数学形象思维方法

第三节　数学形象思维方法

一、数学形象思维的心理元素

认识一种思维，首先必须认识清楚它的心理元素。数学逻辑思维的基本元素是数学概念。那么数学形象思维的心理元素是什么呢？

数学形象思维的心理元素不是数学物象，数学物象仅仅是数学形象思维的物质基础之一，是外部的根源。法国著名数学家阿达码说：“我觉得自己在真正想一个数学问题时，语言是完全不会出现的……即只有在读完或听完一个问题以后，我才开始想这是什么意思，并且在我完成这件事或放弃这件事之前，语言不再出现”“不仅是语言，甚至连代数符号对于我来说，也是同样的情况，只有在进行极容易的演算时，我才使用代数符号，一旦问题很复杂，这些符号对我就几乎成为沉重的负担了，此时我就用完全不同的方式来表达思想了。”

数学形象思维是主体内部发生的心理过程，数学物象只有转化成主体的观念性形象才有可能进入思维过程。在数学活动中，数学物象首先通过人的感官转化成人的知觉形象，它是在主体受到数学物象刺激的条件下产生的，是对数学物象的反映。知觉形象受制于直接呈现的数学物象，当数学物象呈现在主体面前时，主体内部产生相应的知觉形象，一旦离开了数学物象，主体内部的知觉形象就随之消失。对于相距很近或相连的事物，在知觉中也只能是相距很近或相连的。对于相距较远的事物在知觉中则无法同时呈现。因此，知觉形象也不是数学形象思维的心理元素。

数学形象思维的心理元素不是具体的语言符号图形，而是脑中一些模糊的而又活生生的东西。爱因斯坦在回复数学家阿达码所准备的一组问题时写到：“无论是在写作的时候，还是在论述的时候，所使用的单词或语言对于我正在进行的思维活动几乎不起丝毫作用。作为思维元素的心理实体只是某些符号，以及时而清楚时而模糊的意象……”阿达码说：“在我所从事的全部数学研究中，我都会构作这样的图象，它一定是一幅模糊的东西，有了这个图，我才不致误人歧途。”此处，爱因斯埋所说的“意象”，阿达码所说的“图象”，以及“模糊的而又活生生的东西”实际上都是心象。我们把数学活动中主体的心象叫做数学表象。这里的“表象”也就是很多心理学文献中所说的“意象”。

数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象，尽管它也具有形象性，但这种形象不同于数学物象，也不同于知觉形象，它是通过逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运用典型化的手段概括了的理想化形象。数学表象摆脱了数学物象的限制，使主体能够对数学表象进行自由的比较、分解、选择、整合、加工、改造。

由以上分析看出，数学表象是数学形象思维的心理元素。

按材料内容的不同，数学表象可分为图形表象和图式表象。图形表象是人脑对几何图形感知而形成的表象，图式表象则是对数学式子、结构、模型、关系等感知而形成的表象。

从创造性的角度来看，数学表象有记忆表象和创造表象之分，记忆表象是指客体的一种主观经验（视觉的、听觉的等等）。这个客体对于经受这种经验来说，曾经作为一种刺激存在过，但现在并不存在于知觉领域之中。创造表象则是对一个客体的主观经验，而这个客体对于经受这种经验的人来说，从没有作为一刺激实物存在过，它是一种想象出来的客体。创造表象是以记忆表象为基础，与想象力相联系的、在解题中往往起决定性作用的心理形象。它是由数学物象信息组成的且与一定的数学物象“同构”的心理形象。因此，从非常具体的、形象的记忆表象开始，到具有一定抽象性和概括性的创造表象之间，存在着一个从具体到抽象的表象的层次结构，这种表象的层次结构，依据抽象程度的不同具有不同的心理操作的意义。

从数学表象的构成这方面来看，数学表象有单象和复合象。所谓单象，就是单个的表象，它也是最简单的表象。单象具有单个事物的形、质等属性。例如，点、线、面在人脑中的反应的表象就是单象。复合象则是两个或两个以上的单象的组合。复合象的组合有两种方式，一种是线性描述性的组合。例如，当我们看到以语言符号链式的方式呈现的对象“一个圆内切于一三角形中”时，就会产生由圆的表象和三角形的表象组合成的复合象，这个复合象可物化为下图。

圆和三角形组合成的复合象

另外一种是抽象性的组合。例如，“数学变换”就是由一些象“恒等变换”“分割变换”“映射变换”“幂级数变换”“拉普拉斯变换”“傅里叶变换”“拓扑变换”等单象经抽象性的组合而形成的复合象。不过，单象和复合象的划分也只是相对而言，从整体上看，复合象也可被视为单象，而单象有时还可以看成是由另外的单象组合而成。数学表象的这种可分性和整合性，使数学形象思维的进行成为了可能。

依照数学表象的层次结构，数学表象可相对地分为低级表象和高级表象。例如，变换的思想、化归的观念、方程的观点和追求简单化的心理倾向等数学观念就是最高级的数学表象。

二、数学表象的特征

数学表象的主要特征是：形象性、主观灵活性、抽象概括性、创造性。

1.形象性

数学表象是人脑对数学物象的反映，是主体在数学活动中的心象。它是一种理想化了的形象，因而具有形象性的特征。数学表象不如具体形象那样明晰，它是模糊的数学表象的形象性表现出多样性，不管是数学概念、数学命题还是数学推理论证，不仅都有其宏观的整体（或综合）形象，而且还存在着许多从不同的角度观察所产生的不同形象。

2.主观灵活性

数学表象源于对数学对象的知觉，因而它是以个人以往的主观经验为基础的。除了那些可以物化为数学语言、图形或实物模型的表象外，它是私人的，易变的，模糊的，是不容易进行交流的。数学表象作为主体内在的“图画”，是一个高度发达的动力系统，它能灵活而迅速地进行组合转化。

3.抽象概括性

首先，数学表象是数学物象在人脑中的反映，因而数学的抽象概括性决定了数学表象必然具有抽象概括性的特征。

其次，数学表象主要源于视知觉。视知觉具备了认知能力和理解能力。认知，无非是指积极地探索、选择、对本质的把握，而这一切又都涉及着对外物之形态的简化和组织（抽象、分析、综合、补足、纠正、比较、结合、分离、在背景中突出某物），换言之，视知觉具有抽象概括的功能。所以，数学表象具有抽象性的特征。

第三，承认数学表象存在着从具体的记忆表象到抽象的创造表象的层次结构，就意味着承认数学表象具有抽象概括的功能。这种抽象概括的功能不同于数学语言的抽象概括功能。形象的抽象是一个心理表象的形成过程，它把层次不同或相互分离的“抽象物”整合成一个表象，能在更高的层次上整体地来体现事物的结构和关系。而数学语言的抽象则是在形象抽象之上的再抽象，具体表现为数学表象同主体的分离，即将数学表象物化为数学语言。

4.创造性

数学表象是建立在先前知觉的基础之上，是以往大量形象信息在大脑中的储存，它具有灵活易变的特点，能为主体对其进行自由的比较、选择、分解、整合加工，从而将我们从死板的真实中解决出来，引发新的结构、新的概念和新的关系。许多实例表明，如果过分依赖语言符号，思维就会陷入呆板的泥坑，趋向于保守。因为语言概念是人类已知的认知成果的结晶，一般地说，它不容易带来思想上新的突破。当语言符号的推理链条无法逾越已知和未知之间的鸿沟时，数学表象就会活跃起来，诱发有助于解题的新的格式的产生。所以，数学表象具有创造性的特征，它是实现创造的关键。

三、数学形象思维方法的形式

数学形象思维方法是人脑对表象信息进行加工，并得出新的数学表象的思维方法，其形式有数学表象的形成、数学表象的分解与组合、联想和想象。

1.数学表象的形成

面对具体的客观事物，在感知觉和经验的作用下，人们在脑中可形成单个的表象，在此基础上，从不同的单象中通过形式结构特征的概括而形成观念性的数学表象。这就是数学表象的形成过程。它是数学形象思维最基本的形式。

例如，茶杯口、圆盘、自行车轮、铁环、钢管截面这些具体事物在我们脑中形成的是不同的单个表象，而由这些单个的表象中概括出来的共同形式特征——“圆形”则是圆形类物体的数学表象。脑中的“圆形”这个数学表象可外化为通常所指的圆的几何图形。

又如一个初中生通过对画圆的学习，也即是说通过动作表征和映象表征学习，发现圆是平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹，于是便形成了“轨迹之圆”的数学表象。而在高一，学生学习了集合之后，则会形成“点集之圆”的数学表象。

一般地，几何学中的各种基本图形，如点、线、面，实质上是人们对客观事物认识后形成的数学表象的外化形式。一个几何图形的表象实为由基本图形表象构成的复合象。

2.数学表象的分解与组合

表象的分解是指把复杂的表象分解为简单的表象。表象的组合是指把一些单象组合成复合象。

表象的分解有两种情形。

（1）在复杂的背景中识别出基本图形。

（2）把复杂的结构图式分解成一些简单的结构图式。

3.联想

联想是由一事物想到另一事的的心理过程。具体说，联想就是将头脑中相分离的表象联系在一起，由一种已有的表象唤起另一种表象。联想之所以产生，是由于人们在数学思维活动中，已存储建构了丰富的数学表象。这些表象信息以结点网络的方式存储于长时记忆中，每一表象信息也可能是一个束集，只要束集中的某一表象信息被激活，该束集，或者该表象就会被激活。因此，只要经过问题引发，若干表象就会被激活、串联起来，从而得出其它表象。数学联想主要有：由部分联想整体、类比联想、关系联想。

（1）由部分联想整体——完形

在特定条件下，视知觉将对象组织得最好最规则（对称、统一、和谐），从而形成具有最大限度的简单明了性的完形。完形是能动的整体，它是知觉进行了积极组织建构的结果或功能。人们天生具有一种完形倾向，尽可能把被知觉到的东西呈现一种最好的形式——完形。也就是说，数学表象是受完形倾向影响着的，由表象的部分可引发整个表象。

如果某一图形画得不够完善，留下了一个小缺口，那么观察者往往倾向于弥合这个缺口，完善图形。

（2）类比联想

类比联想指的是根据两个数学对象之间的类同、相似等关联引起和展开的联想。例如，我们在学习立体几何时，联想到平面几何；由多元函数的微积分联想到一元函数的微积分；由分式的基本性质联想到分数的基本性质。这些联想能够揭示出知识的发生过程，有助于理解和记忆。再如，由数量关系联想到相应的几何图形，由抽象的问题联想到类似的具体问题，由高维的问题联想到低维的问题，等等。利用类比联想容易发现解题的捷径。

（3）关系联想

关系联想是根据数学知识、图形的内在联系进行的联想。例如，利用两个数学对象之间的从属关系、一般与特殊的关系、互逆关系、对称关系、因果关系，可以进行相应的联想。

4.想象

想象是人脑对已有的表象进行加工改造而产生新表象的思维方法。数学中的想象，实际上是以数学表象中丰富的表象为基础，运用已有的数学思想观念对这些表象进行整合加工，创造出新的数学表象的思维方法。数学表象的抽象概括性使得数学中的想象成为较高层次的形象思维形式。数学表象系统和结构层次、丰富程度决定了主体想象的水平，数学想象可导致数学发明和创造。

想象又分为再造想象和创造想象。再造想象是指根据对某一事物的数量关系与空间的形式的语言、文字的描述或者是图形的示意，在头脑中形成相应的新表象的思维方法，它是我们理解新知识的前提。大数学家欧拉双目失明后，仍能继续进行一系列的数学推理、论证，主要依赖于再造想象。创造想象是不依赖于某一事物已有的数量关系和空间形式的描述，而是根据一定的目的、任务与理论，独立地创造出新表象的思维方法。它是数学创造的源泉。数学历史上，象微积分的发明、伽罗华群理论的建构等众多的数学创造成果，都是数学创造想象的结晶，运用想象，我们可以创造性地解决数学问题。

数学中有一种叫做模拟的想象。模拟就是根据数学对象的本质和特征，在大脑中选择或建构一种与原型相似的表象模型，并在建立的表象模型上进行实验（表象运动），然后将所得结果类推回原型，从而达到认识目的的思维方法。模拟实际上是运用表象来进行的“心理实验”，模拟的理论依据是相似原理。

在数学模拟中，人们建立在表象模型中的表象不一定是数学表象，它可以是一些拟人化的表象。模拟是一种较高层次的想象，很多数学家常常用这种“心理实验”来解决数学问题。囿于人的信息加工器的有限容量，数学模拟的数量及空间范围是相当有限的。不过，也正是因为这狭小的空间，才使得我们的思维卸去旁枝末节这类包袱，直抵问题的本质，爆发出创造的火花。