合情推理是数学认识的有效途径

所谓合情推理，就是一种比较自然的、合乎情理的，似乎为真的推理. 它是根据已有的数学事实和正确的数学结论，或以个人的数学经验(数学实验或实践)和数学直观进行推测而得到某些结果的一种推理，常表现为凭想象和联想、直观或直觉等非逻辑思维形式，通过观察、实验，归纳、类比，特殊和一般等方法直接获得某种数学结论. 思维的非常规性(如跳跃性)、结论的或然性是其特色.

合情推理也是所有科学认识的普遍方法，在科学认识论中，带有基本性和不可或缺的方法.

美籍匈牙利著名数学家、数学教育家波利亚(G.Polya)则认为，在数学发现中归纳推理和类比推理起着主要作用. 以下我们主要谈谈归纳与类比法的运用.

2.3.1.1 归纳推理

归纳是根据已有的经验材料，预言观察和实验结果的一种概括形式.

归纳作为一种思维方法，古已有之，最早由苏格拉底(Socrates，公元前469—前399)提出. 其弟子柏拉图(Plato，公元前427—前347)开始把归纳法运用于科学认识. 亚里士多德(Aristoteles，前384—前322)认为归纳是获得知识必不可少的逻辑方法，英国哲学家培根(F.Bacon，1561—1626)对归纳法作了比较系统的论述，被认为是归纳逻辑的创始人. 我国的《九章算术》，是开放式的归纳体系，在内容上是算法化的，在方法上是模型化的.

归纳是对同类事物共同点的认识，因此，归纳也是对一类事物所进行的思维. 设D={d1，d2，d3…，dn}为一类事物，且具有属性P，记为D→P，则归纳的基本模式是

若

归纳法按其归纳的对象是否完全，分为不完全归纳和完全归纳两种，这种方法属于经验性的，无法从逻辑上加以证明，因此，在用的时候是有风险的.

观察二次三项式f(x) =x2+x+11，分别用x=1，2，3，4，5， 6，7，8，9代入式子，得f(1) =13，f(2) =17，f(3) =23，f(4) =31，f(5) =41，f(6) =53，f(7) =67，f(8) =83，f(9) =101，可以看出，这些函数值都素数，但我们无法作出当x是任意整数时f(x)的值是素数的结论.事实上，当x=10时，f(10) =102+10+11=121，就不是一个素数.

著名数学家欧拉通过观察一些特殊的多面体，于1750年发现多面体的顶点(V)、棱(E)、面(F) 之间存在关系式V+F-E=2. 他把图2.3中的五个图形的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)列成表2-2.

图2.3

表2-2

根据表中数据合情推理得出猜想

V+F-E=2 (2.3)

有人利用如图2.4的多面体发现

V+F-E=6+8-11=3 (2.4)

说明式(2.3)并非对一切多面体都成立. 再仔细分析图2.3中的多面体与图2.4多面体的差异，前者5个多面体的每一个都是凸的，其他面都在任一面的一侧，而后者都不是，它是凹多面体，于是可把式(2.3)定位于任意凸多面体的顶数、面数、棱数所满足关系式.

图2.4

再来讨论和1+2+3+…+n的末位数字不可能是2，4，7，9的问题.

因为 1+2+3+…+n=n(n-1)

和n(n+1)的末位数字，决定于n的数字状况，若n=1，则n(n+1) =2; 若n=2，则n(n+1) =6，…. 将所有情形列于表2-3.

表2-3

可以看出n(n+1)的末位数字只是2，6，0三个数字，因此n(n+1)的末位数字只可能是0，1，3，5，6，8. 所以和1+2+…+n的末位数字不可能都是2，4，7，9.

在这里，我们用的是完全归纳法，用这种方法对n(n+1)所有的末位数进行了扫描——穷举，得出的结论是正确可靠的. 因此，完全归纳可作为一种严格的论证方法. 而其前之例，使用的是不完全归纳法，不完全归纳是基于一些个别事实或现象作出判断，其结论带有或然性，容易产生争议. 但可藉以发现解题思路，理解数学知识. 完全归纳法符合演绎推理的基本特点，前提与结论之间有必然的联系，所以完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴.

2.3.1.2 类比推理

类比作为一种推理方法，在自然科学里占有重要的地位，它是提出假说，建立模型、认识世界的重要方法; 在工程技术领域常采用技术移植研制新产品、创造新技术，通过类比启发新思路. 类比推理是以一定的推测作为出发点的，因为类比的双方之间的属性并没有必要的联系，但物质世界是普遍联系的统一体，虽有千变万化的一面，也有相互联系的一面; 既有同一性，又有差异性. 类比推理常常被理解为是在两类事物之间其相似性的识别. 波利亚指出: “类比是某种类型的相似性. 我们可说它是一种更确定和更概念性的相似.”笔者认为这种“更确定和更概念性的相似”就是推测的出发点.

在数学中运用类比的目的，就是由已经得到解决的问题或已获得的知识去寻找新问题和作出新发现; 通过类比获得方法论上的启示，从而解决面临的问题.

由于类比“是一种更确定的相似”，在平面几何与立体几何中，这种类比就是建立在关于分界元素的分析之上: 在平面上，两条直线不能围成一个有限图形，而三条直线却可以围成一个三角形; 在欧氏空间，三个平面不能围成一个有限图形，而四个却可以围成一个四面体，从而两者都是由数目最少的简单分界元素所围成的几何图形，于是四面体可以看成平面上的三角形在空间的类比. 据此，我们还可以认为平行六面体、长方体、立方体、二面角的平分面等，分别构成了平行四边形、矩形、正方形、角平分线在空间的类比.

如果从“生成”的角度去进行分析，又可以把棱锥看成三角形在空间的类比; 三角形可以看成将线段外一点与线段上任意两点用线段相连所生成的图形，棱锥则可看成将多边形(所在平面外一点与多面形上的各点用线段所生成的图形，如图2.5所示).

类比也往往建立在抽象分析之上. 例如，对数的性质与运算法则alogab=b，logaax=x，loga1=0，logaa=1.

图2.5

换底公式

在一定条件之下，对数加法与对数乘法可以类比.

在群论里，加法群与乘法群可以类比.

例3.1 如图2.6所示，过四面体V—ABC的底面上任意一点O，分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面的交点，求证为定值

分析 考虑平面上的类似命题: 在△ABC的底边AB上任取点O，分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC，AC于A1，B1，则为定值.利用相似三角形性质容易推出其定值为1;也可过A，O分别作BC的垂线，过B，O分别作AC的垂线，用面积法亦可证明其定值为1. 类比到本题，可用两种方法证明其定值为1.

证明 设平面OA1VA∩BC=M，平面OB1VB∩AC=N，平面OC1VC∩AB=L，则M、N、L应分别在BC、AC、AB上，如图2.6则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV，于是可得

由图2.7知△ABC中，AM，BN，CL交于一点O，用面积法即可证得

图2.6

图2.7

故

在整个数学体系中，类比更反映两类对象的模式或结构上，如直线与平面、平面与空间、数与式、数与形、方程与不等式、一元与多元、有限与无限等. 波利亚把平面与空间、数与形、有限与无限三种类比称为“伟大的类比”. 当我们对已有结果加以推广时，所从事的常常是一般化的工作，例如将数、事件、命题等在运算性质方面进行类比，就属于结构类比，而集合的运算所具有的特性，应该看作在数、事件、命题等的运算的抽象概括，是由数、事件、命题运算性质所进行的归并类比所得(即所谓一般化工作). 由特例考察而获得方法论(包括模式)的启示时，应属于特殊化的工作，例3.1就是特殊化的工作，它是从两种不同的图形存在着相同或相似的属性出发而做出的判断. 运用类比解决数学问题，其思维的基本过程如图2.8所示.

图2.8

数学史上把笛卡儿运用类比推理创立解析几何传为佳话. 笛卡儿在创立解析几何的过程中，首先，他认为，对于探索未知的东西，逻辑本身是无结果的，哲学仅仅提供一个“从表面上看来是到处为真的讨论工具，神学也是值得怀疑的”; 其次，他对欧几里得几何中每一证明总是要求某种新的、往往是奇巧的想法感到不安; 第三他相信“所有人们能够知道的东西，也同样是互相联系着的”. 于是他着手把代数用到几何上去. 他用类比法建立了坐标系，把点、线段与平面坐标(x，y)联系起来，在坐标系上系统地研究了直线、圆或二次曲线乃至费尔马的工作，并证明了几何问题可以归结为代数形式的问题，建立求解几何问题时可以运用代数的方法. 英国数学史家斯科特说: “笛卡儿的处理方式表示他所走的是一条完全独立的路线. 因为他不仅使用了使人容易理解的记法，使用了比任何其他人(包括费尔马在内)优越无比的技巧，而且开拓了一些崭新的空间.”“他的方法可以把任何疑难命题的证明或反证明归结为一种代数技巧，而这种技巧是不需要多大才智的. 尤其是，单纯的几何语言这样被改成代数学语言之后，就变得大有启发性，事实上往往能指出一些无可置疑的几何关系，这些关系乃是希腊人拿出他们的全部技巧都决不能发现的. 最后，我们将看到，笛卡儿的方法对于牛顿到达发明微积分的最后步骤有着无可估量的用处[1].”

归纳与类比是合情推理的主要方法. 当然，合情推理并不只限于归纳与类比，观察和实验、一般化和特殊化、想象和直觉等方法也应看成数学思维中的宝贵财富.

类比推理是创造性活的源泉之一，在数学发现中有重要作用，是导向科学结论的重要方法，但由类比得出的结论不能立即视为真理，它不能代替严格证明. 弄不好会带来谬误(这里不举例子了)，在运用时要注意它的局限性。