理则是关于符号逻辑本身的分析。为实现其逻辑主义的纲领，罗素与怀特海（A. N. Whitehe^[1]d）合著了3卷本的《数学原理》（1910—1913）。但是从纯逻辑推导出全部数学，遇到了极大的困难，事实证明，从逻辑学推导出数学的计划是不成功的。逻辑主义把数学还原为逻辑的努力失败了，但他们用全部符号形式实现了逻辑学的公理化，极大地推动了数理逻辑的发展。以布劳维尔为代表的直觉主义认为，数学是独立于物质世界的，它的存在是直觉的构造，要在直觉基础上构造数学，排中律不是普遍有效的。直觉主义认为用构造的方法来产生数学不会出现悖论，因此是可靠的。然而，他们重新改写的直觉主义数学也并非完全可靠，且否定了相当一部分古典数学，限制了数学的发展。但同时他们关于能行性问题的研究，开辟了数理逻辑的一个新领域，促进了今后构造性数学的发展，同时对于计算机科学的发展也有重要的意义。形式主义以希尔伯特为代表，试图将古典数学理论通过公理化和形式化转变为形式系统，通过证明形式系统的无矛盾性来证明相应数学理论的无矛盾性。但是1931年哥德尔（K. Gödel，1906—1978）不完全性定理的证明宣布了形式主义计划的失败。虽然希尔伯特的计划失败了，但在其形式系统处理中创立的证明论或元数学后来发展成为数理逻辑的一个重要分支。

这三大数学学派的理论对于正统科学哲学的形成有着重要的影响，尤其以逻辑主义的影响最大，这种影响充分体现在逻辑实证主义和逻辑经验主义的名称上。20世纪初数学领域的发展对于正统科学哲学兴起的主要影响可以概括为如下几个方面：

1.现代数理逻辑成为重要的方法论工具。数理逻辑被认为是澄清命题的唯一方法，是论证哲学命题的重要手段之一。逻辑分析方法是维也纳学派科学的世界观的标志，“科学的世界观念是以一种确定的方法，即逻辑分析方法的运用为标志的”a。

弗雷格在1879年出版的《概念语言》中首次全面系统地建立量词理论。他独自创建了一套概念演算，完成了建立命题演算和狭谓词演算这两种逻辑演算的工作，它们在科学内容上比传统的形式逻辑丰富得多，从而奠定了现代数理逻辑的基础。然而这些成就当时并未引起数学界和逻辑学界足够的重视。罗素继承并发展了弗雷格所创立的概念演算，完整地完成了命题演算和谓词演算。逻辑实证主义者们从弗雷格和罗素那里继承了这种精确的分析方法，并试图利用数理逻辑来构造一种理想的、精确的人工语言，以求对哲学命题作出精确的表述，避免产生哲学混乱。

卡尔纳普在耶拿大学读书期间，就结识了弗雷格，并听取了弗雷格开设的课程。他认为在大学期间，他的收获就在于从弗雷格课程中获得关于哲学与数学交界方面的启发，即形式逻辑和数学基础方面。因此，卡尔纳普的逻辑主义直接来自于弗雷格。罗素在数学基础方面的工作对于逻辑实证主义者们也影响很大，维也纳学派的所有成员都学习过《数学原理》的基础部分，包括哈恩开设的关于数学基础的课程和讨论班均是以《数学原理》为基础来开设的。

2. 关于数学性质的研究为分析命题与经验命题的区分提供了必要的信念。数学知识不同于经验知识的本性，使得逻辑实证主义在继承休谟、康德关于知识二分法的基础之上作出了必要的修正，将命题分为分析命题与经验命题，进而避免了数学对经验主义的挑战。

三大数学学派关于数学性质的不同看法，也促使着正统科学哲学关注数学的性质，因为数学对经验主义构成了一个主要的难题。正如汉恩所说：“经验主义的基本主张，就是认为经验是我们关于世界的知识，即事实的知识、也即具有内容的知识的唯一渊源：所有这些知识都源于直接经验到的东西。然而，数学对这一立场却始终构成了一个巨大的困难。因为经验不可能提供普遍知识，但数学看来是普遍的；所有源自经验的知识都具有与生俱来的不确定性，但在数学中我们却看到了确定性。”^[2]

从历史的角度看, 逻辑主义学派（弗雷格、罗素、怀特海等）的基础研究工作为维也纳学派区分分析命题与综合命题提供了必要的信念。卡尔纳普认为“由弗雷格的分析获得了这样的信念：数学中的知识与逻辑中的知识本质上具有相同的性质，即都是一般意义上的分析的”^[3]。汉恩也写道：“数学基础的研究——这似乎只是少数专家的工作——对于我们的整个知识体系事实上有十分重要的意义。关于数学基础的争论涉及了这样一个问题：‘经验主义能否是无矛盾的？’”^[4]

然而，由于逻辑主义者由逻辑出发重建全部数学的工作出现了严重的缺陷和困难, 因此逻辑实证主义者们需要对数学与逻辑的分析性质作出新的不同解释。他们在康德关于分析命题与综合命题区分的基础上作了修正：“一个命题是分析的，如果它的有效性仅仅依赖于其中所包含的符号的意义；如果它的有效性取决于经验事实，它就是综合的。”^[5]这样一来，分析命题的有效性仅仅取决于其自身, 而与它能否由其他的分析命题推导出来无关, 因此逻辑实证主义者断言：“即使……不可能把数学的概念化归成纯粹的逻辑概念，关于数学命题是分析命题的结论仍然是真的。它们将构成分析命题中包含有特殊词项的一个特殊类别，但它们仍然是分析的，因为分析命题的标准在于它的有效性能否仅由其中所包含的词项的意义直接推出，而纯粹数学的命题符合这一条件。”^[6]从而数学就不再构成经验主义的一个主要困难了。