玻耳兹曼方程简介

时间：2022-02-14 理论教育版权反馈

【摘要】：玻耳兹曼方程分析法就是在已知各种碰撞截面的条件下，运用玻耳兹曼方程来求解气体放电的微观参数。玻耳兹曼方程分析法是在一系列已知截面的基础上，求解玻耳兹曼方程得出气体的电子能量分布函数，再代入式求出气体放电参数。

玻耳兹曼方程分析法就是在已知各种碰撞截面的条件下，运用玻耳兹曼方程来求解气体放电的微观参数。它是在由实验求得的、合适的各种碰撞截面等数据的基础上，通过求解玻耳兹曼方程，用一系列弹性碰撞和非弹性碰撞来描述气体中的电子崩发展过程，最终导出电子能量分布、电离系数、附着系数、漂移速度和扩散系数等参数，将求得的这些参数和实验值相比较，若两者相差甚远，则应修正各碰撞截面，直到理论值与实验值相符为止。

3.2.1.1 求解气体放电参数计算气体方法

式（3-73）是Wieland公式，其中，αm、ηm分别表示混合气体的电离系数及吸附系数。α1、α2、η1、η2则分别表示组分气体的电离系数和吸附系数。F为气体1占混合气体的体积比。根据放电的判据，（αm-ηm）=0时的场强为击穿场强，因此通过α1/N、α2/N、η1/N、η2/N和E/N的关系便可求出（αm-ηm）=0时的E/N值，即击穿场强密度比。N为分子数密度。

式中，QIi（ε′）、Qati（ε′）、QTi（ε′）分别为单一或混合气体的电离碰撞截面、碰撞吸附截面以及总碰撞截面。fi（ε′）为单一或混合气体的电子能量分布。

由求得α/N及η/N的式（3-74）中可以看出：对于式（3-73），若能满足f1（ε）=f2（ε）=fm（ε），则其结果是正确的，否则该式的使用范围将受到限制。Wieland公式的另一不足在于必须事先知道α1/N、α2/N、η1/N、η2/N和E/N的关系后才能使用。

除此之外，有一种比上述经验公式稍微复杂一些的求法，即Maxwell算法，该算法是在假设电子能量分布函数fi（ε）（i=1，2，m）是Maxwell分布的基础上进行的：

fi（ε）=2π（πTi）-3/2exp（-ε/k Ti）·ε-1/2（3-75）

式中，Ti（i=1，2，m）分别表示单一或混合气体的平均能量。组分气体的T1、T2和混合气体有一定的函数关系：Tm=T（T1，T2），而T1、T2又与外加场强大小有关，因此Tm就可表示为场强的函数：

Tm（E/N，F）=T[T1（E/N），T2（E/N），F]（3-76）

将fm（ε）代入式（3-74）并根据击穿判据就可以求出在某一E/N时的放电参数αm/N、ηm/N以及击穿场强（E/N）lim。但是由于事先很难确定T1、T2和外加场强的关系，而且用Maxwell分布表示电子能量分布是否正确也是一个问题，因此这种方法在使用中也受到一定的限制。

玻耳兹曼方程分析法是在一系列已知截面的基础上，求解玻耳兹曼方程得出气体的电子能量分布函数，再代入式（3-74）求出气体放电参数。

3.2.1.2 玻耳兹曼方程的求解

外电场作用下，描述气体中电子流的电子密度函数n（ε，x）满足玻耳兹曼方程，在均匀电场条件下方程可以化简为

式中，ε′、x和t分别为能量、空间位置和时间变量，RE、RC和Rx分别是由碰撞、外电场和密度梯度引起的通量。

式中，ε为电子能量；N为气体分子数密度；m为电子质量，等于9.10939×10-31kg；M为气体分子质量；e为电子电量，1.6×10-19C；εex为激发初始能，等于11.5e V或12.0e V；εi为电离初始能，等于15.69e V；q为碰撞电离后，投射电子和新生电子能量比；P（q，ε）为碰撞电离后，产生的两个电子按q/（1-q）分配剩余能量（ε-εi）的概率；Qm为动量转换截面；Qion为电离截面；Qex为激发截面；Qat为吸附截面；Qt为总的截面。

由式（3-78）可以看出，玻耳兹曼方程很复杂，因而到目前为止还无法以解析解的方式求出电子能量分布，比较典型的解法是数值解，而数值解又分为两种：数值微分法和积分变换法，下面将对这两种求解方法逐一介绍。

1）数值微分法

在稳定汤逊实验SST中，对于电负性气体，平板电极间存在动态平衡区域，即n（ε，x）满足以下方程：

式中，-为有效电离系数（-=α-η）。

由上式可以看出n（ε，x）与空间位置x无关，则用F（ε）替代n（ε，x），且F（ε）满足

由于SST实验中n（ε，x）dε=0，式（3-78）可化为

由于式（3-83）含有积分项，同时含有微分项，因而很难求解，对ε求一次导则可得到一个关于F（ε）的两阶微分方程。然后将微分方程离散化则求解就容易多了。由电子能量分布函数F（ε）的物理意义可知，当ε大于某一εmax时， F（ε）→0。我们把0～εmax分成M个等分点，每点以I表示，并将F（ε）的微分用下式展开：

式中，Δε为等分步长。

将式（3-84）代入求导后的方程，经化简可得到下列递推方程：

其中：

由上述的一系列递推公式可见，若假设两个初始值F（M）、F（M-1）以及αi值，则可求出F（ε）。该方法的主要思想是迭代和递推。在求出F（ε）后，便可求出新的αi，然后又求出新的F（ε），这样反复迭代直至收敛。

2）积分变换法

用傅里叶积分法解玻耳兹曼方程，它的解可表示为一种傅里叶积分式，积分项可表示为

nf0（ε，x，t）=exp（isx）·exp[-w（s）t]·H0（ε，s）（3-86）

式中，S是代表傅里叶分量的参数，w（s）和H0（ε，s）分别表示为

W（s）=-W0+W1（is）-W2（is）2+W3（is）3+… （3-87）

H0（ε，s）=F0（ε）+F1（ε）is+F2（ε）（is）2+… （3-88）

式中，Wn（n=0，1，2，…）是常数。

将式（3-88）代入玻耳兹曼方程（3-78）并对ε求导可得：

Φ（ε）H0+V（ε）H0+ξ（ε）H0（is）+G（ε）H0（is）2+W（s）H0=0 （3-89）

式中，H0=H0（ε，s），并有

由于S是个自由分量，式（3-89）仅在（is）n（n=0，1，2，…）的系数为零时成立。这样便可得到一系列的公式。

其中ωn和Fn分别是本征值以及不同阶的电子能量分布函数。它们的关系可由下式求出：

和数值微分法类似，我们把0～εmax分成M个等分点，每点以I表示，并将F（ε）的微分用下式展开：

其中Δε为等分步长。

利用上面的一阶两点和二阶三点差分公式，采用松弛法和有限差分法求解式（3-90），因为当ε＞εmax时Fn（ε）=0，所以将能量区间（0，εmax）等分为M段， M=[εmax/Δε]。求解过程如下：首先把假定的ωn、ω0n和An代入式（3-90），然后用有限差分公式求出电子能量分布，再由式（3-91）、式（3-92）和式（3-93）求出新的ωn、ω0n和An，并代入式（3-90），直到迭代的第m次和第（m+1）次的ωn之间的相对误差小于0.1%，所得的电子能量分布函数就是所求的解。由式（3-90）解出的Fn和ωn，很容易求出气体放电参数。