数学证明与逻辑推理

第六节　数学证明与逻辑推理

一、数学证明

1.证明的意义

当人们从客观实际或数学内部矛盾提出某一个命题时，就需要断定这个命题的真实性，以推动数学的发展。

根据某个或某些真实命题和概念，断定另一命题的真实性的推理过程叫做证明。

数学证明是指数学的逻辑证明。它是数学科学的一大特点，它的证明区别于其他学科的证明，侧重于逻辑的合理性。虽然，数学命题的真理性最终取决于客观实际的检验，取决于数学结论和方法在自然科学、社会科学和生产技术的应用，但作为数学科学自身结构而言，数学证明主要取决于数学体系中的概念、公理、定理的逻辑联系，因此数学证明是数学结构必不可少的重要环节。是连接数学大厦的杠杆。

2.证明的组成和作用

任何证明都由论题、论据和论证三部分组成。

论题——待证明的命题。

论据——用于证明的一系列判断。

论证——把证明中的论题和论据联系起来的一系列推理。

数学证明在数学中，起着十分重要的作用。通过数学证明能够确定数学命题的真实性，使数学结沦成为无可争辨的事实。通过数学证明，使数学成为一个严谨的逻辑系统，使数学具有严谨性的特征。数学证明从逻辑上保证了数学理论体系内部的协调性。

3.证明法与反驳法。

数学的具体证明方法种类很多，按证明过程使用的推理形式的不同，分为归纳法、演绎法；按证明思维的进程方向的不同，分为分析法和综合法；按是否直接证明论题，可分为直接证法和间接证法，此外还有一些具体名目的证法，如反证法、同一法、数学归纳法和筛选法等。

下面着重介绍间接证法的反证法和同一法，以及特殊证法的反驳法。

（1）反证法

反证法是通过证明论题的否定命题的不真实，从而肯定原论题真实的证明方法。具体地说：

当证明论题“如果p则q”时，不直接证明这个论题，而把结论q否定，加到原论题的前提中去，并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的已知前提相矛盾的结论，或导出自相矛盾的结论，从而确立原论题的真实性，这种证明方法叫做反证法。

反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律。运用反证法时，应根据不同的论题，运用不同不等式，即运用不同的推理规则。

（2）同一法

如果一个命题的前提和结论所确定的对象都是唯一存在的，那么称这个命题符合同一法则。符合同一法则的命题与它的逆命题等价。当论题是这样一个命题，它与它的逆命题同假或同真（即等价）时，通过证明原论题的逆命题来证明原命题的方法叫做同一法。即在同一法则下，证明原论题的逆命题成立的一种方法。

在运用同一法证明中，首先要验证原命题是否符合同一法则是十分必要的。它是对运用同一法进行正确推理的前提为真的保证。

（3）反驳法

反驳法是一种特殊证法，它是以确知的真命题或实例，驳斥另一命题虚假性的证明方法。反驳法在数学史上判断许多数学猜想起到重要作用。反驳法以它的简洁、说服力强，省去繁杂、冗长的程序，简捷、有效等特点，使它成为数学证明的一个有力工具。

二、虚假证明及其错误剖析

数学证明以数学的严谨的逻辑性为特征，数学离开了严谨的数学证明，数学就失去光彩，失去魅力。一个数学命题的证明，有时要经历几百年，甚至上千年才能完成。有些至今尚未解决。

数学证明像磁铁般吸引着广大数学工作者，激励人们前进。数学证明不是一帆风顺，有时会受到挫折，使人误入歧途。数学史上有不少数学家陷入错误证明的圈套之中，犯过这样那样的虚假证明错误。因此，研究错误的证明，剖析错误原因，从反面中吸取教训是一件十分有意义的事。

一个正确的证明必须遵守证明规则，违反这些规则就会产生虚假证明。而常见的虚假证明的原因有以下几种情况：前提不真、论据不真、偷换概念、循环论证、作图失误、将有限推至无限、误用推理规则等。我们只有提高辨析虚假证明的能力，才能有效地培养良好的逻辑思维习惯。