认知—发现理论和数学学习

第一节　认知—发现理论和数学学习

布鲁纳是西方认知心理学的主要代表人物之，他的认知一发现理论起源于完形说。他继承了完形说的观点，否认刺激与反应之间的直接联系，认为学习是通过认知，获得意义和意象，从而形成认知结构的过程。布鲁纳认为学习包含三种几乎同时发生的过程：①新知的获得；②知识的改造；③检查知识是否恰当和充足。他主要关心的是人们借以主动选择知识，记住知识和改造知识的手段，认为这就是学习的实质。进而他提出发现是达到目的的最好手段，所以学习的实质在于发现。因而人们把他的理论称为认知一发现说。

布鲁纳没有专门的学习理论专著，他的学习理论大多是和教学理论、课程理论联系在一起的。在他的教育理论和课程理论中蕴含着学习论的思想。

1959年美国科学院召开会议，讨论如何改进中小学数理学科的教育。布鲁纳是这次大会的主席，他在著名的大会总结报告《教育的过程》中系统地阐述了自己的教学思想，主要包括以下几个方面。

1．教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力

布鲁纳提出：我们也许可以将追求优异成绩作为教育的一般目标，但是，应该弄清楚追求优异成绩这个说法指的是什么意思。它在这里指的是，不仅要教育成绩优良的学生，而且要帮助每个学生获得最好的智力发展。布鲁纳将“帮助每个学生获得最好的智力发展”列为教育的一般目标，具有非常重要的意义。

2．要让学生学习学科知识的基本结构

布鲁纳认为：学生对所学材料的接受必然是有限的。怎样才能使这种有限的接受在他们以后一生的思想中有价值？对这个问题的回答是：不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。所谓学科的基本结构，是指学科的基本原理，是把每门学科的事实、零散的知识联系起来的基本概念、基本公式、基本法则。

布鲁纳认为：将学科基本结构作为教学的中心内容，让学生掌握学科的基本结构有如下好处：

（1）懂得基本原理可以使得学科更加容易理解。因为抓住了基本原理，就可以根据这个原理去理解许多特殊的现象和事实。

（2）掌握基本结构有助于知识的记忆。因为没有形成结构的知识，很快就会遗忘。降低遗忘率的好方法，就是根据基本原理来组织论据。需要时只要借助这些基本原理来推断论据，就可将一件事实重新回忆起来。

（3）掌握基本原理有助于学习的迁移。将事物作为基本原理的特例去理解，可以使学生根据已学得的知识去推及以后遇到的问题。

（4）从小就开始学习学科的基本结构，有利于缩小目前小学、中学和大学的学习过程中“低级”知识和“高级”知识之间的差距。

3．注重儿童的早期智力开发

布鲁纳提出一个大胆的假设：任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童。

4．提倡“发现学习”的方法

所谓发现学习，就是学生不是从教师的讲述中得到一个概念或原则，而是在教师组织的学习情境中，学生通过自己的头脑亲自获得知识的一种方法。

布鲁纳认为，无论是学生独立进行的发现学习，或是在教师指导下进行的发现学习，都可以锻炼学生的思维，它是使学生的理智发展达到最高峰的有效手段。

从布鲁纳的报告和书中可以看出，他对数学学习和数学教学很感兴趣。布鲁纳和他的同事们进行了大量的数学学习实验，从中总结出了四个数学学习原理。

1．建构原理

学生开始学习一个数学概念、原理或法则时，要以最合适的方法建构其代表。年龄较大的学生，可以通过呈现较抽象的代表掌握数学概念。但对大多数中学生，特别是低年级学生，应该建构他们自己的代表，特别应从具体的形象的代表开始。例如，讲这一概念时，可用“要多小有多小”的形象描述让学生理解。

2．符号原理

如果学生掌握了适合于他们智力发展的符号，那么就能在认知上形成早期的结构。数学中有效的符号体系使原理的扩充和新原理的创造成为可能。例如，当表示方程的符号形成之后，就能学习解多项式方程的一般方法。布鲁纳认为，对于中学低年级的学生，表示函数的最好方法是使用以下的符号：口＝2△＋3，其中口和△代表自然数。逐渐地用y＝2x＋3来表示函数，最后用y＝f（x）表示函数。布鲁纳认为，应当用螺旋式的方法来建构数学中的符号体系。这里的螺旋式方法指的是以直观的方式引进每一个数学概念，并使用熟悉的和具体的符号表示数学概念的方法。简单地说，符号原理就是要根据学生的智力发展水平，使其达到相应的抽象水平。

3．比较和变式原理

比较和变式原理表明，从概念的具体形式到抽象形式的过渡，需要比较和变式，要通过比较和变式来学习数学概念。例如，在几何中，比较圆的弧、半径、直径和弦，能使学生对这些概念理解得更清楚。况且有些概念本身就是通过比较定义的，例如，负数是正数的相反数，不是有理数的那些数称为无理数。布鲁纳认为，比较是帮助学生直观地理解数学概念和发展其抽象水平的最有用的方式之一。

4．关联原理

关联原理指的是应把各种概念、原理联系起来，置于一个统一的系统中进行学习。在数学教学中，教师不仅要帮助学生发现数学结构问的差别，而且也要帮助学生发现各种数学结构间的联系。布鲁纳认为，如果要使学生的学习卓有成效，就必须说明和理解数学概念间的联系。

布鲁纳的教学和学习理论，对我们有如下几点启示：

（1）在数学教学过程中，不仅应使学生掌握数学知识的概念、定理、公式等，还应理解数学知识的来龙去脉；应注重知识的产生过程，中不是孤立地记住一些数学结论。

（2）在表示数学知识时，要根据学生的情况，考虑是通过一系列实例呢，还是通过一些概念和原理，或是一系列符号。例如，在中学低年级，函数概念只能这样来表示：把米换算成尺；产量不变，总产量和亩数。稍高一点的年级就可用下面的例子来表示函数概念了：一系列物体的有序对，如y＝2x，y＝等。到高中，可用下述形式给出函数概念：y＝f（x）是x的函数，如果集合x中的每一个元素a在y中存在唯一的元素b和它对应，使得b＝f（a）。

（3）在数学教学过程中，应把学习过的数学知识按一定的方式构造好，以便于学生记忆和保持。

（4）为了“迁移”做好充分的准备，应使学生对数学基本原理有深刻的理解，从中根据原理的结构，把掌握的模式应用到类似的事物中。例如，学生掌握了完全平方公式

（a±b）²＝a²±2ab＋b²的结构和特征，就可以利用此公式把下列二元三次式化成完全平方式

（a＋b）²－2（a＋b）c＋c²＝（a＋b－c）²

（5）要使学生享受到数学智力活动的乐趣，让他们体会到学好数学是一件非常有意义的事情。